高中數(shù)學(xué)第8章統(tǒng)計(jì)與概率82概率822條件概率講義含解析湘教版選修

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上82.2條件概率讀教材·填要點(diǎn)1條件概率設(shè)A，B是事件，且P(A)>0，以后總是用P(B|A)表示在已知A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率2條件概率的計(jì)算公式如果P(A)>0，則P(B|A).3條件概率的性質(zhì)P(B|A)0,1如果B與C為兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)小問題·大思維1P(B|A)P(AB)嗎？提示：事件(B|A)是指在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，而事件AB是指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，故P(B|A)P(AB)2P(B|A)和P(A|B)相同嗎？提示：P(B|A)是指在事件A發(fā)生的條件下

2、，事件B發(fā)生的概率，而P(A|B)是指在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同條件概率的計(jì)算例1在5道題中有3道理科題和2道文科題如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率解設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的基本事件總數(shù)為A20.事件A所含基本事件的總數(shù)為A×A12.故P(A).(2)因?yàn)槭录嗀B含A6個(gè)基本事件所以P(AB).(3)法一

3、：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為P(B|A).法二：因?yàn)槭录嗀B含6個(gè)基本事件，事件A含12個(gè)基本事件，所以P(B|A).條件概率的計(jì)算方法有兩種：(1)利用定義計(jì)算，先分別計(jì)算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A).(2)利用縮小樣本空間計(jì)算(局限在古典概型內(nèi))，即將原來的樣本空間縮小為已知的事件A，原來的事件B縮小為AB，利用古典概型計(jì)算概率：P(B|A).1拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，問兩顆

4、骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為多少？解：(1)設(shè)x為擲紅骰子得的點(diǎn)數(shù)，y為擲藍(lán)骰子得的點(diǎn)數(shù)，則所有可能的事件為(x，y)，建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由題意作圖如圖顯然：P(A)，P(B)，P(AB).(2)法一：P(B|A).法二：P(B|A).條件概率的應(yīng)用例2在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球，求在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率解法一：設(shè)“摸出第一個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A，“摸出第二個(gè)球?yàn)辄S球”為事件B，“摸出第二個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏，則P(A)，P(AB)，P(AC).P(B|A)，P(C|A).P(BC|A)P(B|A)P(C

5、|A).所求的條件概率為.法二：n(A)1×C9，n(BC|A)CC5，P(BC|A).所求的條件概率為.利用公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使條件概率的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”2在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過；若至少能答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀，已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率解：設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，而另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試

6、中通過”，事件E為“該考生考試中獲得優(yōu)秀”，則A、B、C兩兩互斥，且DABC，EAB，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D).故所求的概率為.解題高手妙解題盒子里裝有16個(gè)球，其中6個(gè)是玻璃球，10個(gè)是木質(zhì)球，玻璃球中有2個(gè)是紅球，4個(gè)是藍(lán)球；木質(zhì)球中有3個(gè)是紅球，7個(gè)是藍(lán)球現(xiàn)從中任取一個(gè)(假設(shè)每個(gè)球被取到是等可能的)是藍(lán)球，問該球是玻璃球的概率是多少？嘗試 巧思本題數(shù)據(jù)較多，關(guān)系有點(diǎn)復(fù)雜，可采用列表方法理順關(guān)系，這樣不僅過程簡(jiǎn)單，同時(shí)還能快捷地找出計(jì)算條件概率時(shí)

7、所需的相關(guān)事件的概率妙解設(shè)事件A：“任取一個(gè)球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是藍(lán)球”由題中數(shù)據(jù)可列表如下：紅球藍(lán)球小計(jì)玻璃球246木質(zhì)球3710小計(jì)51116由表知，P(B)，P(AB)，故所求事件的概率為P(A|B).1若P(A)，P(B|A)，則P(AB)等于()A.B.C. D.解析：選B利用條件概率的乘法公式求解P(AB)P(A)·P(B|A)×.2用“0”“1”“2”組成的三位數(shù)碼組中，若用A表示“第二位數(shù)字為0”的事件，用B表示“第一位數(shù)字為0”的事件，則P(A|B)()A.B.C.D.解析：選BP(B)，P(AB)，P(A|B)，故選B.3從1,2,3,4

8、,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A：“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B：“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B.C. D.解析：選BP(A)，P(AB)，由條件概率的計(jì)算公式得P(B|A).4若P(A)，P(B)，P(AB)，則P(A|B)_，P(B|A)_.解析：P(A|B)，P(B|A).答案：5.如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.解析：圓的面積是，正方形的面積是2，扇形的面積是，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)

9、算公式得P(A)，根據(jù)條件概率的公式得P(B|A).答案：(1)(2)6某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人全班平均分成4個(gè)小組，其中第一組有共青團(tuán)員4人從該班任選一人作學(xué)生代表(1)求選到的是第一組的學(xué)生的概率；(2)已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一組學(xué)生的概率解：設(shè)事件A表示“選到第一組學(xué)生”，事件B表示“選到共青團(tuán)員”(1)由題意，P(A).(2)法一：要求的是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)不難理解，在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學(xué)生是共青團(tuán)員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇因此，P(A|B).法二：P(B)，P(AB)，P

10、(A|B).一、選擇題1設(shè)P(A|B)P(B|A)，P(A)，則P(B)等于()A.B.C. D.解析：選BP(AB)P(A)P(B|A)×，由P(A|B)，得P(B)×2.24張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽取，若已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)券，則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率是()A. B.C. D1解析：選B設(shè)第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)券為事件A，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券為事件B，則P(B|A).3某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0

11、.8 B0.75C0.6 D0.45解析：選A根據(jù)條件概率公式P(B|A)，可得所求概率為0.8.4從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則第2張也是假鈔的概率為()A. B.C. D.解析：選D設(shè)事件A表示“抽到2張都是假鈔”，事件B為“2張中至少有一張假鈔”，所以為P(A|B). 而P(AB)，P(B).P(A|B).二、填空題5有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取1粒，則這粒種子能長成幼苗的概率為_解析：記“種子發(fā)芽”為事件A，“種子長成幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率為P(B|A

12、)0.8，又P(A)0.9.故P(AB)P(B|A)·P(A)0.72.答案：0.7266位同學(xué)參加百米短跑比賽，賽場(chǎng)共有6條跑道，已知甲同學(xué)排在第一跑道，則乙同學(xué)排在第二跑道的概率是_解析：甲排在第一跑道，其他同學(xué)共有A種排法，乙排在第二跑道共有A種排法，所以所求概率為.答案：7100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為_解析：設(shè)“第一次抽到次品”為事件A，“第二次抽到正品”為事件B，則P(A)，P(AB)，所以P(B|A).答案：8拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，記A出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)1,3,5，B出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過31,2

13、,3若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為_解析：由題意知n(B)3，n(AB)2，故在出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3的條件下，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為P(A|B).答案：三、解答題9一個(gè)盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率解：令A(yù)第1只是好的，B第2只是好的，法一：n(A)CC，n(AB)CC，故P(B|A).法二：因事件A已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件B發(fā)生便可，在A發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中5只好的，所以P(B|A).10一袋中裝有6個(gè)黑球，4個(gè)白球如果不放回地依次取出2個(gè)球求：(1)第1次取到黑球的概率；(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；(3)在第1次取到黑球的條件下，第2次又取到黑球的概率解：設(shè)第1次