高等數(shù)學(xué)D2_5函數(shù)的微分

1、二、微分運算法則二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用三、微分在近似計算中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 函數(shù)的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其的微分微分,定義定義: 若函數(shù))(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00

2、 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x處可導(dǎo)，在點0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點 可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxf

3、y)(d0定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在點 可導(dǎo),0 x則線性主部的此項為時yxf0)(0說明說明:0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 x

4、yO)(xfy 0 xyydxtan當(dāng) 很小時,xyyd時，當(dāng)xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctan xy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P116表)又如又如,二、二、 微分運算法則微分運算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)(

5、)(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv例例1., )e1(ln2xy求 .dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex例例2. 設(shè),0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos)

6、d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.)( 為任意常數(shù)C注注)(22 44)(22)(4sin22)sin(2k224數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如 三、三、 微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用)()(0 xoxxfy當(dāng)x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:特別當(dāng)xx,00很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似

7、公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(3) exxtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當(dāng) xxx1)1 (180dx29sin的近似值 .解解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,629x則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求29sin4848. 029sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(004938. 3例例5. 計算xx1)1 (004942. 32455內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)

8、1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導(dǎo)2. 微分運算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計算估計誤差思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點0 x處的yy ,d及,dyy 并說明其正負 .yd0 xx00 xxyOy00yyd2.xxed)d(arctane x2e11xd xx2e1exxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos215. 設(shè))(xyy 由方程063sin33yxyx確定,.d0 xy解解: 方程兩邊求微分, 得xx d32當(dāng)0 x時,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 設(shè) ,0a且,nab 則nnba1nanba1. 已知, )1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因為 y所以yd22)1(sin11xx1sin2x1co