微積分B版-上冊-講義-1[1].10函數(shù)的連續(xù)與間斷

1、函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷第第10節(jié)節(jié)北京理工大學數(shù)學系.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 1. 函數(shù)的增量北京理工大學數(shù)學系2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當自變量的增量果當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函對應的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向

2、于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. .,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是北京理工大學數(shù)學系定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限存在時的極限存在, ,且等于它在且等于它在點點0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0

3、 x連續(xù)連續(xù). .0000( )1. ( )2. lim( )3. ().xxf xxf xxf xf x函數(shù)在點 點連續(xù)包含了如下三個條件：在點 有確定的函數(shù)值；極限存在；極限值等于函數(shù)值三條件缺三條件缺一不可一不可北京理工大學數(shù)學系:定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時時使當使當北京理工大學數(shù)學系例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 北京理工大學數(shù)學系3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)

4、;)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 北京理工大學數(shù)學系例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但

5、不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點故故函函數(shù)數(shù) xxf北京理工大學數(shù)學系4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點點內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.在定義域內(nèi)點點連續(xù)的函數(shù)稱為連續(xù)函

6、數(shù)。在定義域內(nèi)點點連續(xù)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù)。北京理工大學數(shù)學系5、函數(shù)的間斷點、函數(shù)的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf北京理工大學數(shù)學系1.1.跳躍間斷點跳躍間斷點0000( ),(0)(0),( )f xxf xf

7、xxf x如果在點處左 右極限都存在 但則稱點 為函數(shù)的跳躍間斷點.例例3 3,0,( )01,0,xxf xxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy北京理工大學數(shù)學系2.2.可去間斷點可去間斷點00000( ),lim( )(),( )( )xxf xxf xAf xf xxxf x如果在點處的極限存在但或在點處無定義則稱點 為函數(shù)的可去間斷點。例例4 401,2,( )11,1,1,1xxf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性。oxy112xy 1xy2 北京理工大學數(shù)學系解解, 1)1( f

8、, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.北京理工大學數(shù)學系如例如例4 4中中, , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 xoxy1123.3.第二類間斷點第二類間斷點00( ),( ).f

9、xxxf x如果在點處的左、右極限至少有一個不存 在 則稱點為函數(shù)的第二類間斷點例例5 51,0,( )0,0,xf xxxxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解解oxy, 0)00( f,)00( f1x 為函數(shù)的第二類間斷點。3.3.第二類間斷點第二類間斷點定義：無窮型間斷點定義：無窮型間斷點000(,)xxxxxx當或時，函數(shù)值趨向于無窮大的間斷點.例例6 61( )sin0.f xxx討論函數(shù)在處的連續(xù)性解解xy1sin 0 x 在處沒有定義,01limsinxx且不存在.0.x 為第二類間斷點這種情況稱為的振蕩間斷點.注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點. .0( )xxf x當時，函數(shù)值無限次在兩個不同數(shù)之間變動，這種間斷點振蕩型稱為間斷點.北京理工大學數(shù)學系11101( )020 xxxxf xxex練習：討論函數(shù)：的連續(xù)性。小結(jié)1.1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件; ;3.3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別; ;2.2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù); ;第一類間斷點第一類間斷點: :可去型可去型, ,跳躍型跳躍型.