空間向量基本定理

1、空間向量基本定理教案一、教學(xué)目標：1知識目標：了解向量與平面平行的意義，掌握它們的表示方法。理解共線向量定理、共面向量定理和空間向量分解定理，理解空間任一向量可用空間不共面的三個已知向量唯一線性表示，會在簡單問題中選用空間三個不共面向量作為基底表示其他向量。會用空間向量的基本定理解決立體幾何中有關(guān)的簡單問題。2能力目標：通過空間向量分解定理的得出過程，體會由特殊到一般，由低維到高維的思想方法。培養(yǎng)學(xué)生類比、聯(lián)想、維數(shù)轉(zhuǎn)換的思想方法和空間想象能力。3情感目標：創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，從生活中的常見現(xiàn)象引入課題，開始就引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生容易切入課題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，體現(xiàn)新課程改革的理念之

2、一，加強數(shù)學(xué)與生活實踐的聯(lián)系。二、教學(xué)重點： 運用空間向量基本定理表示空間任一向量，并能根據(jù)表達式判斷向量與基底的關(guān)系。三、教學(xué)難點：空間向量的分解作圖，用不同的基底表示空間任一向量。靈活運用空間向量基本定理證明空間直線的平行、共面問題。四、教學(xué)過程1復(fù)習(xí)引入：在平面向量中，我們學(xué)習(xí)了平行向量基本定理、平面向量基本定理，請大家回憶一下定理的內(nèi)容。（找同學(xué)回答）由上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以把平面向量的線性運算推廣到空間向量，那么請大家思考：平行向量基本定理在空間中是否成立？結(jié)論在空間中也成立。這就是空間中的“共線向量定理”（板書并投影）注意：向量；是共線向量的性質(zhì)定理，是空間向量共線的判定定理；2、

3、問題探究：“向量與平面平行”的概念：如果向量的基線平行于平面或在平面內(nèi)，就稱平行于平面，記作。平行于同一平面的向量叫做共面向量。即可以平移到同一平面內(nèi)的向量就是共面向量。探究1：空間中任意兩個向量一定共面嗎？為什么？探究2：空間中任意三個向量一定共面嗎？請舉例說明。探究3：如果空間中三個向量共面，它們存在怎樣的關(guān)系？演示空間中三向量共面的情況，引導(dǎo)學(xué)生猜想。如果兩個向量不共線，則與共面的充要條件是存在唯一的一對實數(shù)，使得。猜想的結(jié)論需要證明（提醒學(xué)生充要條件的證明要從“必要性”、“充分性”兩方面進行）（屏幕展示證明過程）這就是共面向量定理：（板書并投影）注意：三個向量共面，又稱三個向量線性相關(guān)

4、，反之，三個向量不共面,則稱三個向量線性無關(guān)?？捎脕碜C明四點共面問題。3、問題探究： 4、猜想探究：類比平面向量基本定理，引導(dǎo)學(xué)生猜想三個不共線向量如何表示空間中任一向量。通過演示課件引導(dǎo)學(xué)生猜想空間向量分解定理。空間向量的分解定理：如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在唯一的一個有序?qū)崝?shù)組，使得師：若猜想正確，則給出證明，若猜想不正確，先給出定理，再證明。板演證明：（存在性和唯一性兩方面）唯一性用反證法證明：若另有不同于x,y,z的實數(shù)x1,y1,z1滿足= x1+y1+ z1，則x+y+ z= x1+y1+ z1，即(xx1) +(yy1) +(zz1) =,又、不共面，則xx1=

5、0，yy1=0，zz1=0，所以x,y,z是唯一的實數(shù)。這樣，就把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理。6、深化探究：表達式叫做的線性表達式，或線性組合；相關(guān)概念：其中、叫做空間向量的一個基底，、都叫做基向量。牛刀小試：（對于空間向量的基底、的理解）提醒學(xué)生注意：空間任意不共面的三個向量都可以作為向量的基底，基底不唯一；三個向量不共面，隱含它們都是非零向量；基底是一個集合，一個向量組，基向量是基底中的某一向量。通常選擇共點不共面的三個向量作為空間向量的基底。若、是空間向量的一個基底，則由這三個基向量還能生成其它的基底。引導(dǎo)學(xué)生舉例說明，結(jié)果不唯一，通過思考培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。如: +、+

6、、+；2+3、4、等構(gòu)成向量的基底。C1ABCDA1B1D1思考：在= x+y+ z中，特別地，當(dāng)x=0,則與、共面；若y=0，則與、共面；若z=0，則與、共面。當(dāng)x=0, y=0時，與共線；當(dāng)x=0, z=0時，與共線；當(dāng)y=0, z=0時，與共線.這說明每一次維數(shù)增加了，高維數(shù)的定理不但發(fā)展了低維數(shù)的定理，并包含了低維數(shù)的結(jié)論，使得原來的定理仍適用，這種發(fā)展是繼承的發(fā)展，是合理的發(fā)展。7例題例1已知平行六面體中，設(shè)= ，=，=， 試用用基底、表示以下向量：（1），（2），（3）（4）這是空間分解向量定理的直接應(yīng)用，選定空間不共面的三個向量做基底，并用它們表示出指定的向量，是向量解決立體幾何

7、問題的一項基本功。解題時要結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，表示所需向量。8課堂練習(xí)：C1ABCDA1B1D1已知平行六面體中，設(shè)= ， =，=， 試用用基底、表示以下向量：（1），（2），（3）（4）9課堂小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識和思想方法兩方面進行小結(jié)。10課后作業(yè)：必做：課本85頁練習(xí)B：1 2 3思維訓(xùn)練：1有下列4個命題：若P、M、A、B共面，則xy. 若p與a、b共面，則pxayb；若xy，則P、M、A、B共面； 若pxayb，則p與a、b共面；其中真命題的個數(shù)是()A1 B2 C3 D42如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()Aa