人教數(shù)學(xué)必修二第三章公式及證明

1、3.3.2兩點(diǎn)間的距離公式 .公式證明O y A B x 3.3.3點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.公式內(nèi)容.推導(dǎo)方法一、 定義法證：根據(jù)定義，點(diǎn)P到直線(xiàn) 的距離是點(diǎn)P到直線(xiàn) 的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，如圖1，設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)的垂線(xiàn)為 ，垂足為Q，由 可知 的斜率為 的方程：與聯(lián)立方程組解得交點(diǎn) 二、 函數(shù)法證：點(diǎn)P到直線(xiàn) 上任意一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離。在上取任意點(diǎn) 用兩點(diǎn)的距離公式有，為了利用條件上式變形一下，配湊系數(shù)處理得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以最小值就是三、不等式法證：點(diǎn)P到直線(xiàn) 上任意一點(diǎn)Q的距離的最小值就是點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離。由柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以最小值就是四、轉(zhuǎn)化法證：設(shè)直線(xiàn) 的傾斜角為

2、過(guò)點(diǎn)P作PM 軸交于M 顯然所以 易得MPQ （圖2）或MPQ（圖3）在兩種情況下都有所以 五、三角形法證：P作PM 軸交于M，過(guò)點(diǎn)P作PN 軸交于N（圖4）由解法三知；同理得 在RtMPN中，PQ是斜邊上的高六、參數(shù)方程法證：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn) 交直線(xiàn)于點(diǎn)Q。(如圖1)由直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義知，將 代入 得整理后得 當(dāng) 時(shí)，我們討論 與 的傾斜角的關(guān)系：當(dāng) 為銳角時(shí) （）有（圖2）圖五當(dāng) 為鈍角時(shí) （）有（圖3）得到的結(jié)果和上述形式相同，將此結(jié)果代入得七、向量法證：如圖五，設(shè)直線(xiàn)的一個(gè)法向量，Q直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則。從而點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為：附：方案一：設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段為PQ，垂足為Q，由PQ可知

3、，直線(xiàn)PQ的斜率為（A0），根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)PQ的方程，并由與PQ的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；由此根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出PQ，得到點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為d 方案二：設(shè)A0，B0，這時(shí)與軸、軸都相交，過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)；作軸的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，由得.所以，PPSS×由三角形面積公式可知：·SP·PS所以可證明，當(dāng)A=0時(shí)仍適用3.3.4兩條平行直線(xiàn)間的距離公式d=|C2-C1|/(A²+B²)公式推導(dǎo)設(shè)平行直線(xiàn)為L(zhǎng)1：Ax+By+C1=0,L2:Ax+By+C2=0利用平行直線(xiàn)距離的定義，等于一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離設(shè)P(x0,y0)是Ax+By+C1=0上的點(diǎn) Ax0+By0+C1=0 即 Ax0+By0=-C1 平行直線(xiàn)距離=P到直線(xiàn)L2 的距離=|Ax+By+C2|/(A²+B²)=|C2-C1|/(A²+B²)即平行直線(xiàn)間距離公式是d=|C2-C1|/(A²