線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

1、第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法一、教學(xué)目的與要求：對(duì)本章的講授任務(wù)很重，要使學(xué)生通過本章的學(xué)習(xí)建立起分析系統(tǒng)特性的概念及方法，圍繞控制系統(tǒng)要解決的三大問題，怎樣從動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能及穩(wěn)定性三方面衡量控制系統(tǒng)，要求學(xué)生掌握一階、二階系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)響應(yīng)，參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，尤其是二階系統(tǒng)參數(shù)與特征根的關(guān)系，系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念與判據(jù)方法，精度問題，即穩(wěn)態(tài)誤差的分析與求法。二、授課主要內(nèi)容： 本章著重討論標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，明確系統(tǒng)的特征參數(shù)與性能指標(biāo)的關(guān)系。通過對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的分析，明確系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，掌握時(shí)域判穩(wěn)方法。1系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)1） 典型輸入信號(hào)2） 動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程

2、3） 動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1） 二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式2） 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3） 系統(tǒng)參數(shù)與特征根及瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析1）高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)5 性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1） 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件2） 勞斯赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算1）誤差與穩(wěn)態(tài)誤差2）系統(tǒng)類型與靜態(tài)誤差系數(shù)（詳細(xì)內(nèi)容見講稿）三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及對(duì)學(xué)生的要求（掌握、熟悉、了解、自學(xué)）重點(diǎn)：二階系統(tǒng)的特點(diǎn)，勞斯穩(wěn)定判據(jù)，穩(wěn)態(tài)誤差。難點(diǎn)： 二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與特征根及參數(shù)和的關(guān)系。要求：1. 掌握一階系統(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的輸出響應(yīng)的推導(dǎo)，

3、理解系統(tǒng)參數(shù)T和K的物理意義。2. 重點(diǎn)掌握不同二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的特點(diǎn)，及階躍響應(yīng)與特征根在根平面位置之間的關(guān)系；理解系統(tǒng)參數(shù)和的物理意義。3. 掌握控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)性能指標(biāo)的含義，以及計(jì)算二階欠阻尼系統(tǒng)性能指標(biāo)的方法。4. 掌握勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。5. 理解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的“型”及輸入信號(hào)的形式之間的關(guān)系。6. 理解高階系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，以及高階系統(tǒng)可以低階近似的原理。7. 了解根據(jù)系統(tǒng)的階躍和脈沖響應(yīng)曲線獲得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。 四、主要外語詞匯時(shí)域分析法 time scale analytical method根軌跡法 root-locus plot method頻域

4、分析法 phase scale analytical method性能指標(biāo) performance specification高階系統(tǒng) higher-order system穩(wěn)定性 stability勞思-赫爾維茨判據(jù) rouths stability criterion 穩(wěn)態(tài)誤差 stability error誤差系數(shù) error parameter 五、輔助教學(xué)情況（見課件）六、復(fù)習(xí)思考題1 什么是時(shí)域分析法？2 什么是系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)？3 什么是瞬態(tài)響應(yīng)？4 什么是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？5 什么是動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)？動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有哪些？6 什么是系統(tǒng)的穩(wěn)定性？7 判別線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本方法有哪些？8

5、什么是誤差？什么是穩(wěn)態(tài)誤差？如何計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差？9 慣性環(huán)節(jié)在什么情況下可近似比例環(huán)節(jié)? 而在什么情況下可近似為積 分環(huán)節(jié)?10 慣性環(huán)節(jié)與二階環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線有何不同？11 有那些措施能增加系統(tǒng)的穩(wěn)定程度？它們對(duì)系統(tǒng)的性能還有什么影響?12 將二階系統(tǒng)的增益調(diào)得很大，系統(tǒng)是否會(huì)不穩(wěn)定？13 系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的改變，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性有何影響？14 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與什么有關(guān)？15 怎樣減小或消除擾動(dòng)所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差？16 擾動(dòng)作用點(diǎn)之后的積分環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差有無影響？17 定值調(diào)節(jié)系統(tǒng)與隨動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)其響應(yīng)曲線有何區(qū)別? 在階躍響應(yīng)曲線中定義其時(shí)域指標(biāo)，兩種調(diào)節(jié)系統(tǒng)有什么異同點(diǎn)?七、參考教材

6、（資料） 1自動(dòng)控制原理上冊(cè) 南京航空學(xué)院 西北工業(yè)大學(xué) 北京航空學(xué)院 合編 國(guó)防工業(yè)出版社參考該書第三章有關(guān)內(nèi)容。2自動(dòng)控制原理 東北工學(xué)院 楊自厚 冶金工業(yè)出版社參考該書第三章有關(guān)內(nèi)容。八、講稿第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法在確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，便可以用幾種不同的方法去分析控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。在經(jīng)典控制理論中，常用時(shí)域分析法、根軌跡法或頻域分析法來分析線性控制系統(tǒng)的性能。顯然，不同的方法有不同的特點(diǎn)和適用范圍，但是比較而言，時(shí)域分析法是一種直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，并且可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。本章主要研究線性控制系統(tǒng)性能分析的時(shí)域法。31

7、系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)控制系統(tǒng)性能的評(píng)價(jià)分為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩類。為了求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，必須了解輸入信號(hào)(即外作用)的解析表達(dá)式。然而，在一般情況下，控制系統(tǒng)的外加輸入信號(hào)具有隨機(jī)性而無法預(yù)先確定，因此需要選擇若干典型輸入信號(hào)。1， 典型輸入信號(hào)一般說來，我們是針對(duì)某一類輸入信號(hào)來設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的。某些系統(tǒng)，例如室溫系統(tǒng)或水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)，其輸入信號(hào)為要求的室溫或水位高度，這是設(shè)計(jì)者所熟知的。但是在大多數(shù)情況下，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)以無法預(yù)測(cè)的方式變化。例如，在防空火炮系統(tǒng)中，敵機(jī)的位置和速度無法預(yù)料，使火炮控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)具有了隨機(jī)性，從而給規(guī)定系統(tǒng)的性能要求以及分析和設(shè)計(jì)工作帶來了困

8、難。為了便于進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，同時(shí)也為了便于對(duì)各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較，我們需要假定一些基本的輸入函數(shù)形式，稱之為典型輸入信號(hào)。所謂典型輸入信號(hào)，是指根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號(hào)形式，在數(shù)學(xué)描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)中常用的典型輸入信號(hào)有：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)、單位斜坡(速度)函數(shù)、單位加速度(拋物線)函數(shù)、單位脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)，這些函數(shù)都是簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)，便于數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)際應(yīng)用時(shí)究竟采用哪一種典型輸入信號(hào)，取決于系統(tǒng)常見的工作狀態(tài)；同時(shí)，在所有可能的輸入信號(hào)中，往往選取最不利的信號(hào)作為系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)。這種處理方法在許多場(chǎng)合是可行的。例如，室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)，以及

9、工作狀態(tài)突然改變或突然受到恒定輸入作用的控制系統(tǒng)，都可以采用階躍函數(shù)作為典型輸入信號(hào)；跟蹤通信衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)，以及輸入信號(hào)隨時(shí)間逐漸變化的控制系統(tǒng)，斜坡函數(shù)是比較合適的典型輸入；加速度函數(shù)可用來作為宇宙飛船控制系統(tǒng)的典型輸入；當(dāng)控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)是沖擊輸入量時(shí)，采用脈沖函數(shù)最為合適；當(dāng)系統(tǒng)的輸入作用具有周期性的變化時(shí)，可選擇正弦函數(shù)作為典型輸入。同一系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號(hào)所對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的，但對(duì)于線性控制系統(tǒng)來說，它們所表征的系統(tǒng)性能是一致的。通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對(duì)各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。應(yīng)當(dāng)指出，有些控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入信號(hào)是變化無

10、常的隨機(jī)信號(hào)，例如定位雷達(dá)天線控制系統(tǒng)，其輸入信號(hào)中既有運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的不規(guī)則信號(hào)，又包含有許多隨機(jī)噪聲分量，此時(shí)就不能用上述確定性的典型輸入信號(hào)去代替實(shí)際輸入信號(hào)，而必須采用隨機(jī)過程理論進(jìn)行處理。為了評(píng)價(jià)線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)，需要研究控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)過程。2 動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都由動(dòng)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。 (1)動(dòng)態(tài)過程動(dòng)態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦以及其它一些原因，系統(tǒng)輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

11、和參數(shù)選擇情況，動(dòng)態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然，一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)過程必須是衰減的，換句話說，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動(dòng)態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng)速度及阻尼情況等信息。這些信息用動(dòng)態(tài)性能描述。(2)穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)力式。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能描述由此可見，控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的性能指標(biāo)，通常由動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性兩部分組成。3動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)動(dòng)態(tài)過程收斂時(shí)，研究系統(tǒng)

12、的動(dòng)態(tài)性能才有意義。(1)動(dòng)態(tài)性能通常在階躍函數(shù)作用下，測(cè)定或計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動(dòng)態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其它形式的函數(shù)作用下，其動(dòng)態(tài)性能也是令人滿意的。描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間t的變化狀況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。對(duì)于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實(shí)際情況的。對(duì)于圖31所示單位階躍響應(yīng)h(t)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常如下：延遲時(shí)間t 指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需的時(shí)間。上升時(shí)間 指響應(yīng)從

13、終值10%上升到終值90%所需的時(shí)間；對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。峰值時(shí)間t 指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間 指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值土5%內(nèi)所需的最短時(shí)間。超調(diào)量% 指響應(yīng)的最大偏離量h（）與終值h()的差與終值A(chǔ)()比的百分?jǐn)?shù)，即 %= （3-1）若h()<h()，則響應(yīng)無超調(diào)。超調(diào)量亦稱為最大超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。上述五個(gè)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的特征。在實(shí)際應(yīng)用中，常用的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)多為上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。通常，用或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度用%評(píng)

14、價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度；而2J是員吐反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出除簡(jiǎn)單的一、二階系統(tǒng)外，要精確確定這些動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的解析表達(dá)式是很困難的。(2)穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。若時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。32 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析凡以一階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。在工程實(shí)踐中，一階系統(tǒng)不乏其例。有些高階系統(tǒng)的特性，?？捎靡浑A系統(tǒng)的特性來近似表征。1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型研究圖32(a)所示RC電路

15、，其運(yùn)動(dòng)微分方程為T(t)+c(t)=r(t) (32)其中，c(t)為電路輸出電壓；r(c)為電路輸入電壓；TRC為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)該電路的初始條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為 2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，r(t)1(t)，則由式(33)可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 h（t）=1- t0 （3-4）由式(34)可見，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條初始值為零，以指數(shù)規(guī)律上升到終值1的曲線，如圖33所示。圖33表明，一階系統(tǒng)的單位階躍應(yīng)為非周期響應(yīng)，具備如下兩個(gè)重要特點(diǎn)1)可用時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。98.2。根據(jù)這一特點(diǎn)，可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或測(cè)定所

16、測(cè)系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。1) 響應(yīng)曲線的斜率初始值為1T，并隨時(shí)間的推移而下降。例如 從而使單位階躍響應(yīng)完成全部變化所需的時(shí)間為無限長(zhǎng)，即有h（）=1。此外，初始斜率特性，也是常用的確定一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的方法之一。根據(jù)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的定義，一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為 顯然，峰值時(shí)間t和超調(diào)量%都不存在由于時(shí)間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小苴晌應(yīng)過程快；反之慣性越大響應(yīng)越慢3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，由于R(5)1，所以系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即C（s）=這時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)，其表達(dá)式為4。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單

17、位斜坡函數(shù)，則由式(33)可以求得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)式(36)表明：一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但時(shí)間滯后f的斜坡函數(shù)，因此在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，其值正好等于時(shí)間常數(shù)一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的瞬態(tài)分量為衰減非周期函數(shù)。5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位加速度函數(shù)，則由式(3-3)叮以求得階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)為c（t）=一階系統(tǒng)對(duì)上述典型輸入信號(hào)的響應(yīng)歸納于表32之中。由表32可見，單位脈沖函數(shù)與單位階躍函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及單位斜坡函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的等價(jià)關(guān)系，對(duì)應(yīng)有單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)及單位斜坡響應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)的等價(jià)關(guān)系。這個(gè)等價(jià)對(duì)

18、應(yīng)關(guān)系表明：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；或者，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，而積分常數(shù)由零輸出初始條件確定。這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性，適用于任何階線性定常系統(tǒng)，但不適用于線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。因此，研究線性定常系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，不必對(duì)每種輸入信號(hào)形式進(jìn)行測(cè)定和計(jì)算，往往只取其中一種典型形式進(jìn)行研究。 33 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析凡以二階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制：工程中，不僅二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍，而且不少高階系統(tǒng)的特性在一定條件下可用二階系統(tǒng)的特性來表征。因此，著重研究二階系統(tǒng)的分析和計(jì)算方法，具

19、有較大的實(shí)際意義。1. 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為了使研究的結(jié)果具有普遍的意義，可將式(39)表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式: 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)載和能源的波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會(huì)在任何微小的擾動(dòng)作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因而，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一1穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下都會(huì)偏離原平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到

20、原平衡狀態(tài)的性能。其實(shí)，關(guān)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性有多種定義方法。上面所闡述的穩(wěn)定性概念，實(shí)則是指平衡狀態(tài)穩(wěn)定性，由俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫子1892年首先提出，一直沿用至今。有關(guān)李雅普諾夫穩(wěn)定性的嚴(yán)密數(shù)學(xué)定義及穩(wěn)定性定理，將在第九章介紹。在分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，我們所關(guān)心的是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入作用下，系統(tǒng)方程的解在時(shí)間t趨于無窮時(shí)的漸近行為。毫無疑問，這種解就是系統(tǒng)齊次微分方程的解，而“解”通常稱為系統(tǒng)方程的一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”，因而謂之運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。嚴(yán)格地說，平衡狀態(tài)穩(wěn)定性與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性并不是一回事，但是可以證明，對(duì)于線性系統(tǒng)而言，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性是等價(jià)的。按照李雅普諾夫分析穩(wěn)

21、定性的觀點(diǎn)，首先假設(shè)系統(tǒng)具有一個(gè)平衡工作點(diǎn)，在該平衡工作點(diǎn)上，當(dāng)輸入信號(hào)為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)亦為零。一旦擾動(dòng)信號(hào)作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出量將偏離原平衡工作點(diǎn)。若取擾動(dòng)信號(hào)的消失瞬間作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則t=0時(shí)刻系統(tǒng)輸出量增量及其各階導(dǎo)數(shù)，便是研究to時(shí)系統(tǒng)輸出量增量的初始偏差。于是，to時(shí)的系統(tǒng)輸出量增量的變化過程，可以認(rèn)為是控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)影響下的動(dòng)態(tài)過程。因而，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零(原平衡工作點(diǎn))，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散

22、，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 上述穩(wěn)定性定義表明，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性，而與外界條件無關(guān)。因此，設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想單位脈沖(t)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)c(t)。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，輸出信號(hào)偏離原系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)c(t)。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，輸出信號(hào)偏離原平衡工作點(diǎn)的問題。若t時(shí)，脈沖響應(yīng) 即輸出增量收斂于原平衡工作點(diǎn)，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)如式(361)所示，且設(shè)(i=1，2，n) 為特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么，由于(t)的拉氏變換為1，所以系統(tǒng)輸出增量的拉氏變換為

23、C(s)= =式中，q+2r=n。于是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為c(t)= + t (3-77)系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定系統(tǒng)；否則，稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面。應(yīng)該指出，由于我們所研究的系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上都是線性化的系統(tǒng)，在建立系統(tǒng)線性化模型的過程中略去了許多次要因素，同時(shí)系統(tǒng)的參數(shù)又處于不斷地微小變化之中，所以臨界穩(wěn)定現(xiàn)象實(shí)際上是觀察不到的。對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)而言，當(dāng)輸入信號(hào)為有界函數(shù)時(shí)，由于響應(yīng)過程中的動(dòng)態(tài)分量隨時(shí)間推移最終衰減至零，故系統(tǒng)輸出必為有界函數(shù)；對(duì)于不穩(wěn)定的線性系統(tǒng)而言，在有界輸入信號(hào)作用下，

24、系統(tǒng)的輸出信號(hào)將隨時(shí)間的推移而發(fā)散，但也不意味會(huì)無限增大，實(shí)際控制系統(tǒng)的輸出量只能增大到一定的程度，此后或者受到機(jī)械止動(dòng)裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，或者其運(yùn)動(dòng)形態(tài)進(jìn)入非線性工作狀態(tài)，產(chǎn)生大幅度的等幅振蕩。3，勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根。對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，因此希望使用一種間接判斷系統(tǒng)特征根是否全部嚴(yán)格位于s左半平面的代替方法。勞思和赫爾維茨分別于1877年和1895年獨(dú)立提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)，稱為勞思赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。這種判據(jù)以線性系統(tǒng)特征方程系數(shù)為依據(jù)，其數(shù)學(xué)證明從略(1)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特

25、征方程為D（s）= ， (3-78)(2)勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思穩(wěn)定判據(jù)為表格形式，見表33，稱為勞思表。勞思表的前兩行由系統(tǒng)特征方程(378)的系數(shù)直接構(gòu)成。勞思表中的第1行，由特征方程的第1，3，5，項(xiàng)系數(shù)組成；第2行，由第2，4，6，項(xiàng)系數(shù)組成。勞思表中以后各行的數(shù)值，需按表33所示逐行計(jì)算，凡在運(yùn)算過程中出現(xiàn)的空位，均置以零，這種過程一直進(jìn)行到第n行為止，第n+1行僅第一列有值，且正好等于特征方程最后一項(xiàng)系數(shù)。表中系數(shù)排列呈上三角形。按照勞思穩(wěn)定判據(jù)，由特征方程(378)所表征的線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要條件是：勞思表中第一列各值為正。如果勞思表第一列出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各

26、系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，代表特征方程（3-78）的正實(shí)部根的數(shù)目。勞思穩(wěn)定判據(jù)與赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)在實(shí)質(zhì)上是相同的。顯然，勞思表中第一列各數(shù)與各順序赫爾維茨行列式之間，存在如下關(guān)系：，。因此，在d。>0的情況下，如果所有的順序赫爾維茨行列式為正，則勞思表中第一列的所有元素必大于零。值得指出，對(duì)于高階系統(tǒng)特征方程，可以采用遞推勞思表來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4，勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況當(dāng)應(yīng)用勞思穩(wěn)定判據(jù)分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到兩種特殊情況，使得勞思表中的計(jì)算無法進(jìn)行到底，因此需要進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理，處理的原則是不影響勞思穩(wěn)定判據(jù)的判別結(jié)果。(1)勞思表中某行的第一列項(xiàng)為零，而其余各項(xiàng)不為零，或

27、不全為零此時(shí)，計(jì)算勞思表下一行的第一個(gè)元時(shí)，將出現(xiàn)無窮大，使勞思穩(wěn)定判據(jù)的運(yùn)用失效。例如，特征方程為D(s)=(2)勞斯表中出現(xiàn)全零行這種情況表明特征方程中存在一些絕對(duì)值相同但符號(hào)相異的特征根。例如，兩個(gè)大小相等但符號(hào)相反的實(shí)根和(或)一對(duì)共軛純虛根，或者是對(duì)稱于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。當(dāng)勞思表中出現(xiàn)全零行時(shí)，可用全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程F(s)=0，并將輔助方程對(duì)復(fù)變量s求導(dǎo)，用所得導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代全零行的元，便可按勞思穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運(yùn)算下去，直到得出完整的勞思計(jì)算表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同但符號(hào)相反的根數(shù)。所有那些數(shù)值相同但符號(hào)相異的根，均可由輔助方程求得。

28、5勞思穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用在線性控制系統(tǒng)中，勞思判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則這判據(jù)并不能直接指出使系統(tǒng)穩(wěn)定的方法；如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞思判據(jù)也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動(dòng)態(tài)性能。換句話說，勞思判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在s平面上相對(duì)于虛軸的離。由高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式(366)可見，若負(fù)實(shí)部特征方程式的根緊靠虛軸，由于或的值很小，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程將具有緩慢的非周期特性或強(qiáng)烈的振蕩特性。了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，我們常常希望在s左半平面上系統(tǒng)特征根的位與虛軸之間有一定的距離。為此，可在左半s平面上作一條s=-a的垂線，而a是系統(tǒng)征根位置與虛軸之間的最小給定距離，通常稱為給定穩(wěn)定度，然

29、后用新變量代原系統(tǒng)特征方程，得到一個(gè)以為變量的新特征方程，對(duì)新特征方程應(yīng)用勞思穩(wěn)定判據(jù)，36 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度(控制精度)的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的技術(shù)指標(biāo)。對(duì)于一個(gè)實(shí)際的控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用的類型(控制量或擾動(dòng)量)、輸入函數(shù)的形式(階躍、斜坡或加速度：不同，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當(dāng)，也不可能在任伺形式的擾動(dòng)作用下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到原平衡位置。此外，控制系統(tǒng)中不可避免地存在磨擦、間隙、不靈敏區(qū)、零位輸出等非線性因素，都會(huì)造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差?？梢哉f，控制系紹的穩(wěn)態(tài)誤差是不可

30、避免的，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一，是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一容許值。顯然，只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，根本不存在研究穩(wěn)態(tài)誤差的可能性。有時(shí)，把在階躍函數(shù)作用下沒有原性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為無差系統(tǒng)；而把具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為有差系統(tǒng)。本節(jié)主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差即原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法，其中包括系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系，同時(shí)介紹定量描述系統(tǒng)誤差的兩類系數(shù)，即靜態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。至于非線性因素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，則稱為附加穩(wěn)態(tài)誤差，或結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差。1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

31、如圖328所示。當(dāng)輸入信號(hào)R(s)與主反饋信號(hào)B(s)不等時(shí)，比較裝置的輸出為E(s)=R(s)-H(s)C(s) (380)此時(shí)，系統(tǒng)在E(s)信號(hào)作用下產(chǎn)生動(dòng)作，使輸出量趨于希望值。通常，稱E(s)為誤差信號(hào)簡(jiǎn)稱誤差(亦稱偏差)。誤差有兩種不同的定義方法：一種是式(380)所描述的在系統(tǒng)輸入端定義誤差的：法；另一種是從系統(tǒng)輸出端來定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的希望值與實(shí)際值之差。前者義的誤差，在實(shí)際系統(tǒng)中是可以量測(cè)的，具有一定的物理意義；后者定義的誤差，在系統(tǒng)能指標(biāo)的提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無法量測(cè)，因而一般只有數(shù)學(xué)意義。上述兩種定義誤差的方法，存在著內(nèi)在聯(lián)系。1 系統(tǒng)類型由穩(wěn)態(tài)誤差

32、計(jì)算通式(384)可見，控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的結(jié)構(gòu)和輸入信號(hào)R(s)的形式密切相關(guān)。對(duì)于一個(gè)給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。因此，按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號(hào)的能力來進(jìn)行系統(tǒng)分類是必要的。在一般情況下，分子階次為m，分母階次為n的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為 G(s)H(s)=式中，K為開環(huán)增益；和為時(shí)間常數(shù)；為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的極點(diǎn)的重?cái)?shù)?，F(xiàn)在的分類方法是以的數(shù)值來劃分的：，稱為0型系統(tǒng)；稱為型系統(tǒng)；稱為型系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)，除復(fù)合控制系統(tǒng)外，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當(dāng)困難的。因此除航天控制系統(tǒng)外，型及型以上的系統(tǒng)

33、幾乎不采用。這種以開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的極點(diǎn)數(shù)來分類的方法，其優(yōu)點(diǎn)在于：可以根據(jù)已知的輸入信號(hào)形式，迅速判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。它與按系統(tǒng)的階次進(jìn)行分類的方法不同，階次m與n的大小與系統(tǒng)的大小與系統(tǒng)的型別無關(guān)，且不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值。為了便于討論，令 必有時(shí)，。因此，式(385)可改寫為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算通式則可表示為3，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)在圖328所示的控制系統(tǒng)中，若r(t)=R，其中R為輸入階躍函數(shù)的幅值，則R(s)=。由式(387)可以算得各型系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)于0型單位反饋控制系統(tǒng)，在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差圖示，

34、可參見圖31。顯然，其穩(wěn)態(tài)誤差是希望輸出1與實(shí)際輸出K(1十K)之間的位置誤差。習(xí)慣上常采用靜態(tài)位置誤差系數(shù)K，表示各型系統(tǒng)在階躍輸入作用下的位置誤差。根據(jù)式(384)，當(dāng)時(shí)，有 式中 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。由式（3-89）及（3-86）知，各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為 如果要求系統(tǒng)對(duì)于階躍輸入作用不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用I型及I型以上的系統(tǒng)。習(xí)慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。因而，0型系統(tǒng)可稱為有(靜)差系統(tǒng)或零階無差度系統(tǒng)，I型系統(tǒng)可稱為一階無差度系統(tǒng)，型系統(tǒng)可稱為二階無差度系統(tǒng)，依此類推。4，斜坡輸人作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)。將R(s)代入式(387)，得各型

35、系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 通常，式(390)表達(dá)的穩(wěn)態(tài)誤差稱為速度誤差。必須注意，速度誤差的含意并不是指系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在速度上的誤差，而是指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在位置上的誤差。此外，式(390)還表明：0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)不能跟蹤斜坡輸入；對(duì)于I型單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)輸出速度恰好與輸入速度相同，但存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)位置誤差，其數(shù)值與輸入速度信號(hào)的斜率R成正比，而與開環(huán)增益K成反比；對(duì)于型及型以上的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號(hào)，不存在位置誤差。如果系統(tǒng)為非單位反饋系統(tǒng)，其H(s)為常數(shù)，那么系統(tǒng)輸出量的希望值為，系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差為 上式表示的關(guān)系，對(duì)于下面即將討論的系統(tǒng)在加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算問題，同樣成立。5加速度輸人作用下的