第1章 5.1 二項(xiàng)式定理

1、.5二項(xiàng)式定理5.1二項(xiàng)式定理1能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理難點(diǎn)2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題難點(diǎn)根底初探教材整理二項(xiàng)式定理閱讀教材P23P24“例1以上部分，完成以下問題1二項(xiàng)式定理：abn_.【答案】CanCan1bCanrbrCbn2二項(xiàng)式系數(shù)：_.【答案】Cr0,1,2，n3二項(xiàng)式通項(xiàng)：_，即二項(xiàng)展開式的第_項(xiàng)【答案】Canrbrr14在二項(xiàng)式定理中，假如設(shè)a1，bx，那么得到公式：1xn_.【答案】1CxCx2Cxrxn判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“1abn展開式中共有n項(xiàng)2在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響3Cankbk是abn展開式中的第k項(xiàng)4abn與abn的二項(xiàng)

2、式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)一樣【解析】1因?yàn)閍bn展開式中共有n1項(xiàng)2因?yàn)槎?xiàng)式的第k1項(xiàng)Cankbk和ban的展開式的第k1項(xiàng)Cbnkak是不同的，其中的a，b是不能隨意交換的3因?yàn)镃ankbk是abn展開式中的第k1項(xiàng)4因?yàn)閍bn與abn的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)都是C.【答案】1234質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型二項(xiàng)式定理的正用、逆用1用二項(xiàng)式定理展開5；2化簡：Cx1nCx1n1Cx1n21kCx1nk1nC.【精彩點(diǎn)撥】1二項(xiàng)式的指數(shù)為5，且為兩項(xiàng)的和，可直接按二項(xiàng)式定理展開；2可先把x1看成一個(gè)整體，分

3、析構(gòu)造形式，逆用二項(xiàng)式定理求解【自主解答】15C2x5C2x4C532x5120x2.2原式Cx1nCx1n11Cx1n212Cx1nk1kC1nx11nxn.1展開二項(xiàng)式可以按照二項(xiàng)式定理進(jìn)展展開時(shí)注意二項(xiàng)式定理的構(gòu)造特征，準(zhǔn)確理解二項(xiàng)式的特點(diǎn)是展開二項(xiàng)式的前提條件2對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再展開會(huì)更簡便3對(duì)于化簡多個(gè)式子的和時(shí)，可以考慮二項(xiàng)式定理的逆用對(duì)于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)，各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù)再練一題11求4的展開式；2化簡：12C4C2nC.【解】1法一：4C34C33C322C33C481x2108x54.法二：481x4108x354x212x18

4、1x2108x54.2原式12C22C2nC12n3n.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題1求二項(xiàng)式6的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)；2求9的展開式中x3的系數(shù)【精彩點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)式定理求展開式中的某一項(xiàng)，可以通過二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)展求解【自主解答】1由得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1C26rr1rC26r，T612.第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C6，第6項(xiàng)的系數(shù)為C1212.2Tr1Cx9rr1rCx92r，92r3，r3，即展開式中第四項(xiàng)含x3，其系數(shù)為13C84.1二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cr0,1,2，n，它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)式展開式中“項(xiàng)的系數(shù)這兩

5、個(gè)概念2第r1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.例如，在12x7的展開式中，第四項(xiàng)是T4C1732x3，其二項(xiàng)式系數(shù)是C35，而第四項(xiàng)的系數(shù)是C23280.再練一題21 7的展開式中x5的系數(shù)是_用數(shù)字填寫答案2二項(xiàng)式6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_【解析】1Tr1Cx37rrCx214r，令214r5，得r4，C35.故展開式中x5的系數(shù)為35.2Tr1C2x6rr1rC262rx62r，令62r0，得r3，所以常數(shù)項(xiàng)為T413C20.【答案】135220探究共研型求展開式中的特定項(xiàng)探究1如何求4展開式中的常數(shù)項(xiàng)【提示】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Cx4rCx42r求解，令42r0，

6、那么r2，所以4展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C6.探究2abcd展開式中的每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)如何得到的？【提示】abcd展開式中的各項(xiàng)都是由ab中的每一項(xiàng)分別乘以cd中的每一項(xiàng)而得到探究3如何求2x13展開式中含x的項(xiàng)？【提示】2x13展開式中含x的項(xiàng)是由x中的x與分別與2x13展開式中常數(shù)項(xiàng)C1及x2項(xiàng)C22x212x2分別相乘再把積相加得xCC2x2x12x13x.即2x13展開式中含x的項(xiàng)為13x.在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)1求n；2求含x2項(xiàng)的系數(shù)；3求展開式中所有的有理項(xiàng)【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】通項(xiàng)公式為：Tr1C 3rC3r.1第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，r5時(shí)，有0，即n10.2令2，得r1062，所

7、求的系數(shù)為C32405.3由題意得，令kkZ，那么102r3k，即r5k.rZ，k應(yīng)為偶數(shù)，k2,0，2即r2,5,8，所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，61 236,295 245x2.1求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常見題型1求第k項(xiàng)，TkCank1bk1；2求含xk的項(xiàng)或xpyq的項(xiàng)；3求常數(shù)項(xiàng)；4求有理項(xiàng)2求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法1對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0即0次項(xiàng)；2對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)詳細(xì)要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；3對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式

8、項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致再練一題31在1x31x10的展開式中，x5的系數(shù)是_2假設(shè)6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，那么常數(shù)a的值為_【解析】1x5應(yīng)是1x10中含x5項(xiàng)、含x2項(xiàng)分別與1，x3相乘的結(jié)果，其系數(shù)為CC1207.26的展開式的通項(xiàng)是Tk1Cx6kkx2kCx63kk，令63k0，得k2，即當(dāng)k2時(shí)，Tk1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是Ca，根據(jù)得Ca60，解得a4.【答案】120724構(gòu)建體系1在x10的展開式中，含x6的項(xiàng)的系數(shù)是A27CB27CC9CD9C【解析】含x6的項(xiàng)是T5Cx649Cx6.【答案】D2在8的展開式中常數(shù)項(xiàng)是A28B7 C7D28【解析】Tk1C8kk1kC8k，當(dāng)8k0，即k6時(shí)，T716C27.【答案】C3在6的展開式中，中間項(xiàng)是_【解析】由n6知中間一項(xiàng)為哪一項(xiàng)第4項(xiàng)，因T4C2x233C1323x3，所以T4160x3.【答案】160x34在9的展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是_，第4項(xiàng)的系數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62690021】【解析】Tk1Cx29kkkCx183k，當(dāng)k3時(shí)，T43Cx9x9，所