概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章習(xí)題課

1、第二章：習(xí)題課第二章：習(xí)題課 2 2 給出了離散型隨機(jī)變量及其分布律的定義、性給出了離散型隨機(jī)變量及其分布律的定義、性 質(zhì)，質(zhì)， 要求要求: : (1) (1) 會求離散型隨機(jī)變量的分布會求離散型隨機(jī)變量的分布律律； （2 2）已知分布）已知分布律律，會求分布函數(shù)以及事件的概率；，會求分布函數(shù)以及事件的概率； （3 3）已知分布函數(shù)，會求分布）已知分布函數(shù)，會求分布律律； （4 4）會確定分布）會確定分布律律中的常數(shù)；中的常數(shù)； （5 5）掌握常用的離散型隨機(jī)變量分布：兩點(diǎn)分布、）掌握常用的離散型隨機(jī)變量分布：兩點(diǎn)分布、 二項分布、泊松分布，幾何分布及其概率背景。二項分布、泊松分布，幾何分布及

2、其概率背景。第二章 習(xí)題課返回主目錄1 1 引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會用隨機(jī)變量表引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會用隨機(jī)變量表 示隨機(jī)事件。示隨機(jī)事件。 3、 要理解隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。要理解隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。要求要求: :第二章 小 結(jié)返回主目錄（1 1） 會求隨機(jī)變量會求隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù))(xXPxF （2 ） 會用分布函數(shù)的極限性質(zhì)確定分布函數(shù)中會用分布函數(shù)的極限性質(zhì)確定分布函數(shù)中的常數(shù)：的常數(shù)：; 0)( F. 1)( F（3）用分布函數(shù)計算某些事件的概率）用分布函數(shù)計算某些事件的概率:.)(),() 0(是是右右連連續(xù)續(xù)的的即即xFxFxF

3、對于任意的實(shí)數(shù)對于任意的實(shí)數(shù) ,有有a)(lim0 xFax )(aFaXP ( () )0 aFaXP （2 2）已知概率密度，會求事件的概率；）已知概率密度，會求事件的概率； （3 3）會確定概率密度中的常數(shù)；）會確定概率密度中的常數(shù)； （4 4）掌握常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布：均勻）掌握常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布：均勻 分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。返回主目錄 4 4 給出了連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度的定義、性質(zhì)，給出了連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度的定義、性質(zhì)，要求：要求： （1 1）掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系及其運(yùn)）掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系及其運(yùn)算；算；第二章

4、 習(xí)題課 xdttfxF,)()().()(xfxF ( ( ) ) GdxxfGXP. 1)( dxxf返回主目錄5 5 會求隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。會求隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。第二章 習(xí)題課( () )分分布布律律。的的的的分分布布律律，求求已已知知離離散散隨隨機(jī)機(jī)變變量量XgYX . 1方法一方法一: 解解 題題 思思 路路( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的的分分布布函函數(shù)數(shù)先先求求( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )yFyfXgYXgYYY 的密度函數(shù)的密度函數(shù)關(guān)系求關(guān)系求之間的之間的的分布函數(shù)與密

5、度函數(shù)的分布函數(shù)與密度函數(shù)利用利用 2. 若若 Y =g(X ) 是一個連續(xù)型隨機(jī)變量是一個連續(xù)型隨機(jī)變量 ，求其概率求其概率密度的方法密度的方法: 方法二方法二: :用定理用定理2.5.12.5.1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度具有概率密度, )( xxfX).0)(0)()( xgxgxg或或恒恒有有處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且有有又又設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)則則 Y =g(X ) 是一個連續(xù)型隨機(jī)變量是一個連續(xù)型隨機(jī)變量 Y，其概率密度其概率密度為為 ., 0,|,)(|)()(其它其它 yyhyhfyfXY其中其中 h(y) 是是 g(x) 的反函數(shù)，的反函數(shù)，即即 ).(),(max),()

6、,(min gggg )()(1yhygx 返回主目錄第二章 習(xí)題課此此時時仍仍有有：或或恒恒有有上上恒恒有有在在設(shè)設(shè)以以外外等等于于零零，則則只只須須假假在在有有限限區(qū)區(qū)間間若若),0)(0)(,)( xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag 這這里里 ., 0,|,)(|)()(其它其它 yyhyhfyfXY 定理定理2.5.12.5.1（續(xù)）（續(xù)）返回主目錄第二章 習(xí)題課補(bǔ)充定理：補(bǔ)充定理：若若g(x)在不相疊的區(qū)間在不相疊的區(qū)間,21II上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為反函數(shù)分別為),(),(21yhyh均為連續(xù)函數(shù)，那么均為連續(xù)函數(shù)，那

7、么Y=g(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 )()()(11yhyhfyfXY )()(22yhyhfX返回主目錄),( y第二章 習(xí)題課返回主目錄解題步驟：解題步驟：( ( ) )可可導(dǎo)導(dǎo)性性；的的單單調(diào)調(diào)性性考考慮慮,10 xgy ( ( ) );()(20yhyhxxgy 及其及其的反函數(shù)的反函數(shù)求求).(),(max),(),(min gggg :,30 確確定定).(),(max),(),(minbgagbgag ( () )的的密密度度函函數(shù)數(shù)求求XgY 04( ( ) )( ( ) )( () )( ( ) ) 其其它它0 yyhyhfyfXY第二

8、章 習(xí)題課返回主目錄第二章 習(xí)題課一臺設(shè)備由三大部件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件一臺設(shè)備由三大部件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為需要調(diào)整的概率相應(yīng)為 0.10 , 0.20 , 0.30 . 假設(shè)各假設(shè)各件的狀態(tài)相互獨(dú)立，求同時需要調(diào)整的部件數(shù)件的狀態(tài)相互獨(dú)立，求同時需要調(diào)整的部件數(shù)X的概率分布。的概率分布。例1 求離散型隨機(jī)變量的分布律：求離散型隨機(jī)變量的分布律：解：解：X 的可能取值為的可能取值為0，1，2，3。設(shè)設(shè) Ai 表示表示“第第i個部件需要調(diào)整個部件需要調(diào)整” (i=1,2,3) )()()()(0321321APAPAPAAAPXP 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。則則321,A

9、AA例1（續(xù)）返回主目錄第二章 習(xí)題課 504. 07 . 08 . 09 . 0)()()(0321 APAPAPXP7 . 0)(,8 . 0)(,9 . 0)(321 APAPAP )()()(1321321321AAAPAAAPAAAPXP 3 . 08 . 09 . 07 . 02 . 09 . 07 . 08 . 01 . 0 )()()(2321321321AAAPAAAPAAAPXP 092. 0 006. 03 . 02 . 01 . 0)(3321 AAAPXP398. 0 第二章 習(xí)題課返回主目錄已知分布律，會求分布函數(shù)以及事件的概率；已知分布律，會求分布函數(shù)以及事件的概

10、率；. 5 , 4 , 3 , 2 , 1,15 kkkXP.5 . 25 . 0 XP例2 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 試寫出X的分布函數(shù)，并計算 ,21時時 x.1511)( XPxXPxF第二章 習(xí)題課返回主目錄已知分布函數(shù)，會求分布律；已知分布函數(shù)，會求分布律；分析：分析：X的可能取值為的可能取值為 -1 ，1 ，2。, )02()2(2 FFXP xbaxaxaxxF221321110)(并求并求X的分布律。的分布律。的的值值，求求且且baXP,212 例例3 設(shè)設(shè)X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)(1 F返回主目錄例例3解：解：即即)32(21aba 212 XP, )02()2(2 FF

11、XP xbaxaxaxxF221321110)()(1 Fba 1ba 267.65,61 ba xxxxxF212121116110)(第二章 習(xí)題課返回主目錄例例3解：解： xxxxxF212121116110)(X的可能取值為的可能取值為 -1 ，1 ，2。,61)01()1(1 FFXP,21211)02()2(2 FFXP,316121)01()1(1 FFXP第二章 習(xí)題課的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)的密度函數(shù)系數(shù)系數(shù)試求試求XBA)2(;,)1(:)1(解：解：例4返回主目錄 000)(22xxBeAxFx由分布函數(shù)的性質(zhì)由分布函數(shù)的性質(zhì)

12、 ,01BAA有有解得解得 ,11BA0)0()00(, 1)( FFF第二章 習(xí)題課( ( ) )，則則的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)xfX)2( ( ) )( ( ) )xFxf 例4（續(xù)）返回主目錄 0001)(22xxexFx 00022xxxex第二章 習(xí)題課例5設(shè)設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為( ( ) ) xAexfx,解：解：由密度函數(shù)的性質(zhì)由密度函數(shù)的性質(zhì)；求求：常常數(shù)數(shù) A 12 XP( ( ) )1 dxxf返回主目錄的分布函數(shù)的分布函數(shù)X).3( 12)(12dxxfXP.)()()3( xdttfxF第二章 習(xí)題課例 5（續(xù)）( (

13、 ) ) dxxf1)1()2(2112 ee21 A所以，所以， ( ( ) )( ( ) ) 100212dxxfdxxfXP211002 dxedxexx,220AdxeAdxeAxx 返回主目錄第二章 習(xí)題課( ( ) )xAexf 例 5（續(xù)）返回主目錄( ( ) )( ( ) ) xdttfxFx時，時，當(dāng)當(dāng)0)3(xxtedte2121 ( ( ) )( ( ) ) xdttfxFx時，時，當(dāng)當(dāng)0( ( ) )( ( ) ) xdttfdttf00 xttdtedte002121( ( ) ) 0,210,2121xexeexfxxx)2(21xe 第二章 習(xí)題課例例 6 (求求

14、p的例子的例子)2)1(101195pXPXP .1,951. ),3(, ),2( YPXPpbYpbX則則若若設(shè)設(shè) )2 , 1 , 0(22 kqpCkXPkkk解解:返回主目錄2-2 離散型隨機(jī)變量31 p第二章 習(xí)題課例例 6 (求求p的例子的例子)2719)32(10113 YPYP返回主目錄2-2 離散型隨機(jī)變量 )3 ,2 , 1 , 0(3 kqpCkYPknkk第二章 習(xí)題課例7概率概率“療效顯著”的“療效顯著”的次感冒，試求此藥對他次感冒，試求此藥對他他得了他得了，此藥一年，在這一年中此藥一年，在這一年中是無效的現(xiàn)某人服用是無效的現(xiàn)某人服用的人來講，則的人來講，則余余（療

15、效一般）；而對其（療效一般）；而對其降為降為的人來講，可將參數(shù)的人來講，可將參數(shù)顯著）；對另顯著）；對另（療效（療效降為降為數(shù)數(shù)的人來講，可將上述參的人來講，可將上述參冒的藥，它對冒的藥，它對分布，現(xiàn)有一種預(yù)防感分布，現(xiàn)有一種預(yù)防感的的冒次數(shù)服從參數(shù)冒次數(shù)服從參數(shù)設(shè)一個人在一年內(nèi)的感設(shè)一個人在一年內(nèi)的感3%254%451%305 Poisson返回主目錄第二章 習(xí)題課例 7(續(xù)） 解：設(shè)解：設(shè) A= 此人在一年中得此人在一年中得3次感冒次感冒 該藥療效顯著該藥療效顯著 1B 該該藥藥療療效效一一般般 2B 該該藥藥無無效效 3B則由則由Bayes公式，得公式，得( () ) ABP1返回主目錄

16、第二章 習(xí)題課( () )131! 313 eXPBAP( () )432! 343 eXPBAP)1( )4( ( () )( () )( () )( () )( () )( () )( () )( () )33221111BAPBPBAPBPBAPBPBAPBP 45. 0)(2 BP25. 0)(3 BP3 . 0)(1 BP例 7（續(xù)）解：解：45. 0)(2 BP( () )( () )( () )( () )( () )( () )( () )( () )( () )332211111BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPABP 53431313! 3525. 0! 3445.

17、0! 3130. 0! 3130. 0 eeee1301. 0 返回主目錄第二章 習(xí)題課25. 0)(3 BP3 . 0)(1 BP例 8 某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工，名職工，其中正式工其中正式工280人，臨時工人，臨時工20人。報考的人數(shù)是人。報考的人數(shù)是1657人，考試滿分是人，考試滿分是400分?？荚嚨弥荚嚳偡?。考試得知，考試總平均成績?yōu)槠骄煽優(yōu)?60分，分，360分以上的高分考生分以上的高分考生31人，人，某考生某考生B得得256分，問他能否被錄?。磕芊癖黄阜?，問他能否被錄取？能否被聘為正式工？為正式工？返回主目錄分析：分析：考試成績考試成績

18、第二章 習(xí)題課),(2 NX?,160 ；求求由由 ,16573136010 XP；預(yù)測最低分?jǐn)?shù)線預(yù)測最低分?jǐn)?shù)線x,165730020 xXP由由,165725630 XP由由的名次。的名次。預(yù)測預(yù)測B例 8（續(xù)）返回主目錄解：解：第二章 習(xí)題課?,160 360136010 XPXP；得得最最低低分分?jǐn)?shù)數(shù)線線251 x120 xXPxXP 981. 0165731)160360(1 ,08. 2160360 93 1657300)160(1 xB得得256分，能被錄取。分，能被錄取。返回主目錄第二章 習(xí)題課)93160256(125630 XP例 8（續(xù)）.93,160 1685. 0831

19、5. 01 說明有說明有 的人在的人在B前面。前面。%85.16280%85.161657 故故B排在第排在第281名，能被聘為臨時工。名，能被聘為臨時工。 設(shè)測量的誤差設(shè)測量的誤差XN(7.5 , 100)(單位單位:米米) ,問問要進(jìn)行多少次獨(dú)立測量要進(jìn)行多少次獨(dú)立測量,才能使至少有一次誤差才能使至少有一次誤差的絕對值不超過的絕對值不超過10米的概率大于米的概率大于0.9?101010)( XPXPAP返回主目錄第二章 習(xí)題課解:A=“A=“一次測量誤差的絕對值不超過一次測量誤差的絕對值不超過1010米米”)105 . 710()105 . 710( 例9（題21）-連續(xù)，離散綜合題1)7

20、5. 1()25. 0( 5586. 0 )75. 1()25. 0( 設(shè)要進(jìn)行設(shè)要進(jìn)行n次獨(dú)立測量次獨(dú)立測量,B=“至少有一次誤差的絕對值不超過至少有一次誤差的絕對值不超過10米米”，則則)5586. 0,(nBY返回主目錄第二章 習(xí)題課011)( YPYPBP例9（題21）, 9 . 0)4414. 0(1)5586. 01()5586. 0(100 nnnCY=“ n次獨(dú)立測量中誤差的絕對值不超過次獨(dú)立測量中誤差的絕對值不超過10米米 的次數(shù)的次數(shù)”,1 . 0)4414. 0( n88. 2817803. 0302585. 24414. 0ln1 . 0ln n例例 1010返回主目錄

21、第二章 習(xí)題課. )1,0(1, )2(2UeYEXX 試試證證設(shè)設(shè) 0, 00,2)(2xxexfxX證：證：可導(dǎo)，它的反函數(shù)為可導(dǎo)，它的反函數(shù)為嚴(yán)格增加且處處嚴(yán)格增加且處處函數(shù)函數(shù))1ln(21)()0(1)(2yyhxxexgyx ( () )( () )上變化上變化，在區(qū)間在區(qū)間，上變化時上變化時，在區(qū)間在區(qū)間當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量10102XeYX 方法方法1：用：用定理定理2.5.1例例 1 1返回主目錄第二章 習(xí)題課1,0 所所以以，( () )時，時，當(dāng)當(dāng)10 y| )(|)()(yhyhfyfXY 111212)1ln(212 yey )1 , 0(,0)1 , 0(,1)(y

22、yyfY)1ln(21)(yyh . )1,0(12UeYX 返回主目錄例12方方法法解解：( ( ) )：的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為先先求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量yFYY( ( ) ) yYPyFY yePX 21. 11010,022 XXeeX，且且( ( ) ) yYPyFY yePX 21( ( ) ) P0 ，則則）若若01 y第二章 習(xí)題課 0, 00,2)(2xxexfxX例例1 1方法方法2 2（續(xù)）（續(xù)）（yyfyFdydyfXYY 1121)1ln21)()(返回主目錄( ( ) )yFY ）（yXdxxf1ln210)(第二章 習(xí)題課 ）（yXP1ln21012yePX ，則，

23、則若若01 y12XeyP 返回主目錄例1方法2 其其它它的的概概率率密密度度為為：,010,1)(YyyfY，則，則）若）若13 y( ( ) )yFY 112 yePX第二章 習(xí)題課，01 y）（）（yeyfyX 122)1ln211ln21211121)1ln21)( ）（yyfyfXY例例 （第（第4848頁題頁題2525）( ( ) )的密度函數(shù)的密度函數(shù)，試求隨機(jī)變量，試求隨機(jī)變量設(shè)設(shè)yfYXYUXY , )2 , 1(2解解法法( ( ) )：的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量yFYY)1( ( ) ) yYPyFY yXP ，則則若若0,02)1 yX( ( ) )

24、yYPyFY yXP ( ( ) ) P0 返回主目錄0000)0(,0 XPXPXPFyY時時當(dāng)當(dāng)?shù)诙?小 結(jié)題題2525（續(xù)）（續(xù)），則，則若若0 y( ( ) ) 其其它它則則02131, )2 , 1(xxfUXX yXyP ( ( ) ) yYPyFY yXP yyXdxxf)(返回主目錄第二章 小 結(jié).)2 , 1(),(, 0,別計算積分別計算積分的公共部分是什么，分的公共部分是什么，分與區(qū)間與區(qū)間取什么值時，區(qū)間取什么值時，區(qū)間要根據(jù)要根據(jù)這時這時 yyyy題題2525（續(xù)）（續(xù)）( ( ) ) 其它其它02131xxfX, 1221 yy，時時,3231)()(ydxdxx

25、fyFyyyyXY ），（）（，時時21,10 yyy返回主目錄第二章 小 結(jié)），（），（）（yyy121, ,13131)()(1）（ ydxdxxfyFyyyXY,21212），（），（），（，時時 yyy, 131)()(21 dxdxxfyFyyXY題題2525（續(xù)）（續(xù)）( ( ) ) 2,121,)1(3110,3200yyyyyyyFY，返回主目錄第二章 小 結(jié)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為XY 題題2525（續(xù)）（續(xù)）( ( ) ) .,0,21,31,10,32其其它它yyyfY返回主目錄的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為XY 第二章 小 結(jié)方法1 用定理2.5.1解：解：返回主目錄;)(0

26、 , 1(1yyhxxxy 它的反函數(shù)為它的反函數(shù)為的，的，是嚴(yán)格是嚴(yán)格上函數(shù)上函數(shù)因?yàn)樵谝驗(yàn)樵陬}25( ( ) ) 其其它它則則02131, )2 , 1(xxfUXX;)(1 , 0(2yyhxxxy 它的反函數(shù)為它的反函數(shù)為的，的，是嚴(yán)格是嚴(yán)格上函數(shù)上函數(shù)在在).1 , 0)1 , 0(0 , 1( xyxx時時，或或當(dāng)當(dāng)?shù)诙?小 結(jié)題題2525（續(xù)）（續(xù)）;)()2 , 1 3yyhxxxy 為為的的，它它的的反反函函數(shù)數(shù)是是嚴(yán)嚴(yán)格格函函數(shù)數(shù)上上在在( ( ) )( ( ) )( () );32)( yyfyyfyfXXY).2 , 1 )2 , 1 xyx時，時，當(dāng)當(dāng),31)()(

27、10 yfyfyXX，時時返回主目錄,31)(21 yfyX，時時( ( ) )( ( ) );31 yyfyfXY( () ) .,021,31,10,32其其它它yyyfY第二章 小 結(jié)返回主目錄( ( ) ) yxgXYdxxfyF)()(計計算算積積分分( ( ) ).,(02取不同值討論取不同值討論分分且公共部分是什么且公共部分是什么公共部分公共部分是否有是否有，確定的區(qū)間與確定的區(qū)間與）則需要根據(jù)由則需要根據(jù)由，上不為上不為，是分段函數(shù)，且僅在是分段函數(shù)，且僅在若若）ybayxgbaxfX ( () ),)(1上變化上變化，在區(qū)間在區(qū)間若若） XgY ）求求分分布布函函數(shù)數(shù)。，（，

28、則則需需分分， yyy第二章 習(xí)題課小小結(jié)結(jié)方方法法2況：況：要注意以下兩種特殊情要注意以下兩種特殊情第二章 習(xí)題課例12設(shè)在長度為設(shè)在長度為 t的時間間隔內(nèi)某一隨機(jī)事件的時間間隔內(nèi)某一隨機(jī)事件A發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)次數(shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的Poisson分布試求在分布試求在相鄰兩次事件發(fā)生之間的等待時間相鄰兩次事件發(fā)生之間的等待時間T T的密度函數(shù)的密度函數(shù) t 分析：分析：先求隨機(jī)變量先求隨機(jī)變量 T T的分布函數(shù)的分布函數(shù) ( ( ) ),tTPtFT 2、在相鄰兩次事件發(fā)生之間的等待時間、在相鄰兩次事件發(fā)生之間的等待時間T內(nèi)隨機(jī)事件內(nèi)隨機(jī)事件A不發(fā)生，即當(dāng)不發(fā)生，即當(dāng)tT時，時，X=

29、0。; 0. 1 T再求再求T的密度函數(shù)的密度函數(shù)( ( ) )( ( ) ).tFtfTT 注意：注意：用定義求分布函數(shù)用定義求分布函數(shù)第二章 習(xí)題課例 12解：隨機(jī)變量解：隨機(jī)變量 的分布律為的分布律為X ( () )tkektkXP !( () ), 1, 0nk 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 T( ( ) )tFT( ( ) )0 tTPtFT第二章 習(xí)題課例 12（續(xù)）( ( ) ) tTPtTPtFT 1當(dāng)當(dāng) 時時, 0 t 沒沒發(fā)發(fā)生生的的時時間間間間隔隔內(nèi)內(nèi)隨隨機(jī)機(jī)事事件件在在長長度度為為AtP 1 teXP 101這表明，隨機(jī)變量這表明，隨機(jī)變量 服從參數(shù)為

30、服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布T( ( ) ) 0100tettFtT T( ( ) )( ( ) ) 000tettFtftTT T 即隨機(jī)變量即隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為因此因此 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為第二章 習(xí)題課紅燈亮?xí)r紅燈亮?xí)r等待時間在等待時間在0,30服從均勻分布服從均勻分布.X表示等表示等待時間待時間,求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 分析：分析：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 X( ( ) )xFX( ( ) )xXPxFX 則則2. 綠燈亮?xí)r綠燈亮?xí)r,等待時間等待時間X=0。300. 1 X浙大第四版題31(書中59頁)第二章 習(xí)題課解：解：( ( )

31、)0,0 xXPxFxX浙大第四版題31(書中59頁)( ( ) )1,30 xXPxFxX0,300 xXABx 紅紅燈燈亮亮( ( ) )()()()()()(0BAPBPBAPBPAPAPXPxXPxFX 2 . 0308 . 0 x返回主目錄第二章 習(xí)題課X 的可能取值為的可能取值為1，2，3,設(shè)設(shè) Ai 表示表示“第第i次飛行出去次飛行出去” (i=1,2,3,.) ,31)(11 APXP., 3 , 2 , 1,31)(,321 iAPAAAi相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則題6(1) 鳥無記憶,試飛次數(shù)X 3132)()()(22121 APAPAAPXP返回主目錄第二章 習(xí)題課 31)3

32、2()()()()(32321321 APAPAPAAAPXP題6(1) ., 3 , 2 , 1,31)32(1 kkXPk返回主目錄第二章 習(xí)題課Y 的可能取值為的可能取值為1，2，3,設(shè)設(shè) Ai 表示表示“第第i次飛行出去次飛行出去” (i=1,2,3) ,31)(11 APYP,31)(,1321 APAAA且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立不不則則題6(2) 鳥有記憶,試飛次數(shù)Y 312132)()()(212121 AAPAPAAPYP返回主目錄第二章 習(xí)題課 3112132)()()()(3213121321 AAAPAAPAPAAAPYP題6(2) 3, 23, 12, 1 YXPYXPYX

33、PYXP323121 YPXPYPXPYPXP題6(3)27831313231313131 返回主目錄第二章 習(xí)題課題6(3) 432, 3, 2, 1kkkkXYPkXYPkXYPXYP 432321kkkkXPYPkXPYPkXPYP返回主目錄第二章 習(xí)題課題6(3)8138321)32(321)32(3213231322 41312131)32(3131)32(3131)32(31kkkkkk(題9)概概率率分分布布。的的蟲蟲的的下下一一代代的的個個數(shù)數(shù)相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的，試試求求這這昆昆且且各各卵卵的的孵孵化化是是概概率率為為而而每每個個卵卵能能孵孵化化成成蟲蟲的的分分布布，的的服服

34、從從參參數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)一一昆昆蟲蟲產(chǎn)產(chǎn)卵卵的的個個數(shù)數(shù)YpPoissonX, 返回主目錄第二章 習(xí)題課解：解： Y 的可能取值為的可能取值為0，1，2，3, . eiiXPBPii!)(kYkA 只只昆昆蟲蟲的的下下一一代代有有), 1 , 0( iiXiBi個個卵卵一一昆昆蟲蟲產(chǎn)產(chǎn)題9（續(xù)）( () ) iBAP)(ki kikkiqpC 返回主目錄第二章 習(xí)題課由全概率公式，有由全概率公式，有)()()(0 iiiBAPBPAPkYP( () ),(0kiBAPi kikikkiiqpCei !)()( kiiiBAPBP.,的的孵孵化化是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的且且各各卵卵的的概概率率為為每每個

35、個卵卵能能孵孵化化成成蟲蟲p題9（續(xù)）返回主目錄第二章 習(xí)題課 kikikkiiqpCeikYP ! kikikiqpkikiei)!( ! kikikiqpkike)!( !11 題9（續(xù)）返回主目錄第二章 習(xí)題課 kikikikkqkiekp)!(! 0)!()(!)(mmkmqekp qkeekp !)(!)(kYPekppk )(pPY ., 0,0,2)(2其它其它 xxxfX設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度：具有概率密度：試求試求 Y=sinX的概率密度的概率密度.解：方法一解：方法一 用定理用定理2.5.1返回主目錄它的反函數(shù)為它的反函數(shù)為是嚴(yán)格增加的，是嚴(yán)格增加的，上上在

36、在因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù))(arcsin2, 0(sin1yhyxxy 第二章 習(xí)題課題29 ., 0,0,2)(2其它其它 xxxfX題題2929返回主目錄它它的的反反函函數(shù)數(shù)為為是是嚴(yán)嚴(yán)格格減減少少的的，上上在在函函數(shù)數(shù))(arcsin),2(sin2yhyxxy )1 , 0(,), 0( yx時時且且 )()()()()(2211yhyhfyhyhfyfXXY 222211)arcsin(211arcsin2yyyy )1 , 0(,122 yy 第二章 習(xí)題課 ., 0,0,2)(2其它其它 xxxfX題題2929返回主目錄 )1 , 0(,0)1 , 0(,12)(2yyyyfY Y=s

37、inX的概率密度為：的概率密度為：第二章 習(xí)題課第二章 習(xí)題課題29（續(xù)）第二章 習(xí)題課題29（續(xù)）返回主目錄第二章 習(xí)題課)()1 , 1(11xXPxFXX 間的長度成正比，求間的長度成正比，求值的條件概率與該子區(qū)值的條件概率與該子區(qū)內(nèi)任意一個子區(qū)間上取內(nèi)任意一個子區(qū)間上取在區(qū)間在區(qū)間出現(xiàn)的條件下，出現(xiàn)的條件下，在事件在事件,411,811,1 XPXPX. 0)(1,1 xXPxFxX，時時題題30. 1)(1 xXPxFx，時時)(11-xXPxFx 時，時，111xXPXPXP 解：解：返回主目錄第二章 習(xí)題課間的長度成正比，間的長度成正比，值的條件概率與該子區(qū)值的條件概率與該子區(qū)內(nèi)

38、任意一個子區(qū)間上取內(nèi)任意一個子區(qū)間上取在區(qū)間在區(qū)間出現(xiàn)的條件下，出現(xiàn)的條件下，在事件在事件)1 , 1(11 XX？ 1xXP題題30,1(11111），時時 xkXxXPx,211(11111kkXXP ）21 k,2111111 xXxXPx，時時返回主目錄第二章 習(xí)題課8541811 ,411,811,1 XPXPX題題3011111 XPXPXP11 XP,1111 XPXPXP？ 11111XxXPXP11,11 XxXPxXP返回主目錄第二章 習(xí)題課,218511111 xXxXPXP11,11 XxXPxXP題題30,11)(xXPXPxXPxF 167516)1(58111 xxxXPXP,2111111 xXxXPx，時時返回主目錄第二章 習(xí)題課的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。變量變量服從指數(shù)分布，求隨機(jī)服從指數(shù)分布，求隨機(jī)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量2 ,minXYX ,22 ,min XY題題31解解: 2,2,22 ,minXXXXY. 1)(2 yYPyFyY，時時 0,00,)(xxexfxX 返回主目錄第二章 習(xí)題課2 ,min)(2yXPyYPyFyY ，時時， 0,00,)(xxexfxX 2,120,10,0)(yyeyyFyY 題題31)(yFyXPX 0,020,1yyey 2yyXP ）（而而 2y