線性方程組的直接解法

1、第4章 線性方程組的直接解法 本章主要內(nèi)容線性方程組的直接解法消元法（高斯消元法、主元消元法）.矩陣的三角分解法（ Doolittle分解、Crout分解、 LDU分解）緊湊格式改進(jìn)平方根法. 本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 一、消元法（高斯消元法、列主元消元法） 本章求解的是n階線性方程組Ax=b的（即方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相等的線性方程組） 1. 高斯消元法高斯消元法的基本思想：通過(guò)對(duì)線性方程組Ax=b的進(jìn)行同解消元變換（也可以用矩陣的初等行變換法進(jìn)行線性方程組的消元變換），將線性方程組化為上三角形方程組，然后用回代法求出此線性方程組的解。 高斯消元法計(jì)算公式： 利用高斯消元法進(jìn)行消元時(shí)，消元過(guò)程能進(jìn)行

2、到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為零?；蛞螅簦╧=1，.，n）,則消元法過(guò)程無(wú)法進(jìn)行；若雖然，但很小，用它作除數(shù)，會(huì)引起很大的誤差。所以為了減小舍入誤差、提高數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，通常采用選主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法）。 2. 主元消元法 列主元消元法的計(jì)算步驟： 在進(jìn)行第k（k=1,2,n-1）步消元時(shí)，首先在第k列下面的n-k+1個(gè)元素中選取絕對(duì)值最大的元素作為列主元素，然后將列主元所在方程與第k個(gè)方程交換位置，再按照高斯消元法進(jìn)行消元、回代計(jì)算。 全主元消元法的計(jì)算步驟： 在進(jìn)行第k（k=1,2,n-1）步消元時(shí)， 首先在第k行至第n行和第k列至第n列的

3、（n-k+1）2個(gè)元素中選取絕對(duì)值最大的元素作為全主元素，然后將全主元所在行與第k行交換，將全主元所在列與第k列交換，再按照高斯消元法進(jìn)行消元、回代計(jì)算。 例1 用高斯消元法、列主元消元法解線性方程組 解 1. 高斯消元法 用矩陣的初等行變換法求解 消元得同解上三角方程組為 ： 回代，得： 方程組的解為： 2.列主元消元法 消元得同解上三角方程組為 ： 回代，得方程組的解為： 二 矩陣的三角分解(包括Doolittle分解和Crout分解) 矩陣的三角分解和線性方程組的關(guān)系若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A能進(jìn)行三角分解，即A=LR，則解線性方程組Ax=b等價(jià)于求解兩個(gè)系數(shù)矩陣為三角陣的方程組

4、LY=b和 RX=Y。其中消元法的消元過(guò)程就是分解系數(shù)矩陣為A=LR，并解線性方程組LY=b，而回代過(guò)程則是解方程組RX=Y。用代入法解方程組LY=b的計(jì)算公式為：再回代解方程組RX=Y的計(jì)算公式為： 矩陣的三角分解是將給定的n階矩陣A，找到一個(gè)下三角矩陣L和上三角矩陣R,使得A=LR. 1. Doolittle分解:是指將矩陣A分解為單位下三角矩陣L和上三角矩陣R,即A=LR. 2. Crout分解: 是指將矩陣A分解為下三角矩陣和單位上三角矩陣,即 3. LDU分解: 是指將矩陣A分解為單位下三角矩陣L、對(duì)角矩陣D和單位上三角矩陣R,即A=LDR. 注意：不是任何方陣都可以進(jìn)行三角分解。例

5、如二階非奇異矩陣就沒(méi)有三角分解。 矩陣A進(jìn)行三角分解的條件與結(jié)論:若矩陣A的所有順序主子式detAk0(k=1,2,n-1),則存在唯一單位下三角陣L和上三角陣R.使得A=LR； 存在唯一的單位下三角陣L、對(duì)角陣D和單位上三角陣U，使得A=LDU. 主元消元法與矩陣分解的條件與結(jié)論:若n階矩陣A非奇異,即detA0,則存在n階置換矩陣P,元素絕對(duì)值不大于1的單位下三角陣L和上三角陣R,使得PA=LR存在n階置換矩陣P和Q,元素絕對(duì)值不大于1的單位下三角陣L和上三角陣R,使得PAQ=LR例2已知矩陣檢驗(yàn)是否滿足三角分解的條件，若滿足條件，則進(jìn)行分解解因?yàn)?，所以滿足三角分解條件，下面用高斯消元法分

6、解因?yàn)?，存在消元?使得 由,存在消元陣,使得 于是有再取于是有再取于是有 三、緊湊格式緊湊格式是利用矩陣乘法和矩陣相等的法則，對(duì)矩陣A直接進(jìn)行三角分解的一種有一定規(guī)律的、便于記憶的分解方法。并且可以用此方法很容易地求解線性方程組。 緊湊格式的公式為： 緊湊格式的計(jì)算表：(a11) r11(a12) r12(a13)r13(a1n) r1n(a21) l21(a22) r22(a23)r23(a2n) r2n(a31)l31(a32)l32(a33) r33(a3n) r3n(an1) ln1(an2)ln2(an3) ln3(ann) rnn利用緊湊格式的計(jì)算表對(duì)矩陣進(jìn)行三角分解的步驟： 1

7、. 計(jì)算順序：將aij ,rij ,lij 按緊湊格式的計(jì)算表排列好，計(jì)算時(shí)按框從外到內(nèi)進(jìn)行，每一框中先計(jì)算行，從左向右依次計(jì)算rij ；再計(jì)算列，自上而下計(jì)算lij。 2. 計(jì)算方法：按行計(jì)算時(shí)，需將所求元素rij的對(duì)應(yīng)元素aij逐項(xiàng)減去rij 所在行左邊各框的元素lik乘以rij所在列上面各框相應(yīng)的元素rkj; 按列計(jì)算lij時(shí)，在作上述運(yùn)算后還需除以lij所在框的對(duì)角元素rii。 3. 寫(xiě)出矩陣的三角分解式。例3 利用緊湊格式法對(duì)線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A進(jìn)行三角分解，并求解此線性方程組。其中 【思路】可以利用矩陣的乘法和矩陣相等的法則對(duì)矩陣A直接進(jìn)行三角分解； 也可以利用緊湊格式的

8、計(jì)算公式（或列出緊湊格式的計(jì)算表）按順序計(jì)算出單位下三角陣L和上三角陣R的元素，直接完成A=LR的三角分解.再分別代入兩個(gè)三角方程LY=b，RX=Y中，求出方程的解X解 方法一解 首先直接完成矩陣A的三角分解 根據(jù)矩陣乘法法則及矩陣相等的定義，用第一行乘各列得 再用第二、三行乘第一列得 用第二、三行乘第二、三列得 再用第三行乘第二列得 最后再用第三行乘第三列得 于是得矩陣A的三角分解式 然后解單位下三角形方程組即 由第一個(gè)方程開(kāi)始逐個(gè)代入得 再解上三角形方程組即方法二利用緊湊格式的計(jì)算公式得四、改進(jìn)平方根法 當(dāng)矩陣A為對(duì)稱矩陣時(shí)，它有對(duì)稱的三角分解式，稱為改進(jìn)平方根法。對(duì)稱矩陣進(jìn)行三角分解的條件與結(jié)論：若A為對(duì)稱矩陣，且矩陣A的所有順序主子式detAk0(k=1,2,n-1),則存在唯一的單位下三角陣L、非奇異對(duì)角陣D，使得A=LDLT. 計(jì)算公式：改進(jìn)平方根法的計(jì)算公式和用緊湊格式法進(jìn)行三角分解的計(jì)算公式以及方