高等數學講義--無窮級數(數學一和數學三)

1、第八章 無窮級數（數學一和數學三）引言：所謂無窮級數就是無窮多項相加，它與有限項相加有本質不同，歷史上曾經對一個無窮級數問題引起爭論。例如：歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和”第一種第二種第三種設則這種爭論說明對無窮多項相加，缺乏一種正確的認識。1) 什么是無窮多項相加？如何考慮？2) 無窮多項相加，是否一定有“和”？3) 無窮多項相加，什么情形有結合律，什么情形有交換律等性質。因此對無窮級數的基本概念和性質需要作詳細的討論。§ 8.1常數項級數（1） 內容要點一、基本概念與性質1. 基本概念無窮多個數依次相加所得到的表達式稱為數項級數（簡稱級數）。 （）稱為級數的前n項的部

2、分和，稱為部分和數列。不存在，則稱級數是發(fā)散的，發(fā)散級數沒有和的概念。（注：在某些特殊含義下可以考慮發(fā)散級數的和，但在基礎課和考研的考試大綱中不作這種要求。）2 基本性質（1） 如果（2） 在級數中增加或減少或變更有限項則級數的收斂性不變。（3） 收斂級數具有結合律，也即對級數的項任意加括號所得到的新級數仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級數不具有結合律，引言中的級數可見是發(fā)散的，所以不同加括號后得到級數的情形就不同。（4） 級數（注：引言中提到的級數，因此收斂級數的必要條件不滿足，發(fā)散。調和級數滿足卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級數的必要條件，而收斂性尚不能確定。）3兩類重要的級數（1）等比級數（幾何級數

3、）當時，收斂當時，發(fā)散（2）p一級數當p>1時，收斂，當p1時發(fā)散（注：p>1時，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知）二、正項級數斂散性的判別法則稱為正項級數，這時是單調加數列，它是否收斂就只取決于是否有上界，因此有上界，這是正項級數比較判別法的基礎，從而也是正項級數其它判別法的基礎。1. 比較判別法收斂，則收斂；如果發(fā)散，則發(fā)散。2. 比較判別法的極限形式設若1) 當0<A<+時，與同時收斂或同時發(fā)散。2) 當A=0時，若收斂，則收斂。3) 當A=+時，若收斂，則收斂。3比值判別法（達朗倍爾）設>0，而1） 當<1時，則收斂2） 當>1時(包括

4、=+)，則發(fā)散3） 當=1時，此判別法無效（注：如果不存在時，此判別法也無法用）4根值判別法（柯西）設0，而1） 當<1時，則收斂2） 當>1時(包括=+)，則發(fā)散3） 當=1時，此判別法無效事實上，比值判別法和根值判別法都是與等比級數比較得出相應的結論，應用時，根據所給級數的形狀有不同的選擇，但它們在=1情形下都無能為力。數學上有更精細一些的判別法，但較復雜，對考研來說不作要求。三、交錯級數及其萊布尼茲判別法1交錯級數概念若>0,稱為交錯級數。2萊布尼茲判別法設交錯級數滿足：1）2) =0，則收斂，且0<<四、絕對收斂與條件收斂1定理若收斂，則一定收斂；反之不然

5、。2定義若收斂，則稱為絕對收斂；若收斂，而發(fā)散，則稱為條件收斂。3有關性質1）絕對收斂級數具有交換律，也即級數中無窮多項任意交換順序，得到級數仍是絕對收斂，且其和不變。2）條件收斂級數的正項或負項構成的級數，即（+）或（）一定是發(fā)散的。4一類重要的級數設1） 當>1時，是絕對收斂的2） 當0<1時，是條件收斂的3） 當0時，是發(fā)散的（2） 典型例題一、 主要用部分和數列的極限討論級數的斂散性例1 判定下列級數斂散性，若收斂并求級數的和。1） 2）1）解：的=1，收斂2）解：-得=3=3，收斂例2 設數列收斂證：由題意可知而 =因此，于是級數=是收斂的二、 主要用判別法討論級數的斂散

6、性例1 設級數收斂，則收斂解：（幾何平均值算術平均值）已知再用比較判別法，可知收斂例2 正項數列單調減少，且發(fā)散，問是否收斂？并說明理由。解：，由等比級數收斂和比較判別法可知收斂。例3 設（1）求的值。（2）證明：對任意正常數收斂。證明：（1）=1 （2）<<收斂，由比較判別法可知收斂。例4 設有方程當>1時，級數收斂。所以當>1時，級數收斂。§ 8.2 冪級數（甲）內容要點一、函數項級數及其收斂域與和函數（數學一）1 函數項級數的概念設皆定義在區(qū)間I上，則稱為區(qū)間I上的函數項級數。2 收斂域設，如果常數項級數收斂，則稱是函數項級數的收斂點，如果發(fā)散，則稱是的

7、發(fā)散點。函數項級數的所有收斂點構成的集合就稱為收斂域。所有發(fā)散點構成的集合你為發(fā)散域。3 和函數在的收斂域的每一點都有和，它與有關，因此，收斂域稱為函數項級數的和函數，它的定義域就是函數項級數的收斂域。二、冪級數及其收斂域1 冪級數概念稱為的冪級數，稱為冪級數的系數，是常數，當時，稱為的冪級數。一般討論有關問題，作平移替換就可以得出有關的有關結論。2冪級數的收斂域冪級數的收斂域分三種情形：（1） 收斂域為，亦即對每一個皆收斂，我們稱它的收斂半徑（2） 收斂域僅為原點，除原點外冪級數皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑。（3） 收斂域為 所以求冪級數的收斂半徑非常重要，（1）（2）兩種情形的收斂域就確定的

8、。而（3）的情形，還需討論兩點上的斂散性。三、 冪級數的性質1 四則運算設2. 分析性質設冪級數的收斂半徑> 0，S() = 為和函數，則有下列重要性質。（1）求導后冪級數的收斂半徑不變，因此得出（2）冪級數的收斂半徑也不變。（3）若(i)(ii)(iii)四、冪級數求和函數的基本方法1把已知函數的冪級數展開式（§ 8.3將討論）反過來用。下列基本公式應熟背：2、用逐項求導和逐項積分方法以及等比級數求和公式3、用逐項求導和逐項積分方法化為和函數的微分方程從而求出微分方程的解。五、利用冪級數求和函數得出有關常數項級數的和（乙）典型例題例1 求下列冪級數的和函數。（1）（2）解：（1）可求出收斂半徑R=1, 收斂域為（-1，1）（2）可以從求出和函數后，看出其收斂域§ 8.3將函數展開成冪級數（甲）內容要點一