專(zhuān)題八與二次函數(shù)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（含答案）

1、2012年中考第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)八：與二次函數(shù)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1.（2011甘肅省蘭州市）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B和D（4，）.（1）求拋物線的表達(dá)式.（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)S=().試求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；當(dāng)S取時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存

2、在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐標(biāo)代入即可；（2）由勾股定理即可求出，假設(shè)存在點(diǎn)R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，求出P、Q的坐標(biāo)，再分為三種情況：A、B、C即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R的坐標(biāo)（3）A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，過(guò)B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物

3、線的對(duì)稱軸x=1代入即可求出M的坐標(biāo)解答：（1）解：設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），正方形的邊長(zhǎng)2，B的坐標(biāo)（2，2），把A（0，2），B（2，2），D（4，）代入得：且，解得a=，b=，c=2拋物線的解析式為：，答：拋物線的解析式為：（2）解：由圖象知：PB=22t，BQ=t，S=PQ2=PB2+BQ2，=（22t）2+t2，即S=5t28t+4（0t1）答：S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式是S=5t28t+4，t的取值范圍是0t1解：假設(shè)存在點(diǎn)R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形S=5t28t+4（0t1），當(dāng)S=時(shí)，5t28t+4

4、=，得20t232t+11=0，解得t=，t=（不合題意，舍去），此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）若R點(diǎn)存在，分情況討論：【A】假設(shè)R在BQ的右邊，這時(shí)QR=PB，RQPB，則R的橫坐標(biāo)為3，R的縱坐標(biāo)為，即R（3，），代入，左右兩邊相等，這時(shí)存在R（3，）滿足題意；【B】假設(shè)R在BQ的左邊，這時(shí)PR=QB，PRQB，則：R的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為，即（1，），代入，左右兩邊不相等，R不在拋物線上；【C】假設(shè)R在PB的下方，這時(shí)PR=QB，PRQB，則：R（1，）代入，左右不相等，R不在拋物線上（1分）綜上所述，存點(diǎn)一點(diǎn)R（3，）滿足題意答：存在，R點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，）（3）解：如

5、圖，MB=MA，A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，過(guò)B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M，設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐標(biāo)代入得：，解得：k=，b=，y=x，拋物線的對(duì)稱軸是x=1，把x=1代入得：y=M的坐標(biāo)為（1，）；答：M的坐標(biāo)為（1，）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行計(jì)算此題綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的題目2.（2011廣東省清遠(yuǎn)市）如圖，拋物線y(x1)2k 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0，3)xyOCAB（1）求拋物線的對(duì)稱

6、軸及k的值；（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PAPC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AMB的面積最大？求出AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)； 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo) 【答案】（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，把C (0，3)代入y(x1)2k得31k k4（2）連結(jié)AC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P y(x1)24 令y0 可得(x1)240xyOCABPx11 x23A (3，0) B (1，0)設(shè)直線AC的關(guān)系式為：ym xb把A (3，0)，C (0，3)代入ym xb得，

7、3mb0 b3 m1線AC的關(guān)系式為yx3當(dāng)x1時(shí)，y132P (1，2) 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)xyOCABM（3） 設(shè)M的坐標(biāo)為（x, (x1)24） SAMBABym44(x1)282(x1)2當(dāng)x1時(shí)，S最大，最大值為S8M的坐標(biāo)為(1，4) 過(guò)M作x軸的垂線交于點(diǎn)E，連接OM，S四邊形AMCBSAMOSCMOSCBOAB|ym|CO|xm|OCBO6 (x1)23(x)31x2 x6（x23x9）（x）2當(dāng)x 時(shí)，S最大，最大值為ADPO1MNCBxy13題3.（2011河北?。┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O

8、出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t秒（t0），拋物線y=x2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P.已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，0）、B（1，5）、D（4，0）.求c、b（用含t的代數(shù)式表示）；當(dāng)4t5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB、CD交于點(diǎn)M、N. 在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你認(rèn)為AMP的大小是否會(huì)變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出AMP的值； 求MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時(shí)，S=；（3）在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”.若拋物線將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由拋物線y=x2+b

9、x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，將點(diǎn)O與P的坐標(biāo)代入方程即可求得c，b；（2）當(dāng)x=1時(shí)，y=1t，求得M的坐標(biāo)，則可求得AMP的度數(shù)，由S=S四邊形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM，即可求得關(guān)于t的二次函數(shù)，列方程即可求得t的值；（3）根據(jù)圖形，即可直接求得答案解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=t；（2）不變?nèi)鐖D6，當(dāng)x=1時(shí)，y=1t，故M（1，1t），tanAMP=1，AMP=45；S=S四邊形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM=（t4）（4t16）+（4t16）+（

10、t1）3（t1）（t1）=t2t+6解t2t+6=，得：t1=，t2=，4t5，t1=舍去，t=（3）t點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系，以及三角形面積的求解方法等知識(shí)此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合4.（2011湖北省施恩自治州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，且與軸的另一交點(diǎn)為，其中0，又點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖1中的上找一點(diǎn)，使到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和最?。唬?）若周長(zhǎng)的最小值為，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)(不與端點(diǎn)、重合)，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn),設(shè)

11、移動(dòng)的時(shí)間為秒，試把的面積表示成時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，并求出最大值； （4）在（3）的條件下，當(dāng)時(shí)，過(guò)作軸的平行線交拋物線于、兩點(diǎn)，問(wèn)：過(guò)、三點(diǎn)的圓與直線能否相切于點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論（備用圖圖3）第4題圖2第4題圖1第4題圖3考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由題意A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱，則BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P0；（2）由（1）所求可知該題周長(zhǎng)最小即為 AC+BC的長(zhǎng)，從而求出x0，而解得；（3）由在三角形OBC三角形CMN，得到高關(guān)于t的式子，因?yàn)镸HBC，得到三角形MHP0三角形底邊關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)t的取值范圍，從而求得S的最大值（4）把S的取值代入（3）中表達(dá)

12、式中求得t，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而證明各點(diǎn)解答：解：（1）由題意直線AC與x軸的交點(diǎn)為A，所以當(dāng)y=0，則x=6，所以點(diǎn)A（6，0）同理點(diǎn)C（0，8），由題意，A、B是拋物線y=ax2+bx+8與x軸的交點(diǎn)，6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的兩個(gè)根，6+x0=，6x0=，a=，b=+A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱，BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P0設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx0+n=0，m=，n=8BC的解析式為y=x+8當(dāng)x=時(shí)，y=+4，P0的坐標(biāo)為（，+4）；（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10，+=10，解得x0=10或x0=10（不符舍去），

13、則點(diǎn)B（10，0），由點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為y=（x2）2+頂點(diǎn)N（2，）；（3）如圖，作MNBC與N，則在三角形OBC三角形CMN，所以，即h=因?yàn)镸HBC，所以，解得MH=，S=，因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位，則當(dāng)t=2時(shí)符合范圍0t4，所以當(dāng)t為2時(shí)S最大；（4）把S的取值代入（3）中表達(dá)式中求得t，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，即則解得t=2，則由題意知CEF三點(diǎn)所在圓半徑為4，所以直線CN與CFE所在圓相切點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，知道三點(diǎn)求二次函數(shù)式，考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合求三角形面積，知道面積求點(diǎn)，很好結(jié)合，是道好題5.（2011湖北省仙桃、潛江、天門(mén)、漢江油田）在平面直角

14、坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（1，0），過(guò)頂點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)H.（1）直接填寫(xiě)：= ，b= ，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；（2）在軸上是否存在點(diǎn)D，使得ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQAC于點(diǎn)Q，當(dāng)PCQ與ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo). ABHCABHC（備用圖）5.解：（1），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）3分（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D, 過(guò)點(diǎn)C作CEy軸于點(diǎn)E.EC由CDA=90得，1+2=90. 又2+3=90，3=1. 又CED=DOA =90，1CED

15、 DOA，.HBA23設(shè)D（0，c），則.變形得，解之得.綜合上述：在y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），使ACD是以AC為斜邊的直角三角形. 7分（3）若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)（如圖），只能是PCQCAH，得QCP=CAH.延長(zhǎng)CP交x軸于M，AM=CM， AM2=CM2.設(shè)M（m，0），則( m+3)2=42+(m+1)2，m=2，即M（2，0）.設(shè)直線CM的解析式為y=k1x+b1，則， 解之得，.直線CM的解析式.8分聯(lián)立，解之得或(舍去).9分 若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)（如圖），只能是PCQACH，得PCQ=ACH.過(guò)A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FNx軸于點(diǎn)N. 由CFACAH得，由FNAA

16、HC得. , 點(diǎn)F坐標(biāo)為（-5,1）. 10分設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，解之得.直線CF的解析式. 11分聯(lián)立 ，解之得 或 (舍去). . PABHCQM（圖）PABHCQFN（圖）滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或 12分6.（2011浙江省寧波市）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6）,拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E，（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)（2）求拋物線的函數(shù)解析式（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連結(jié)ON、BN，當(dāng)點(diǎn)F在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求BON面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)（4）連結(jié)AN，當(dāng)BON面積最大時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)求使得BOP與OAN相似（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對(duì)應(yīng)）的點(diǎn)P的坐標(biāo)。6解：(1) 設(shè) 將點(diǎn)代入得 得 當(dāng)時(shí)， 3分（2）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為， 將代入得 解得拋物線的解析式為 6分（3）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交OB于點(diǎn)Q，過(guò)作軸于，設(shè)，則則 7分 當(dāng)時(shí)，BON 面積最大，最大值為， 8分此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 9分（4）解：過(guò)點(diǎn)A作ASG