第三節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

1、1 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列單調(diào)有界數(shù)列 必有極限必有極限 柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則 推出推出 推出推出 重要極限重要極限: 1sinlim0 xxx 重要極限重要極限: exxx11lim 應(yīng)應(yīng) 用用 21.1.極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 準(zhǔn)則準(zhǔn)則1：如果數(shù)列如果數(shù)列 滿滿足足下下列列條條件件：及及nnnzy,x ,lim,lim2, 3 , 2 , 11azaynzxynnnnnnn.lim,axxnnn且且的的極極限限存存在在則則數(shù)數(shù)列列 1準(zhǔn)準(zhǔn)則則 xhxfxgMxrxxU有有時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng),10 ,lim,lim200AxhAxgxxxxxx .l

2、im,lim00Axfxfxxxxxx且且存存在在則則若若3準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 ,1,顯顯然然不不能能發(fā)發(fā)生生情情形形對(duì)對(duì)于于單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列的的幾幾何何解解釋釋?zhuān)簻?zhǔn)準(zhǔn)則則2. .1x2x3x. . .xA .1nxnxM 有有兩兩種種可可能能情情形形：只只可可能能向向一一個(gè)個(gè)方方向向移移動(dòng)動(dòng)單單調(diào)調(diào)數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn),xn .1nnnxxx或或沿沿?cái)?shù)數(shù)軸軸移移向向無(wú)無(wú)窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn) .lim,2AxAxnnn即即無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于某某個(gè)個(gè)定定點(diǎn)點(diǎn)nAxn收斂的數(shù)列一定有界，收斂的數(shù)列一定有界， 但有界的數(shù)列不一定收斂。但有界的數(shù)列不一定收斂。如果數(shù)列如果數(shù)列不僅有界，而且單調(diào)不僅有界，而且單調(diào)，那

3、么該數(shù)列的極限一定那么該數(shù)列的極限一定存在，存在， 即該即該數(shù)列一定收斂數(shù)列一定收斂。42.2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1sinlim0 xxx exxx11lim 1sinlim xuxux 0lim xux xuxlim exuxux)()(11lim 0lim xuxexuxux)(1)(1limexxx101lim 變形變形 51.1.用夾逼準(zhǔn)則用夾逼準(zhǔn)則 （夾逼定理）證明或求極限（夾逼定理）證明或求極限 項(xiàng)項(xiàng)nnnnn2222212111項(xiàng)項(xiàng)nnnnnnn222222111項(xiàng)項(xiàng)nnnn111111222.,12111lim22222并并求求極極限限存存在在利利用用夾夾逼逼定定理理證

4、證明明nnnnn例例1 1：,n,knknnn211111222222解：解：nnn212212nn6,nnnnnnn11211121 222222即即, 021limnn2111limnnn, 0010由夾逼定理知：由夾逼定理知：且且存在存在,12111lim22222nnnnn. 012111lim22222nnnnn1lim2nnn7例例2 2 用夾逼準(zhǔn)則證明：用夾逼準(zhǔn)則證明： .1sinlim0 xxxoABCDx,xAOC,C,A在在單單位位圓圓周周上上如如圖圖：,OCDC,OCAB,OC且且是是半半徑徑,sinABAOABx于是有于是有,tanDCOCDCx,的長(zhǎng)的長(zhǎng)弧弧ACx 的

5、面積的面積的面積的面積扇形扇形的面積的面積而而DOCAOCAOC ,sin212121xABOCABSAOC ,tan212121xDCOCDCSDOC ,xSAOC21扇形扇形,tan2121sin21xxx,x0.x20 可可設(shè)設(shè),x0先先設(shè)設(shè)證：證：,tansinxxx8,20 x,cos1sin1xxx 得得 1 ,cossin1xxx .102式式也也成成立立內(nèi)內(nèi)在在x 即即可可：下下面面只只需需證證明明1coslim0 xx,20,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)事實(shí)上事實(shí)上 x,coscos,sinsinxxxxxx, 0sinx,sin除除不不等等式式用用x,22222xx,2cos102xx 即即x

6、xcos11cos02sin22x9, 02,02xx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 1coslim0 xx由由夾夾逼逼定定理理知知： 式及夾逼定理得：式及夾逼定理得：再由再由1.1sinlim0 xxx：還還得得到到一一個(gè)個(gè)重重要要不不等等式式在在上上面面的的證證明明中中注注, 2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2sin xxx,21sin x .2,2式式仍仍成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x10例例3 3 設(shè)設(shè) , 2 , 10kiai求求 .lim21nnknnnaaa可以作為已知可以作為已知 極限的極限極限的極限 1lim),0( 1limnnnnnaa解：解： 則有則有 .21nnnknnkMaaaM設(shè)設(shè) ,max21kaaaM而而 .

7、limlimMkMMnnn由夾逼定理由夾逼定理 .lim21Maaannknnn設(shè)設(shè) ,max21kaaaM.21nnnknnkMaaaM112.2.用極限存在準(zhǔn)則用極限存在準(zhǔn)則2 2，證明并求函數(shù)的極限，證明并求函數(shù)的極限 例例4 4 設(shè)設(shè) nx)., 2 , 1( ,211nxaxxnnn, 0, 01xa（1）證明：數(shù)列）證明：數(shù)列 單調(diào)減少且有下界；單調(diào)減少且有下界； （2）求）求 .limnnx證明：證明： （1）顯然顯然 .10nxn由于由于 ,221211axaxxaxxnnnnn數(shù)列數(shù)列 nx有下界；有下界； 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?. 022121nnnnnnnxxaxxaxxxnx單

8、調(diào)減少。單調(diào)減少。 數(shù)列數(shù)列 （2）由（由（1）知，數(shù)列的極限必然存在，設(shè)）知，數(shù)列的極限必然存在，設(shè) .limAxnn則則 ,21limlim1nnnnnxaxx,21AaAA即即解得解得 aAaA或或（舍去）。（舍去）。 12例例5 5 設(shè)設(shè) , 2 , 1,6,1011nxxxnnnx證明數(shù)列證明數(shù)列 有極限，有極限， 并求并求 .limnnx證明：證明： 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列 nx單調(diào)遞減。單調(diào)遞減。 因?yàn)橐驗(yàn)?, 4,102121xxxx設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng) kn 時(shí)，時(shí)， ,1kkxx由于由于 ,66211kkkkxxxx得到得到 1 kn時(shí)，時(shí)， ,21kkxx由此可知由

9、此可知 nx單調(diào)遞減。單調(diào)遞減。 即即 ,Nn都有都有 .1nnxx所以所以 nx有極限。有極限。 不妨設(shè)不妨設(shè) ,limAxnn,6limlim1nnnnxx則則 ,6AA解得解得 , 23AA或或（舍去）（舍去） . 3limnnx顯然有顯然有 , 0nx即即 nx有下界。有下界。 13xxxxxcos1limsinlim00111解解xxxxxx3131sinlim31sin2limxx32xxx3131sinlim32xxxtanlim0求求例例6 6： xxxxxxxcos1sinlimtanlim00解：解：xxx31sin2lim求求例例7 7： 323.3.兩個(gè)重要極限的應(yīng)用兩

10、個(gè)重要極限的應(yīng)用 244tantanlim4 xxxxxxxtan14)4(tanlim4 41tanlim4 xxx求求例例8 8： 41tanlim4 xxx解：解： 1sinlim xuxux 0lim xux114xxxa1lim求求例例9 9： ,1lim1limaaxxxxxaxa解：解：,1limexaaxx由于由于 令令 ,1uxaax由復(fù)合函數(shù)求極限的法則：由復(fù)合函數(shù)求極限的法則： .lim1limaaeuxxeuxaaxxexa1lim如如 xxx21lim.2 exxx321lim321limxxx32 e6 e xuxlim exuxux)()(11lim15xxx12

11、1xx121,tx112令令則則,tx12 ,x時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).t1211lim11limttxxtxx211limttt2 exxxx11lim求求例例1010：xxx11解：解：21121lim121limexxxxxx另解：另解： 16exxxxcxx11lim11lim111limcxx例例11 11 xxxx23lim求求解：解：xxxxxxx211lim23lim22211limxxx1212211lim211limexxxxx令令 ,123txx則則 ,12tx且當(dāng)且當(dāng) x時(shí)，時(shí)， . 0t11201lim23limetxxttxx另解：另解： 17 ，若若axvxuxxlim ,li

12、m axvxuxexu)()()(11lim例例12 12 .1cos1sinlimxxxx求求極極限限解：解：2 21cos1sinlim1cos1sinlimxxxxxxxx22sin1limxxx2 2sin 2sin12sin1limxxxxxx22sin 2sin12sin1limxxxxe18 無(wú)窮小無(wú)窮小 高階無(wú)窮小高階無(wú)窮小 同階無(wú)窮小同階無(wú)窮小 低階無(wú)窮小低階無(wú)窮小 等價(jià)等價(jià) 無(wú)窮小無(wú)窮小 等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小 的充要條件的充要條件 等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小 的替換的替換 特例特例 19,tan,sin,3 ,02都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxx ,xxlimx03 20而

13、而,xxsinlimx201sintanlim0 xxx,xx,x“快些”“快些”比比的過(guò)程中的過(guò)程中在在03002,xx“慢些”“慢些”比比反過(guò)來(lái)反過(guò)來(lái)0032.xtanxsin“快慢相仿”“快慢相仿”與與00.比較比較慢”程度稱(chēng)為無(wú)窮小的慢”程度稱(chēng)為無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的這種“快比較無(wú)窮小的這種“快兩個(gè)無(wú)窮小比的極限不同，反映了不同無(wú)窮小兩個(gè)無(wú)窮小比的極限不同，反映了不同無(wú)窮小趨于零的趨于零的“快慢快慢”程度程度20. 0, 的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是在在同同一一個(gè)個(gè)極極限限過(guò)過(guò)程程中中、設(shè)設(shè)1. 1.定義：定義： ,o, 記作記作高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小是比是比則稱(chēng)則稱(chēng),lim0 如如果果,li

14、m 如如果果,低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小是比是比則稱(chēng)則稱(chēng) ;,clim是是同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小與與則則稱(chēng)稱(chēng)如如果果 0階階無(wú)無(wú)窮窮小小。是是是是關(guān)關(guān)于于則則稱(chēng)稱(chēng)如如果果k,climk 0,lim1 如果如果., 記作記作是等價(jià)的無(wú)窮小是等價(jià)的無(wú)窮小與與則稱(chēng)則稱(chēng)21, 設(shè)設(shè) 1limlim 則則1lim 0 .o,o 即即 ,o 設(shè)設(shè) o limlim則則 o1lim1 證：證：是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與 . o定理定理1 1：,lim, 存存在在且且設(shè)設(shè) limlim 則則 2定定理理 limlimlim lim limlim證：證：3.等價(jià)無(wú)窮小的替換定理等價(jià)無(wú)窮小的替換定理 2.等價(jià)無(wú)窮小

15、的充要條件等價(jià)無(wú)窮小的充要條件 221.1.確定無(wú)窮小的階確定無(wú)窮小的階 例例1 當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)，下列函數(shù)分別為時(shí)，下列函數(shù)分別為 x的幾階無(wú)窮??？的幾階無(wú)窮小？ .2coscos(4) ;1tan)3(;11(2) ;tansin)1(2xxxxxxxxxx解：解： 1tansinlimtansinlim)1(020 xxxxxxxxx所以所以 xxtansinx的的2階無(wú)窮小。階無(wú)窮小。 是是 1112lim11lim(2) 0 x0 xxxxxxxx所以所以 x的同階無(wú)窮小。的同階無(wú)窮小。 是是 xx112311tan1tanlim)3(220 xxxxxxxxxx所以所以 x的的2階無(wú)

16、窮小。階無(wú)窮小。 是是 xxxx1tan22sin2sin2sin21cos2coscos(4)222xxxxxxxx2coscos所以所以 x的的2階無(wú)窮小。階無(wú)窮小。 是是 確定無(wú)窮小的階這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是：確定無(wú)窮小的階這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是： （1）通過(guò)求極限的方法來(lái)確定無(wú)窮小的階；）通過(guò)求極限的方法來(lái)確定無(wú)窮小的階； （2）利用無(wú)窮小的替換。）利用無(wú)窮小的替換。232sin2sin2lim2coscoslim222020 xxxxxxxx24例例2 當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)，時(shí)， xxxxkxxcosarcsin12 與與是等價(jià)無(wú)窮小，則是等價(jià)無(wú)窮小，則 k = ？ 。（2005年研究生入學(xué)試

17、題年研究生入學(xué)試題,數(shù)學(xué)二）數(shù)學(xué)二）解解 200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx xxxkxxxxxcosarcsin1cosarcsin1lim20 xxxkxxxxxcosarcsin1arcsin2sin2lim220 xxxkxxxxxxcosarcsin1arcsin2sin2lim2220143k43k212125xxxx2sin4lim 30求求例例3 3：,22sin,44,03xxxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解：解：. 224lim2sin4lim030 xxxxxxx2.2.利用無(wú)窮小的替換定理求極限利用無(wú)窮小的替換定理求極限 162124limcos124t

18、anlim22020 xxxxxxxxxcos124tanlim20求求例例4 4：,2cos1 ,44tan,02xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解：解：26,1212sin, 22xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解：解：xxxxxxxx112sinlim12sinlim22xxxx112lim2212lim22xxx12sinlim2xxxx求求例例5 5：（2005年研究生入學(xué)試題年研究生入學(xué)試題,數(shù)學(xué)三）數(shù)學(xué)三）熟練運(yùn)用經(jīng)常用到的等價(jià)無(wú)窮小的替換熟練運(yùn)用經(jīng)常用到的等價(jià)無(wú)窮小的替換 當(dāng)當(dāng) 0 x 時(shí)，時(shí)， xxxxx arctanarcsintansin ,1lnxx ,21cos12xx ,1xex .11xaxa ,ln1axax 27 xxxxxx1lncos11cossin3lim20求求例例6 6：,1ln,0 xxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解：解： xxxxxx1lncos11cossin3lim20 xxxxxxcos11cossin3lim2023cos11cossin3lim0 xxxxxx11sin1