勾股定理錯(cuò)題匯集

1、勾股定理錯(cuò)題匯集1 學(xué)校草坪上要空出一塊直角三角形的地種花，已知這個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4米和5米，那么這塊直角三角形空地的面積為 米2 .學(xué)生分析解答:因?yàn)槭菈K直角三角形空地，由勾股定理可得,324 52，所以第三條邊長(zhǎng)為3米，此時(shí)直角形三角形空地的面積：丄3 4=6 (米2 )2教師點(diǎn)評(píng)：由于不能正確理解勾股定理的內(nèi)涵一一兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方以及受 3, 4, 5勾股數(shù)的影響，導(dǎo)致了錯(cuò)誤。在直角三角形中， 要弄清哪個(gè)是直角，從而確定哪條是斜邊，才能寫出正確的勾股定理表達(dá)式。 正確解答：此題要分兩種情況：(1 )當(dāng)已知的4和5兩邊中有一條為斜邊，貝U 5是斜邊，由勾股定理，另

2、一直角邊的長(zhǎng)為.52 -42 -3，此時(shí)三角形空地的面積 1 3 4=6 ；2(2 )當(dāng)已知的4和5兩條邊都是直角邊時(shí)，此時(shí)三角形空地的面積為1-4 5=10 2故這塊直角三角形空地的面積為6米2或10米2 2.已知，在 ABC中，AB =20, AC =15 , BC邊上的高為12,則BC 邊的長(zhǎng)為.學(xué)生分析解答：先畫出圖形(如圖1)在兩個(gè)直角三角形中分別用勾股定理求BD和CD的圖1長(zhǎng)再相加即可.在Rt ABD中，由勾股定理得，BD2 二 AB2 -AD2 = 202 -122 = 256，貝U BD =16 ；在Rt ACD中，由勾股定理得，CD2 =AC2 -AD2 =152 -122

3、=81，貝U CD =9 ；所以 BC = BD CD =16 9 =25 .教師點(diǎn)評(píng)：學(xué)生分析問(wèn)題的思路清晰，方法正確，在直角三角形中兩次利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。但是由于思維定勢(shì)影響，就借助了 “順手”畫出的銳角 三角形解決問(wèn)題，而忽略了鈍角三角形其高在形外的這種情形，因此導(dǎo)致漏解錯(cuò)誤的發(fā)生。解決這類無(wú)圖問(wèn)題時(shí)， 在借助圖形分析的同時(shí)， 要考慮解的 多種可能性，避免漏解.正確解答：此題要分兩種情況：(1) 如圖1,在Rt ABD中，由勾股定理，2 2 2 2 2BD 二 AB -AD =20 -12 = 256，貝U BD =16在Rt ACD中，由勾股定理得，2 2 2 2 2CD =AC

4、-AD =15 -12 =81，貝CD =9 ； 所以 BC 二 BD CD =16 9 =25 .(2) 如圖 2,同(1)可求得 BD =16 , CD =9 ,所以 BC = BD -CD =16 -9 = 7 .綜上，BC邊的長(zhǎng)為25或7.3如圖3,等腰 ABC中，AB=AC=10，底邊BC=12，求一腰上的 高CH的長(zhǎng).學(xué)生分析解答：因?yàn)镃H _ AB ,在Rt ACH和Rt ACH中，由勾股定理ac2-ah2=ch2 , bc2-bh2=ch22222因此 10 -AH =CH , 12 - BH =CH教師點(diǎn)評(píng)：學(xué)生借助圖形，分析在已知的兩個(gè)直角三角形中利用勾股定理完全正確。但是

5、為什么最后這個(gè)題做不下去了？因?yàn)锳H或BH的長(zhǎng)度不知道，未知線段多導(dǎo)致學(xué)生在解題過(guò)程中的無(wú)序進(jìn)而無(wú)法求得解.思路1:實(shí)際上，因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形中都無(wú)法直接求得CH的長(zhǎng)，因此采用間接方法，即設(shè) AH =x，則BH =10-X，在兩個(gè)直角三角形中分別表示出公共邊CH 2即可列方程求得 AH，然后再求出 CH的長(zhǎng).解法 1：設(shè) AH =x，則 BH =10-X，在 Rt ACH 和 Rt ACH 中,由勾股定理得， ac2-ah2=ch2 , bc2-bh2=ch2 ,2 2 2 2，解得x二145在Rt ACH中，由勾股定理得CH22214 2=AC2 _ AH 2 =102 _()2523042

6、5因此 10 -x -12 -(10-x)48所以CH二.5思路2:既然未知量是等腰三角形一腰上的高，腰為已知量，只要先求出面積即可。因此想到作底邊上的高先求三角形的面積. 解法2：（如圖4）過(guò)點(diǎn) D作AD _ BC于點(diǎn)D.1因?yàn)?AB 二 AC , AD _ BC，所以 BD =CD = BC2在Rt ABD中，由勾股定理，AD2 =AB2 -BD2= =102 -62 =64，所以 AD =8 .因?yàn)?AD _ BC , CH _ AB ,BC圖4所以S.ABC= -BC AD 二丄 AB CH，所以 CH 二2 2 104854.如圖5所示的一塊地，已知 AD =4m , CD =3m

7、, AD _ BC ,AB =13m , BC = 12m，求這塊地的面積.學(xué)生分析解答：因?yàn)锳D _ BC，考慮連接 AC,則構(gòu)造Rt ACD ,從而求得AC長(zhǎng)為5,然后用兩個(gè)直角三角形面積 相減得這塊地的面積.連接AC.圖522222在 Rt ACD 中，AC =CD AD =34 =25,所以AC =5 .1 1這塊地的面積 S =S.ABC -S.ADCAC BC AD CD115 123 4 =30 6 =24 .22教師點(diǎn)評(píng)：這題的解題過(guò)程看起來(lái)沒(méi)有問(wèn)題，但是“ AB =13m ”的條件難 道多余嗎？學(xué)生由于受特征結(jié)論及圖的影響，直觀判斷三角形ABC是直角三角形而沒(méi)有進(jìn)行推理證明證明導(dǎo)致了錯(cuò)誤的發(fā)生.正確解答：2 2 2 2 2在 Rt ACD 中，AC =CD AD =3