第五章連分?jǐn)?shù)

1、第五章第五章 連分?jǐn)?shù)連分?jǐn)?shù)基本內(nèi)容 連分?jǐn)?shù)的定義和性質(zhì)連分?jǐn)?shù)的定義和性質(zhì)：理解連分?jǐn)?shù)的有關(guān)：理解連分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念，會證明每一個簡單連分?jǐn)?shù)都是一個概念，會證明每一個簡單連分?jǐn)?shù)都是一個實數(shù)。實數(shù)。 實數(shù)表示為連分?jǐn)?shù)實數(shù)表示為連分?jǐn)?shù)：會證明任一無理數(shù)都：會證明任一無理數(shù)都可表為無限簡單連分?jǐn)?shù)，了解有理數(shù)的連可表為無限簡單連分?jǐn)?shù)，了解有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法。分?jǐn)?shù)表示法。 循環(huán)連分?jǐn)?shù)循環(huán)連分?jǐn)?shù)：了解二次代數(shù)數(shù)都是循環(huán)連：了解二次代數(shù)數(shù)都是循環(huán)連分?jǐn)?shù)，會求二次方根的連分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)，會求二次方根的連分?jǐn)?shù)。 最佳漸近分?jǐn)?shù)：最佳漸近分?jǐn)?shù)： 5.1 連分?jǐn)?shù)的定義及性質(zhì)連分?jǐn)?shù)的定義及性質(zhì)例例 即 5.2 實數(shù)表示為連分

2、數(shù)實數(shù)表示為連分?jǐn)?shù) 任一個有限任一個有限簡單連分?jǐn)?shù)簡單連分?jǐn)?shù)表示一個表示一個有理數(shù)有理數(shù)。反之，。反之，任意一個有理數(shù)可以有恰好任意一個有理數(shù)可以有恰好2種種方式表示成一個方式表示成一個有限簡單連分?jǐn)?shù)，其中一個含有奇數(shù)個項，另一有限簡單連分?jǐn)?shù)，其中一個含有奇數(shù)個項，另一個含偶數(shù)個項。個含偶數(shù)個項。 任一個無限任一個無限簡單連分?jǐn)?shù)簡單連分?jǐn)?shù)表示一個表示一個無理數(shù)無理數(shù)。反之，。反之，任意一個無理數(shù)可以任意一個無理數(shù)可以唯一唯一的表示成的表示成 一個無限簡單一個無限簡單連分?jǐn)?shù)。連分?jǐn)?shù)。 若一個實無理數(shù)是一個整系數(shù)一元二次方程的根，若一個實無理數(shù)是一個整系數(shù)一元二次方程的根，則稱為二次無理數(shù)。則稱為

3、二次無理數(shù)。 任意任意二次無理數(shù)二次無理數(shù)與與循環(huán)簡單連分?jǐn)?shù)循環(huán)簡單連分?jǐn)?shù)一一對應(yīng)。一一對應(yīng)。要把一個分?jǐn)?shù)寫成連分?jǐn)?shù)，只要不斷地把分子分母同時除以分子，將分子化為 1 。如37/99？11,1 2, 1, 2, 0,1111121112112 2, 1, 2, 0,121211121251211213725219937當(dāng)然，連分?jǐn)?shù)也可寫成分?jǐn)?shù)，如3043301311342114131211實數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示算法由來：早在公元前三世紀(jì)，歐幾里德就發(fā)現(xiàn)了一個較優(yōu)的求連分?jǐn)?shù)算法輾轉(zhuǎn)相除法，實際上就是求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。我們先來回顧一下輾轉(zhuǎn)相除法，不過這次不用短除式，而嘗試用等式來描述這個算法。

4、既然上邊的式子成立，那么下面左式也會成立。 例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求942和1350的最大公約數(shù)。13504081942942942126240840840830312612612664303030506 13501119422131450 代入得：于是，有5122111251251511151212111115112（）例3 斐波那契數(shù)列前項與后項之比的極限（黃金比）為如此反復(fù)，最后得例例4 例例5 例例 6 例例 7 5.3 最佳漸近分?jǐn)?shù)最佳漸近分?jǐn)?shù)三個問題： 一個分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)表達式是否可能永遠(yuǎn)寫不完？（否） 即便能寫完，是否一定要把它寫完？ 如果沒有把它寫完就截斷，所得的分?jǐn)?shù)與原來的分?jǐn)?shù)有何關(guān)系？ 首先，任何一個有理數(shù)一定可以寫成有限連分?jǐn)?shù)；任何一個無理數(shù)一定可以唯一地寫成無限連分?jǐn)?shù)； 其次，利用分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)表達式的逐次截斷值（即，漸近分?jǐn)?shù)）可以求出該分?jǐn)?shù)的近似值。