全國優(yōu)質(zhì)課-方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、人教A必修1§3丄1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版必 修1第三章函數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)的第一課時(shí).本節(jié)內(nèi)容是在基本初等函數(shù)（【）的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的第一課時(shí). 通過研究一元二次方程的根及相應(yīng)的函數(shù)圖像與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，學(xué)生導(dǎo) 出函數(shù)零點(diǎn)的概念;通過分析具體函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的特點(diǎn)，探究在某開區(qū) 間上連續(xù)函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法.為下一節(jié)“二分法求方程近似解”做好鋪墊. 同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式、算法等知識奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課滲透了數(shù)形結(jié)合、函數(shù) 與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置根據(jù)課標(biāo)要求，結(jié)

2、合教材，考慮學(xué)生的已有認(rèn)知及本班學(xué)生特點(diǎn)，我將本節(jié)的 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為以下內(nèi)容：1. 探究二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和對應(yīng)的一元二次方程根的關(guān) 系,理解函數(shù)零點(diǎn)的定義.了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,會求簡單函數(shù)的零點(diǎn).2. 學(xué)會用數(shù)形結(jié)合思想研究某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)和零點(diǎn)個(gè)數(shù) 的判定方法.3. 感知從特殊到一般的歸納推理.培養(yǎng)抽象概括的能力，養(yǎng)成一般性思考問題 的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的概念，函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理的理解和應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)與玉&解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理分析函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間三、學(xué)生情況分析授課對象:延邊二中理科平行班學(xué)生1. 學(xué)生

3、已有認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生在本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了兒種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會畫簡單 函數(shù)的圖象，也會通過圖象去分析函數(shù)的性質(zhì)具備初步的數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力，這就 為學(xué)生探究函數(shù)的零點(diǎn)做好了鋪墊.為判定函數(shù)是否存在零點(diǎn)提供了直觀感知.2. 達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生需要具備較好的觀察分析圖象的能力,較高的抽象概括能力.3. 突破策略為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境,激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、計(jì)算、作圖、 思考，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在某個(gè)開區(qū)間上存在零點(diǎn)的兩個(gè)條件是圖象連續(xù)和端點(diǎn)處函數(shù)值 異號.4. 核心素養(yǎng)課堂中學(xué)生動(dòng)手操作，感知從特殊到一般的歸納推理.體會從圖象中抽象概括 出函數(shù)零點(diǎn)定義、零點(diǎn)存在性定理的數(shù)學(xué)抽象過

4、程.養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣.四、教學(xué)策略設(shè)計(jì)1. 設(shè)置問題情境,學(xué)生參與不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，探究出相 關(guān)結(jié)論,體會函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的核心作用.2. 采用開放式的學(xué)習(xí)方式,學(xué)生體驗(yàn)知識的生成、發(fā)展過程.借助兒何畫板 等信息技術(shù)手段,感知函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，體會特殊到一般的歸納過程學(xué)生不僅探 究了概念,還“體驗(yàn)”到了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系是通 過函數(shù)的圖像與X軸的交點(diǎn)來建立的.3. 課堂中學(xué)生動(dòng)手操作，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì).感知從特殊到一般的歸納推理. 體會從圖象中抽象出函數(shù)零點(diǎn)定義，零點(diǎn)存在性定理的數(shù)學(xué)抽象過程養(yǎng)成一般性 思考問題的習(xí)慣.五、教學(xué)過程教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)：約

5、12分鐘約18分鐘約12分鐘約3分鐘（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：通過第二章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù) 等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，今天我們開始學(xué)習(xí)笫三章.方程的根，我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí) 過了，主要是以代數(shù)計(jì)算的方式進(jìn)行求解，側(cè)重“數(shù)”的方面的研究.高中數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)階段我們接觸過的一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想叫做數(shù)形結(jié)合.我們這節(jié)課就要從“數(shù)”和“形”的兩方面去研究“方程的根”.引入課題：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)（教師板書）（二）新課講解【環(huán)節(jié)一：零點(diǎn)概念的建構(gòu)】設(shè)計(jì)問題，滲透數(shù)學(xué)思想問題1：求下列一元二次方程的實(shí)數(shù)根，畫出相應(yīng)二次函數(shù)的簡圖，完成下表。方程x2-2x-3 = OX2

6、- 2x + =O-2x + 3 = O函數(shù)v = x2-2x-3y = X2 -2x + ly = 2 - Ix + 3方程的實(shí)數(shù)根函數(shù)圖像思考討論：一元二次方程x2 + bx + c = 0（“ Ho）的根與.1.次函數(shù)y = ax2 +bx + c （t 0） 的圖像有什么關(guān)系？判別式>0 = 0<0方程 x2+bx+c=O (>0)的根兩個(gè)不相等的實(shí) 數(shù)根XI、X2有兩個(gè)相等的 實(shí)數(shù)根Xl =Xl沒有實(shí)數(shù)根d/b /、I函數(shù) y-ax2+bx+c (QO)的圖象OX函數(shù)的圖象與X軸 的交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)： (XI，0), (X2,O)一個(gè)交點(diǎn)： (Xle)無交點(diǎn)生：(觀察討

7、論)方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).師：回答的很好！方程的根是從“數(shù)”的角度研究問題，而函數(shù)圖像與X軸交點(diǎn)是從“形”的角度研究問題.正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.教師歸納：方程的實(shí)數(shù)根O函數(shù)圖象與"軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)師：方程的根還和什么有等價(jià)關(guān)系呢？帶著這個(gè)問題我們繼續(xù)下面的學(xué)習(xí).設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,為下一環(huán)節(jié)引出零點(diǎn)做鋪墊【環(huán)節(jié)二：零點(diǎn)概念的建構(gòu)】形成概念，確認(rèn)等價(jià)關(guān)系問題2：求解方程,說岀方程所對應(yīng)的函數(shù).3x+2 = O ：生：-二,對應(yīng)的函數(shù)是y = 3x + 23師：-|使3x+2 = 0,-扌叫做方程的根，對于函數(shù)y = 3 + 2我們給出一個(gè)新的 定

8、義，稱-？為函數(shù)y = 3x + 2的零點(diǎn).你能根據(jù)我剛才給出的零點(diǎn)的定義,求出函數(shù) 3y_2x_3的零點(diǎn)嗎？生：-1和3使-2x-3 = 0, -1和3是函數(shù)' = x2-2-3的零點(diǎn)師：你能概括一般函數(shù)零點(diǎn)的概念嗎？生：對于函數(shù)y = /(x),我們把使/() = 0的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y = /(x)的零點(diǎn).教師活動(dòng)：板書概念，幫助學(xué)生表達(dá)準(zhǔn)確的概念問題3：在這個(gè)概念中，我們新接觸了一個(gè)數(shù)學(xué)名詞“零點(diǎn)”，請同學(xué)們思考，零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？生：(積極討論，發(fā)表見解)零點(diǎn)不是點(diǎn)師：那零點(diǎn)是什么？生：是一個(gè)數(shù)！師：滿足什么條件的實(shí)數(shù)？生：方程fx) = O的根，再次強(qiáng)調(diào)：零點(diǎn)不是點(diǎn),是一個(gè)實(shí)數(shù)！師

9、：回顧剛才老師提出的問題，“方程的根”還和什么是等價(jià)的呢？ 師生互動(dòng)：學(xué)生思考作答,互相討論;教師糾錯(cuò)，引導(dǎo)得岀正確的關(guān)系. 生:還和函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)在屏幕上顯示：方程/U) = O有實(shí)數(shù)根O函數(shù)y = /()的圖象與X軸有交點(diǎn)O函數(shù)y = /()有零點(diǎn)教師歸納:這種等價(jià)關(guān)系，為我們分析問題解決問題乂提供了一種數(shù)學(xué)思想叫函數(shù) 與方程的思想.對于不能利用公式求根的方程,我們可以將它與函數(shù)y = /(x)聯(lián)系 起來,利用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點(diǎn),從而求出方程的根.例1.求函數(shù)/(x) = CV-I)(X2-4)的零點(diǎn)()A. (1,0),(2,0),(-2,0) B. 1,2 C. (0,1),(0

10、,2),(0,-2) D. 1,2,-2練習(xí)：t>'1. 函數(shù)y = f(x)的圖象如下，則其零點(diǎn)為.2. 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)有零點(diǎn)嗎？Zy問題4：函數(shù)零點(diǎn)的求法有哪些呢？生：求方程f(x) = 0的實(shí)數(shù)根.師：我們把這種方法叫做代數(shù)法.生：也可以畫函數(shù)y = (x)的圖像找到它與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).師：我們把這種方法叫做兒何法.設(shè)計(jì)意圖：要求學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)層面來理解函數(shù)零點(diǎn)這個(gè)概念，深化了 學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識.利用函數(shù)有零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系，向?qū)W生滲透函數(shù)與方 程的數(shù)學(xué)思想.【環(huán)節(jié)三：零點(diǎn)存在性定理的探究】歸納定理，深刻理解問題5：:二次函數(shù)/(x) = -2x

11、-3的圖象在區(qū)間(-2,1)內(nèi)有零點(diǎn)嗎?/(-2) =，/(D =，/(-2)(1)-_0( “V” 或“>”).師生歸納:發(fā)現(xiàn)/(-2).f<0,函數(shù)/(x) = x2-2x-3在區(qū)間(-2,1)內(nèi)有零點(diǎn). 問題6：二次函數(shù)/(x) = -2x-3的圖象在區(qū)間在區(qū)間(2,4)內(nèi)是否也具有這種 特點(diǎn)呢？生:觀察圖像,思考作答.問題7:已知函數(shù)/(X)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應(yīng)值表,函數(shù)/(x)在哪個(gè)區(qū) 間存在零點(diǎn)呢？12345625-31-4-5學(xué)生小組討論，代表作答,教師展示學(xué)生作品，學(xué)生說明生：存在零點(diǎn)師：在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？生：(2,3),因?yàn)閳D象連續(xù)，函數(shù)值從正變到負(fù)，圖

12、像和X軸一立有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn).問題8:如何判斷一般函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(sb)內(nèi)是否存在零點(diǎn)？生：/()(Z>)<O問題9:如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)滿足/(“) /(b) V 0,那么，函數(shù)y = f(x)在區(qū) 間(b)內(nèi)有零點(diǎn),這樣就可以嗎？生：(討論)如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(Gb)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a) /(b) < 0,那么，函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)問題10：這個(gè)判斷方法在敘述上還有沒有需要修改的地方？教師引導(dǎo):這種方法是判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，需要計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值.生：函數(shù)必須在端

13、點(diǎn)處有定義，所以函數(shù)必須是在閉區(qū)間。少上的圖象是連續(xù)不 斷的一條曲線問題11:那存在零點(diǎn)的區(qū)間是否也需要改成閉區(qū)間？生：不需要，零點(diǎn)是利用f(a)f(b)< O確定的零點(diǎn)，所以零點(diǎn)不會出現(xiàn)在端點(diǎn)處. 定理：如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 S)(b)vO,那么，函數(shù)y = Jx)在區(qū)間(“上)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cw(d0),使 /(c) = O,這個(gè)C也就是方程fx) = 0的根.問題12：滿足定理?xiàng)l件，函數(shù)一定在區(qū)間(a,b)有零點(diǎn)，不滿足定理?xiàng)l件，函數(shù) y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)一定不存在零點(diǎn)嗎？此定理能判定零點(diǎn)的存在性，能判定零點(diǎn)有多少個(gè)嗎

14、？生：不滿足定理?xiàng)l件，/(")(b)>0時(shí)依然可能存在零點(diǎn)師：怎樣修改條件時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)零點(diǎn)？教師活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生作圖，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想學(xué)生活動(dòng)：小組討論,代表作答,學(xué)生經(jīng)歷自主舉例,促進(jìn)對定理的準(zhǔn)確理解.生：只要讓函數(shù)在區(qū)間a,b±是單調(diào)函數(shù)就可以.教師歸納：定理中的“連續(xù)不斷”是必不可少的條件；定理不能確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；不 滿足定理?xiàng)l件時(shí)依然可能存在零點(diǎn).師：回顧剛才提出的問題,這個(gè)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)呢？生:積極作答設(shè)計(jì)意圖：1、將現(xiàn)實(shí)生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行合情推理,將原來學(xué)生只認(rèn)為靜態(tài)的 函數(shù)圖象,理解為一種動(dòng)態(tài)的過程.2、山原來

15、的圖象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和提取有效信息的能 力.體驗(yàn)語言轉(zhuǎn)化的過程.【環(huán)節(jié)四：零點(diǎn)存在性定理的探究】熟悉定理，辨析應(yīng)用例2：判斷函數(shù)f(x) = nx+2x-6在區(qū)間(l,w)是否存在零點(diǎn)?解:通過計(jì)算可知，/V 0,(e)>0,則/(l)(e)v,這說明函數(shù)y = (x)在區(qū)間(l,e)內(nèi)有零點(diǎn).由于函數(shù)y = (x)在定義域(0.÷)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零 點(diǎn).【環(huán)節(jié)五：應(yīng)用與鞏固】例題變式，深化拓展變式：函數(shù)/(x) = log2x + 3x-8在哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn)？練習(xí)1.已知連續(xù)函數(shù)尸/，有fW)<0 (a<b)貝IJ()A.在區(qū)間

16、,b上可能沒有零點(diǎn)B.在區(qū)間d,切上可能有三個(gè)零點(diǎn)C.在區(qū)間,b上至多有一個(gè)有零點(diǎn)D.在區(qū)間d,b上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)2. 已知函數(shù) f(x) = 2x+x ,g(x) = x-2 , h(x) = log2x + x 的零點(diǎn)依次是a,b,c,則()A. a <b < c B. a<c<b C. b<a<c D- c <a <b3. 討論函數(shù)/(x) = 3(x+2)(37)(x+4)-x的零點(diǎn)所在區(qū)間.【環(huán)節(jié)六：歸納小結(jié)】小結(jié)反思，提高認(rèn)識本節(jié)我們學(xué)習(xí)了哪些知識？能夠解決哪些問題?接觸到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？1. 知識點(diǎn):零點(diǎn)的定義等價(jià)關(guān)系零點(diǎn)存在

17、性原理2. 思想方法:數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程思想化歸與轉(zhuǎn)化思想3. 題型:求函數(shù)零點(diǎn)判斷零點(diǎn)所在區(qū)間判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)【環(huán)節(jié)七：歸納小結(jié)】布置作業(yè)，獨(dú)立探究分層作業(yè)：1、教材88頁練習(xí)1、22、拓展作業(yè)：已知/(x) = -2x-3-6,求"取何值時(shí)函數(shù)能分別滿足下列條件有2個(gè)零點(diǎn);3個(gè)零點(diǎn);4個(gè)零點(diǎn).六、教學(xué)反思1、教學(xué)內(nèi)容的反思本課內(nèi)容，從兒何直觀上感知和認(rèn)識函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而形成函數(shù)零點(diǎn)的概念; 對于零點(diǎn)存在的條件，高中階段不必要加以證明.重點(diǎn)就是讓學(xué)生通過觀察和分析 函數(shù)圖象，直觀感受零點(diǎn)存在的條件.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，是要學(xué)生體會函數(shù)在高中 數(shù)學(xué)的核心作用用函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)帥中學(xué)代數(shù)，把所

18、有中學(xué)代數(shù)問題納入函數(shù)的思 想下.2、問題設(shè)置的反思如何創(chuàng)設(shè)“函數(shù)零點(diǎn)”的“問題情境”，我是經(jīng)過認(rèn)真思考的.考慮到學(xué)生現(xiàn)有 的概括能力較差,所以我釆用開門見山的方式.通過給出具體的一次函數(shù)的零點(diǎn)的 概念,給學(xué)生提出如何求一個(gè)具體二次函數(shù)的零點(diǎn)的問題，學(xué)生通過模仿求出二次 函數(shù)的零點(diǎn).這個(gè)過程也為下一個(gè)問題“抽象概括出一般函數(shù)零點(diǎn)的概念”做好了 鋪墊,使教學(xué)過渡更流暢3、預(yù)設(shè)與生成的反思課堂活動(dòng)的設(shè)計(jì)是階梯性的，多層次多角度，盡量保證學(xué)生都能夠參與到課堂 活動(dòng)中來但是學(xué)生的思維是有差別的，不一定都能和教師預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)同步.因此 教師要隨時(shí)把握課堂教學(xué)，為學(xué)生提供思維發(fā)散及延伸的空間使學(xué)生在接受數(shù)學(xué) 科學(xué)教育的同時(shí),完善和提高自己.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)點(diǎn)評本節(jié)課李老師由學(xué)生熟悉