行波法與積分變換法

1、第三章 行波法與積分變換法l 分離變量法，它是求解有限區(qū)域內(nèi)定解問(wèn)題常用的一種方法。l 行波法，是一種針對(duì)無(wú)界域的一維波動(dòng)方程的求解方法。l 積分變換法，一個(gè)無(wú)界域上不受方程類(lèi)型限制的方法。3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾（Dalembert）公式一、 達(dá)朗貝爾公式考察如下Cauchy問(wèn)題： （1）作如下代換; （2）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得同理可得代入（1）可得0。先對(duì)求積分，再對(duì)求積分，可得d的一般形式這里為二階連續(xù)可微的函數(shù)。再由初始條件可知 （3）由（3）第二式積分可得，利用(3)第一式可得所以，我們有 （4）此式稱(chēng)為無(wú)限弦長(zhǎng)自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式。二、 特征方程、特征線(xiàn)及其應(yīng)用考慮一般

2、的二階偏微分方程稱(chēng)下常微分方程為其特征方程。由前面討論知道，直線(xiàn)為波動(dòng)方程對(duì)應(yīng)特征方程的積分曲線(xiàn)，稱(chēng)為特征線(xiàn)。已知，左行波在特征線(xiàn)上取值為常數(shù)值，右行波在特征線(xiàn)上取值為常數(shù)值，且這兩個(gè)值隨著特征線(xiàn)的移動(dòng)而變化，實(shí)際上，波是沿著特征線(xiàn)方向傳播的。稱(chēng)變換（2）為特征變換，因此行波法又稱(chēng)特征線(xiàn)法。注：此方法可以推廣的其他類(lèi)型的問(wèn)題。三、 公式的物理意義由其中表示一個(gè)沿x軸負(fù)方向傳播的行波，表示一個(gè)沿x軸正方向傳播的行波。達(dá)朗貝爾公式表明：弦上的任意擾動(dòng)總是以行波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去，其傳播速度為a。因此此法稱(chēng)為行波法。四、 依賴(lài)區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域由方程的解（4）可以看出，解在（x,t）點(diǎn)

3、的數(shù)值由x軸上區(qū)間x-at,x+at內(nèi)的初始條件的值唯一確定，而與其他點(diǎn)上的初始條件的值無(wú)關(guān)。區(qū)間x-at,x+at稱(chēng)為點(diǎn)（x,t）的依賴(lài)區(qū)間對(duì)初始直線(xiàn)t=0上的一個(gè)區(qū)間x1,x2，過(guò)x1作直線(xiàn)x=x1+at,過(guò)x2作直線(xiàn)x=x2-at,它們與x1,x2合成一個(gè)三角形區(qū)域，如圖則此三角形中任一點(diǎn)(x,t)的依賴(lài)區(qū)間都落在x1,x2中，因此解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間x1,x2上的初始條件決定，與x1,x2之外的初始條件值無(wú)關(guān)。故稱(chēng)此三角形區(qū)域?yàn)閤1,x2的決定區(qū)域。因此，在區(qū)間x1,x2上給定初始條件，就能在其決定區(qū)域中決定初值問(wèn)題的解。另一方面，過(guò)點(diǎn)x1，x2分別作直線(xiàn)x=x1-at,

4、x=x2+at, 如圖（）則經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，受到區(qū)間x1,x2上初始擾動(dòng)影響的區(qū)域?yàn)槎藚^(qū)域之外的波動(dòng)不受x1,x2上初始擾動(dòng)的影響，稱(chēng)上不等式確定的區(qū)域?yàn)閤1,x2的影響區(qū)域。注:通過(guò)例子說(shuō)明影響區(qū)域，比如初始條件在區(qū)間x1,x2內(nèi)有擾動(dòng)時(shí)，討論一下解在那些區(qū)域有影響，哪些沒(méi)影響。例 求解柯西問(wèn)題：解：其特征方程為由此可得特征線(xiàn)方程為因此作變換從而可得0從而有由初始條件可得所以有，從而可得故而可知。補(bǔ)充：Fourier變換一、 定義設(shè)為定義在，若積分存在，稱(chēng)為的Fourier變換。稱(chēng)為的逆Fourier變換。記 二、 性質(zhì)1 線(xiàn)性性質(zhì)若已知 則有2 對(duì)稱(chēng)性若，則。3 相似性若，則4 延遲性若，

5、則若5 頻移性若，則，。6 微分性若，則，特別。7 積分性若，則。8 卷積性若 則。3.3 積分變換法舉例例1、 無(wú)界桿上的熱傳導(dǎo)問(wèn)題設(shè)有一根無(wú)限長(zhǎng)的桿，桿上具有強(qiáng)度為的熱源，桿的初溫為，求t0時(shí)桿上溫度分別情況。解：由題意可知上問(wèn)題可歸結(jié)為求下定解問(wèn)題：很容易看出，上定解問(wèn)題為無(wú)界域上的求解問(wèn)題，直接用分離變量法比較復(fù)雜。下面我們用Fourier 變換法求解。用表示的Fourier變換，關(guān)于x對(duì)上方程作Fourier變換可得此為一階ODE，在由原問(wèn)題的初始條件作Fourier變換可得上常微分方程的定解條件從而可得再利用Fourier逆變換可得原問(wèn)題的解。由Fourier變換表知再由Fouri

6、er變換的卷積性質(zhì)知。總結(jié)：積分變換法解定解問(wèn)題的一般過(guò)程1 根據(jù)自變量的變化范圍及定解條件，選取適當(dāng)?shù)姆e分變換公式，通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行積分變換把問(wèn)題簡(jiǎn)化；2 對(duì)所得簡(jiǎn)化問(wèn)題求解；3 運(yùn)用逆變換，求得原問(wèn)題的解。例2一條無(wú)限長(zhǎng)的桿，端點(diǎn)溫度情況已知，初溫為0C0 ，求桿上溫度分布規(guī)律。解：由題意可知，等價(jià)于求下定解問(wèn)題此問(wèn)題不能用Fourier變換法（？）。要用Laplace變換法求解。若關(guān)于x作Laplace變換，則需要有u關(guān)于x的一階偏導(dǎo)的邊界值，但方程沒(méi)有給出，所以只能作關(guān)于t的Laplace變換。記，則作Laplace變換可得從而可得由定解條件知，當(dāng)時(shí)，U有界，從而可得又，故為求原問(wèn)題的解，下用Laplace逆變換，查表可知令，則知再由Laplace變換的微分性質(zhì)知最后，由Laplace變換卷積性知。注：從例1 和例2解的表達(dá)公式不難看出：函數(shù)對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題起重要作用。令則例1的解可寫(xiě)為此公式為Possion公式，稱(chēng)函數(shù)為熱傳導(dǎo)方程的基本解。它表示在桿上處時(shí)刻的一個(gè)瞬時(shí)單位熱源所引起的桿上溫度分布。故有時(shí)稱(chēng)基本解為瞬時(shí)單位點(diǎn)熱源的影響函數(shù)。例3用Laplace變換法求解定解問(wèn)題：解：由題意知，需關(guān)