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1、2018屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案18:難點(diǎn)突破:立體圖形的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)與概念:1球的截面:用一個(gè)平面去截球,截面是圓面;用一個(gè)平面去截球面,截面是圓大圓:截面過(guò)球心,半徑等于球半徑(截面圓中最大);小圓:截面不過(guò)球心2球心和截面圓心的連線垂直于截面3球心到截面的距離與球半徑及截面圓半徑的關(guān)系:4幾何體的外接球:幾何體的頂點(diǎn)都在球面上;幾何體的內(nèi)切球:球與幾何體的各個(gè)面都相切二、多面體的外接球(球包體)模型1:球包直柱(直錐):有垂直于底面的側(cè)棱(有垂底側(cè)邊棱)球包直柱球徑公式:,(為底面外接圓半徑)球包正方體球包長(zhǎng)方體球包四棱柱球包三棱柱球包直錐三棱錐四棱錐速算 模型2:“
2、頂點(diǎn)連心”錐:錐體的頂點(diǎn)及球心在底面的投影都是底面多邊形外接圓的圓心(兩心一頂連成線)實(shí)例:正棱錐球徑計(jì)算方程:,(為棱錐的高,為底面外接圓半徑)特別地,(1)邊長(zhǎng)為正四面體的外接球半徑:_(2)底面邊長(zhǎng)為,高為的正三棱錐的外接球半徑:_(3)底面邊長(zhǎng)為,高為的正四棱錐的外接球半徑:_例:1(2017年全國(guó)卷III第8題)已知圓柱的高為,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為A B C D 【解析】模式辨識(shí):“球包體”中的“垂底側(cè)邊棱(母線)”類(lèi)型,底面半徑為,則由得:, 2(2010年全國(guó)新課標(biāo)卷第10題)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,
3、則該球的表面積為A B C D 【解析】“球包體”中的“垂底側(cè)邊棱”類(lèi)型,所以該球的表面積答案B3(2014年全國(guó)大綱卷第8題)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為A B C D 【解析】模式辨識(shí):“球包體”中的“頂點(diǎn)連心錐”,則,所以,答案:A 4(2013年全國(guó)卷I第6題)如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為A B C D【解析】設(shè)水面與球的接觸點(diǎn)(切點(diǎn))為,球心為,則垂直于正方體的上表面,依題意到正方體上表面的距離為,球與正方體
4、上表面相交圓的半徑,有:,所以球的體積三、定心大法:球心在過(guò)截面圓的圓心且垂直于截面圓所在平面的直線上兩圓定心法:如下圖,過(guò)兩個(gè)截面圓的圓心分別作相應(yīng)截面圓的垂線,由兩垂線的交點(diǎn)確定圓心例2:1已知邊長(zhǎng)為的棱形中,現(xiàn)沿對(duì)角線折起,使得二面角為,此時(shí)點(diǎn),在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A B C D 2在矩形中,沿將矩形折成一個(gè)直二面角,則四面體的外接球的體積為_(kāi)3在邊長(zhǎng)為的菱形中,沿對(duì)角線將菱形折成直二面角,則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)四、正多面體的內(nèi)切球(體中球)錐體的內(nèi)切球:_圓錐的內(nèi)切球:邊長(zhǎng)為的正方體:等邊圓柱(母線):邊長(zhǎng)的正八面體:五、正多面體的“切邊球”(與所有的棱都相切的球
5、)正四面體邊長(zhǎng)為,球半徑正方體邊長(zhǎng)為,球半徑正四面體邊長(zhǎng)為,球半徑例3:1一個(gè)球的外切正方體的全面積為,則球的體積為_(kāi)2某圓錐的截面為邊長(zhǎng)為的正三角形,則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)3(2016年全國(guó)卷III第10題)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球,若,則的最大值是A BC D【解析】考查直三棱柱中截面的內(nèi)切圓為球的大圓的情景,有,故當(dāng)球半徑為時(shí)球的體積最大為答案B練習(xí):1(2015年全國(guó)卷II第9題)已知,是球的球面上兩點(diǎn),為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為A B C D 2(2016年福建漳州市5月質(zhì)檢)三棱錐中,平面,是邊長(zhǎng)為的正三角形,則三棱錐的外接球的表面
6、積為()A B C D3(2014年湖南卷)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于( )A B C D 4(2013年遼寧卷理10)已知三棱柱的個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,若,則球的半徑為()A B C D 5(2012年全國(guó)新課標(biāo)卷第11題)已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球的直徑,且,則此棱錐的體積為A B C D 6在正三棱錐中,側(cè)棱與底面所成的角為,則該三棱錐外接球的體積為()AB C D7已知底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為( )A B C D 8(2017年福建省質(zhì)檢)空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),且,若,則該球的半徑等于A B C D9若三棱錐的最長(zhǎng)的棱,且各面均為直角三角形,則此三棱錐的外接球的體積是_10(2008年高考浙江卷理14)已知球的面上四點(diǎn)、,平面,則球的體積為_(kāi)11(2016年?yáng)|北三省三校聯(lián)考)三棱柱各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,側(cè)棱與底面垂直,則這個(gè)球的表面積為_(kāi)12在三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,且三棱柱的體積為,則三棱柱的外接球表面積為_(kāi)13在正三棱錐中,分別是棱、的中點(diǎn),且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是_14在三棱錐中,則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)15(2
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