古典概率、幾何概率

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上古典概率、幾何概率一、選擇題1. 4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A. 18B. 38C. 58D. 782. 甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，甲獲勝的概率是13，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A. 56B. 25C. 16D. 133. 將一顆骰子擲兩次，則第二次出現(xiàn)的點數(shù)是第一次出現(xiàn)的點數(shù)的3倍的概率為()A. 118B. 112C. 16D. 134. 同時擲3枚硬幣，最多有2枚正面向上的概率是()A. 78B. 58C. 38D. 185. 已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使APB

2、的最大邊是AB”發(fā)生的概率為12，則ADAB=()A. 74B. 14C. 32D. 126. 南寧市十二路公共汽車每5分鐘一趟，某位同學(xué)每天乘十二路公共汽車上學(xué)，則他等車時間小于3分鐘的概率為()A. 25B. 35C. 15D. 3107. 在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之和小于32的概率是()A. 18B. 38C. 58D. 788. 在區(qū)間1,5上隨機地取一個實數(shù)a，則方程x22ax+4a3=0有兩個正根的概率為()A. 23B. 12C. 38D. 139. 在以點O為圓心，1為半徑的半圓弧上任取一點B，如圖，則AOB的面積大于14的概率為( ) A. 13B. 23C.

3、12D. 3410. 將長為的木棍隨機分成兩段，則兩段長都大于的概率為()A. B. C. D. 二、填空題11. 通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某班學(xué)生患近視的概率為0.4，現(xiàn)隨機抽取該班的2名同學(xué)進行體檢，則他們都不近似的概率是_ 12. 在面積為S的矩形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則PBC的面積小于S4的概率是_ 13. 在圓O上有一定點A，則從這個圓上任意取一點B，使得AOB30的概率是_三、解答題14. 甲乙兩人拿兩顆骰子做投擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲，否則，由對方接著擲.第一次由甲開始擲(1)分別求第二次、第三次由甲擲的概率；(2)求前4次拋擲中甲恰好擲兩次的概

4、率15. 某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230()從該班隨機選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加一個社團的概率；()在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率16. 已知函數(shù)f(x)=3x2+ax+b，若a，b都是從區(qū)間0,4內(nèi)任取一個數(shù)，求f(1)0成立的概率17. 如圖所示，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P(x，y). (1)求 APB的

5、面積大于的概率； (2)求點P到原點的距離小于1的概率18. 甲、乙兩人約定于6時到7時之間在某地會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. A5. A6. B7. D8. C9. A10. B11. 0.3612. 1213. 1614. 解：(1)投兩顆骰子包含的基本事件為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)共36種點數(shù)和為3的倍數(shù)有：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)共12種，兩骰子點數(shù)之和為3

6、的倍數(shù)概率為：52+236=13，故第二次由甲投的概率為：P=13第三次由甲擲，包括兩種情況：甲投擲2次得到的點數(shù)之和都是3的倍數(shù)，概率為(13)2；或者是甲投擲得到的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，乙投擲得到的點數(shù)之和也不是3的倍數(shù)，概率為2323，故第三次由甲投的概率為：P=(13)2+2323=59(2)求前4次拋擲中甲恰好擲兩次的概率為P=P(甲甲乙乙)+P(甲乙甲乙)+P(甲乙乙甲) = 132313+232323+231323=142715. 解：()設(shè)“至少參加一個社團”為事件A；從45名同學(xué)中任選一名有45種選法，基本事件數(shù)為45；通過列表可知事件A的基本事件數(shù)為8+2+5=15；這是一

7、個古典概型，P(A)=1545=13；()從5名男同學(xué)中任選一個有5種選法，從3名女同學(xué)中任選一名有3種選法；從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人的選法有53=15，即基本事件總數(shù)為15；設(shè)“A1被選中，而B1未被選中”為事件B，顯然事件B包含的基本事件數(shù)為2；這是一個古典概型，P(B)=21516. 解：函數(shù)f(x)=3x2+ax+b，f(1)=3+a+b，f(1)0即3+a+b0，也就是a+b30a，b都是在區(qū)間0,4內(nèi)任取一個數(shù)，0a4，0b4，可得點M(a,b)所在的區(qū)域是由a=0，a=4，b=0，b=4四條直線圍成的正方形設(shè)滿足f(1)0的點為N，則N所在的區(qū)域是正方形內(nèi)，且在直

8、線a+b3=0的上方，如圖，即五邊形ABCDE的內(nèi)部，正方形面積為S=44=16，五邊形ABCDE的面積為S1=S正方形SOBC=161233=232，事件“f(1)0”的概率為：P=S1S=23216=233217. 解：(1)如圖，取線段BC，AO的中點E，F(xiàn)，連接EF，則當點P在線段EF上時，SAPB=，故滿足條件的點P所在的區(qū)域為矩形OFEC(陰影部分)故所求概率為S陰影S正方形=12所有的點P構(gòu)成正方形區(qū)域D，若點P到原點距離小于1，則x2+y21所以符合條件的點P構(gòu)成的區(qū)域是圓x2+y2=1在第一象限所圍的平面部分(圖中陰影部分)點P到原點距離小于1的概率為S陰影S正方形=418.

9、 解：由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的所有事件對應(yīng)的集合是=(x,y)|0x60，0y60 集合對應(yīng)的面積是邊長為60的正方形的面積S=6060，而滿足條件的事件對應(yīng)的集合是A=(x,y)|0x60，0y60，|xy|15 得到SA=6060(6015)(6015) 兩人能夠會面的概率P=6060(6015)(6015)6060=716，兩人能夠會面的概率是716【解析】1. 解：4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，共有24=16種情況，周六、周日都有同學(xué)參加公益活動，共有242=162=14種情況，所求概率為1416=78故選：D求得4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任

10、選一天參加公益活動、周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的情況，利用古典概型概率公式求解即可本題考查古典概型，是一個古典概型與排列組合結(jié)合的問題，解題時先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)2. 解：甲不輸與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件根據(jù)互斥事件的概率計算公式可知：甲不輸?shù)母怕蔖=13+12=56故選：A利用互斥事件的概率加法公式即可得出本題考查互斥事件與對立事件的概率公式，關(guān)鍵是判斷出事件的關(guān)系，然后選擇合適的概率公式，屬于基礎(chǔ)題3. 解：一顆骰子擲兩次，共有36種滿足條件的情況有(1,3)，(2,6)，共2種，所求的概率P=236=118

11、故選：A列出基本事件，求出基本事件數(shù)，找出滿足第二次出現(xiàn)的點數(shù)是第一次出現(xiàn)的點數(shù)的3倍的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可本題主要考查了列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，解題的關(guān)鍵是要做到不重復(fù)不遺漏，屬于基礎(chǔ)題4. 解：同時擲3枚硬幣，基本事件總數(shù)n=23=8，最多有2枚正面向上的對立事件是三枚硬全都正面向上，最多有2枚正面向上的概率：p=1C33(12)3=78故選：A最多有2枚正面向上的對立事件是三枚硬全都正面向上，由此利用對立事件概率計算公式能求出最多有2枚正面向上的概率本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用5. 【分析】本題主要考查了幾何概型

12、，關(guān)鍵是合理設(shè)置常數(shù)，從而得到關(guān)系式，由于運算量較大，故較難【解答】解：設(shè)AB=1，AD=m，記事件A=“在矩形ABD的邊CD隨機取P使APB的最大邊AB”，則U=CD=1,UA=EF，其中P位于E時，BE=AB=1，P位于F時，AF=AB=1由題意可知，P(A)=UAU=EFCD=12，所以DE=CF=14在直角三角形ECB中，BC=m，EC=34，BE=1，所以916+m2=1，解得m=74，所以ADAB=m=74故選A.6. 解：由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是汽車5分鐘一班準時到達車站，時間長度是5，而滿足條件的事件是任一人在該車站等車時間少于3分鐘的時間長度是3，由幾

13、何概型概率公式得到P=35，故選：B由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是汽車5分鐘一班準時到達車站.而滿足條件的事件是任一人在該車站等車時間少于3分鐘，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到7. 解：設(shè)取出的兩個數(shù)為x、y，則有0x1，0y1，其表示的區(qū)域為縱橫坐標都在0,1之間的正方形區(qū)域，易得其面積為1，而x+y1.5表示的區(qū)域為直線x+y=1.5下方，且在0x1，0y1表示區(qū)域內(nèi)部的部分，易得其面積為118=78，則兩數(shù)之和小于1.5的概率是78故選：D設(shè)取出的兩個數(shù)為x、y，則可得“0x1，0y1”表示的區(qū)域為縱

14、橫坐標都在0,1之間的正方形區(qū)域，易得其面積為1，而x+y02a0，即a3或a1a34a0，得34AOB60，所以B所在的弧長為31=3，故所求概率為3=13，故選A10. 【分析】本題考查幾何概型，解答的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題后應(yīng)用幾何概率的計算公式求解由題意可得，屬于與區(qū)間長度有關(guān)的幾何概率模型，試驗的全部區(qū)域長度為9，基本事件的區(qū)域長度為5，代入幾何概率公式可求【解答】解：設(shè)“長為9cm的木棍”對應(yīng)區(qū)間0,9，“兩段長都大于2cm”為事件A，則滿足A的區(qū)間為2,7，根據(jù)幾何概率的計算公式可得P(A)=7290=59故選B11. 解：由題意可得每個學(xué)生不近視的概率為0.6，隨機抽

15、取該班的2名同學(xué)進行體檢，他們都不近似的概率是0.60.6=0.36，故答案為：0.36由題意可得每個學(xué)生不近視的概率為0.6，再利用相互獨立事件的概率乘法公式求得隨機抽取該班的2名同學(xué)進行體檢，他們都不近似的概率本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題12. 解：設(shè)P到BC的距離為h 矩形ABCD的面積為S，PBC的面積小于14S時，h12BC 點P所在區(qū)域的面積為矩形面積的一半，PBC的面積小于14S的概率是12 故答案為：12 根據(jù)PBC的面積小于14S時，可得點P所在區(qū)域的面積為矩形面積的一半，從而可求相應(yīng)概率本題考查幾何概型，

16、解題的關(guān)鍵是根據(jù)PBC的面積小于14S時，確定點P所在區(qū)域的面積為矩形面積的一半13. 解：如圖， 要使AOB30，則B點所在圓弧占整個圓周的16由幾何概型概率計算公式可得，使得AOB30的概率是16故答案為：16由題意畫出圖形，由幾何概型概率計算公式得答案本題考查幾何概型，考查了幾何概型概率計算公式的求法，是基礎(chǔ)題14. (1)投兩顆骰子包含的基本事件用列舉法求得共36種.點數(shù)和為3的倍數(shù)有12種，由此求得兩骰子點數(shù)之和為3的倍數(shù)概率，從而求得第二次由甲投的概率以及第三次由甲投的概率(2)求前4次拋擲中甲恰好擲兩次的概率為P=P(甲甲乙乙)+P(甲乙甲乙)+P(甲乙乙甲)，分別求得這三種情況

17、的概率，相加即得所求本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題15. ()先判斷出這是一個古典概型，所以求出基本事件總數(shù)，“至少參加一個社團”事件包含的基本事件個數(shù)，從而根據(jù)古典概型的概率計算公式計算即可；()先求基本事件總數(shù)，即從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，有多少中選法，這個可利用分步計數(shù)原理求解，再求出“A1被選中，而B1未被選中”事件包含的基本事件個數(shù)，這個容易求解，然后根據(jù)古典概型的概率公式計算即可考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步計數(shù)原理的應(yīng)用16. 本題以一個函數(shù)值為正值的概率求法為例，著重考查了用不等式組表示平面區(qū)域和幾何概率的求法等知識點，屬于基礎(chǔ)題將事件“f(1)0”化簡得不等式a+b30，根據(jù)題意，a，b都是在區(qū)間0,4內(nèi)任取的一個數(shù)，得到所有的點M(a,b)所在的區(qū)域是由a=0，a=4，b=0，b=4四條直線圍成的正方形，而符合題意的點N所在的區(qū)域是正方形內(nèi)，且在直線a+b3=0的上方，最后用符合題意的圖形面積除以整個正方形的面積，即可得到所求概率17. 本題考查的是幾何概型(1)由面積公式可知滿足APB的面積大于14的點在一個長方形區(qū)域內(nèi)，由長方形區(qū)域的面積比正方形的面積可求