高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要.總結(jié)

1、第七章：微分方程一、微分方程的相關(guān)概念1.微分方程的階數(shù)：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.2.微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.通解：所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的解稱為微分方程的通解.特解：確定了任意常數(shù)的通解稱為微分方程的特解.3. 特解與通解的關(guān)系：可通過初始條件確定通解中的常數(shù)而得到滿足條件的特解；也可通過方程的表達(dá)式直接觀察得到特解，因此特解不總包含在通解中.二、微分方程的常見類型及其解法1. 可分離變量的微分方程及其解法(1). 方程的形式：g( y) dyf ( x)dx .(2).方程的解法：分離變量法(3).求解步驟 .分

2、離變量，將方程寫成g( y) dy f ( x)dx 的形式； .兩端積分： g ( y)dyf ( x)dx ，得隱式通解 G( y)F ( x) C ； . 將隱函數(shù)顯化 .2. 齊次方程及其解法(1).方程的形式： dyy.dxx(2).方程的解法：變量替換法(3).求解步驟引進(jìn)新變量 uy ，有 yux 及 dyu x du ；xdxdx代入原方程得：u x du(u) ；dx分離變量后求解，即解方程dudx ；( u) ux變量還原，即再用y 代替 u .x3. 一階線性微分方程及其解法(1). 方程的形式： dyP(x) yQ(x) .dx一階齊次線性微分方程:dyP( x) y

3、0.dx一階非齊次線性微分方程: dyP( x) yQ (x) 0.dx1(2). 一階齊次線性微分方程dyP( x) y 0的解法 :分離變量法 .dx通解為 yCe P( x)d x ,( CR). (公式)(3). 一階非齊次線性微分方程dyP( x) yQ (x)0的解法 : 常數(shù)變易法 .dx對(duì)方程 dyP( x) yQ( x) ，設(shè) yu( x)eP( x) d x 為其通解，其中u(x) 為未知函數(shù)，dx從而有dyu ( x) eu( x) P( x) eP ( x) d x ，P( x) d xdxu ( x) eP ( x) d xP ( x) d x代入原方程有u( x)

4、P( x)e整理得u (x)Q( x) eP (x) d x，()()P (x) d x( )P x u x eQ x，兩端積分得 u(x)Q( x)e P ( x)d xdx C ，再代入通解表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解y e P( x)d x (Q( x)e P ( x)d xdx C) Ce P( x)d x e P( x) d x Q( x)e P ( x )d x dx ，( 公式 )即非齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解.第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量a (xa , ya , za ), b(xb , yb , zb ), c ( xc ,

5、 yc , zc )1. 向量 a( xa , ya , za ) 與 b( xb , yb , zb ) 的數(shù)量積： aba b cosxa xb xb yb za zb ；ijk2.向量 a( xa , ya , za ) 與 b( xb , yb , zb ) 的向量積： abxayaza .xbybzba ba b sin 的幾何意義為以 a, b 為鄰邊的平行四邊形的面積 .3.向量 r( x, y, z) 的方向余弦：cosx2cos2cos2cos24. 向量 a( xa , ya , za ) 與 bx, cosy, cosy，y 2z2x2y2x2y 2z2z21； sin2

6、sin 2sin22.( xb , yb , zb ) 垂直的判定：aba b0xa xbxb ybza zb0 .5. 向量 a( xa , ya , za ) 與 b( xb , yb , zb ) 平行的判定：2a / ba b 0xaxbzak .a kb, k 0ybzbxb6.三向量共面的判定：kamb nc 0 a,b,c 共面 .7.向量 a ( xa , ya , za ) 在 b( xb , yb , zb ) 上的投影： Pr j aba bxa xbxb ybza zb .axa2ya2za2二、平面1. 過點(diǎn) P(x0 , y0 , z0 ) ，以 n ( A, B,

7、 C ) 為法向量的平面的點(diǎn)法式方程：A(x x0 ) B( y y0 )C( zz0 )0 .2.以向量 n( A, B,C ) 為法向量的平面的一般式方程： AxByCzD0.3.點(diǎn) M ( x1 , y1, z1 ) 到平面 AxByCzDAx1By1cz1D0 的距離 dA2B2C 2.4.平面1 : A1 xB1 yC1zD10 與2 : A2 xB2 yC2 zD20 平行的判定：1 /2n1 / n2A1B1C1D1.A2B2C 2D 25.平面1 : A1 xB1 yC1zD10 與2 : A2 xB2 yC2 zD20垂直的判定：12n1n2A1 A2B1B2C1C20 .6

8、.平面1 : A1 xB1 yC1zD10 與2 : A2 xB2 yC2 zD20的夾角：cosA1 A2B1 B2C1C2A12B12C12A22B22C22三、直線1.過點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s(m, n, p) 為方向向量的直線的點(diǎn)向式( 對(duì)稱式、標(biāo)準(zhǔn) ) 方程：x x0yy0zz0 .mnpxx0tm2.過點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) ，以 s(m, n, p) 為方向向量的直線的參數(shù)式方程：yy0tn .zz0tp3.A1 x B1 y C1z D10n1n2 .直線的一般式方程：. 方向向量為 sA2 x B2 y C2 z D204. 直線方程

9、之間的轉(zhuǎn)化：i) 點(diǎn)向式參數(shù)式3ii)一般式點(diǎn)向式第一步：找點(diǎn)第二步：找方向向量sn1n25.直線 L1 : xx1yy1zz1 與 L2 : xx2yy2zz2 平行的判定：m1n1p1m2n2p2L1 / L2s1 / s2m1n1p1 .m2n2p26.直線 L1: xx1yy1zz1與 L2 : xx2yy2zz2 垂直的判定：m1n1p1m2n2p2L1L2s1s2m1 m2n1n2p1 p20 .7.直線 L1 : xx1yy1zz1 與 L2: xx2yy2z z2 的夾角：m1n1p1m2n2p2cosm1m2n1n2p1 p2.m12n12p12m22n22p228.直線 L

10、 : xx0yy0zz0 與平面: AxByCzD0垂直的判定：lmnlmnLS/ N.ABC9.直線 L : xx0yy0zz0 與平面: AxByCzD0平行的判定：lmnL /SNAlBmCn0 .10.直線 L : xx0yy0zz0 與平面: AxByCzD0 的夾角：lmnsinAmBnCp.A2B2C 2m2n2p211. 點(diǎn) P( x0 , y0 , z0 ) 到直線A1 x B1 y C1 z D10PM sA2 x B2 y C2 z D2的距離： d，其中 M 是直線上任意一點(diǎn)， s n1 n2 .0s四、曲線、曲面1.yoz 平面上的曲線 C ： f ( y, z)0繞

11、 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為S ： f (x2y 2 , z) 0 .F ( x, y, z)0xoy 平面上的投影柱面方程為：H ( x, y) 0 ；2. 空間曲線 C ：關(guān)于G( x, y, z)04在 xoy 平面上的投影曲線為H (x, y)0C ：.z 0第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、平面點(diǎn)集1. 內(nèi)點(diǎn)一定在點(diǎn)集內(nèi)，但點(diǎn)集內(nèi)的點(diǎn)未必是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，還有孤立點(diǎn)；2. 聚點(diǎn)可以是點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，也可以是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，但不可以是點(diǎn)集的外點(diǎn)和點(diǎn)集內(nèi)的孤立點(diǎn)；3. 開集和閉集內(nèi)的所有點(diǎn)都是聚點(diǎn) .二、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.二元函數(shù)f ( x, y) 在 (x0 , y0 )

12、 點(diǎn)的二重極限：limf ( x, y)A .( x ,y) ( x0 , y0 )2.二元函數(shù)f ( x, y) 在 (x0 , y0 ) 點(diǎn)的連續(xù)性：limf (x, y)f (x0 , y0 ) .( x, y) ( x0 , y0 )3.二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù) .二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.函數(shù) zf ( x, y) 對(duì)自變量 x, y 的偏導(dǎo)數(shù)：z 及z .xy2.函數(shù) zf (x, y)對(duì)自變量 x, y 的二階偏導(dǎo)數(shù)：2 z、2 z、2 z 、2 zx2y2x yy x注：若二階混合偏導(dǎo)數(shù)2 z2 z連續(xù)，則二者相等 .與y xx y三、二元函數(shù)的全微分：dzz

13、dxz dyxy四、二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性以及全微分存在性三者之間的關(guān)系1.函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系：二者沒有任何的蘊(yùn)涵關(guān)系.2. 偏導(dǎo)數(shù)存在性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，偏導(dǎo)數(shù)存在；反之未必.( 偏導(dǎo)數(shù)不存在，全微分一定不存在)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分存在，反之未必.3. 連續(xù)性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，函數(shù)一定連續(xù)；( 函數(shù)不連續(xù)，全微分一定不存在)函數(shù)連續(xù)，全微分未必存在.五、二元復(fù)合函數(shù)的偏( 全 ) 導(dǎo)數(shù)1. 中間變量為兩個(gè)，自變量為一個(gè)的復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：zf (u,v), u(t), v(t ), zf ( (t ),(t ) ，dzz duz dvdtu d

14、tv dt2. 中間變量為兩個(gè)，自變量為兩個(gè)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：5zf (u,v), u( x, y), v(x, y), zf (x, y), ( x, y) ，zzuzvzzuzvxuxvx,uxvxy六、隱函數(shù)微分法1. 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)微分法：F ( x, y, z)0確定隱函數(shù) zf ( x, y) ，直接對(duì)方程左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即F dxF dyFz0，即x dxy dxzxF1F0FzzFx'xyzx0 ，解得Fz'x2. 由方程組確定的隱函數(shù)組微分法：F (x, y, u, v)0確定隱函數(shù)uu( x, y)G( x, y, u, v)0v，v(

15、x, y)F dxF dyFuFvx dxy dxuxv0直接對(duì)方程組左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即xG dxG dyGuG，即vx dxy dxuxv0xFFuFv0xuxvxuv，可以解出.GGuGv,x0xxuxvx七、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1. 曲線的切線方程和法平面方程x(t ),1).以參數(shù)式方程y(t ), 表示的曲線在 tt0 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) 的z(t )切線方程：xx0yy0z z0' (t 0 )' (t 0 )' (t0 )法平面方程：' (t0 )( xx0 )' (t0 )( y y0 )' (

16、t0 )( zz0 ) 02).F ( x, y, z)0M (x0 , y0 , z0 ) 的切線和法平面方程：以一般式方程G( x, y, z)表示的曲線在點(diǎn)0F (x, y, z)0yf (x)dy , dz先用方程組G(x, y, z)0確定的隱函數(shù)組微分法求出，然后得到切線的方向向量zg (x)dx dxn1, dyxx, dzxxdx0dx06切線方程： xx0y y0zz01f ' ( x0 )g ' ( x0 )法平面方程： xx0f ' ( x0 )( yy0 ) g ' (x0 )( z z0 ) 02. 曲面的切平面方程和法線方程1). 以

17、一般式方程 F (x, y, z)0表示的曲面在點(diǎn)M (x0 , y0 , z0 ) 的切平面和法線方程：切平面線方程： Fx' (M )( x x0 )Fy' (M )( yy0 )Fz' (M )(zz0 )0法方程：xx0yy0zz0Fx' (M ) Fx' ( M ) Fz' (M )2). 以特殊式方程 zf ( x, y) 表示的曲面在點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面和法線方程：令 F ( x, y, z)f (x, y)z0 ，有曲面在點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 ) 的切平面的法向量N (F'(M)

18、,F'(M ),F'(M )( f '(x, y), f '( x , y), 1)xyzx00y00切平面線方程： f x' ( x0 , y0 )( xx0 )f y' ( x0 , y0 )( yy0 )( zz0 )0法方程：xx0yy0zz0 .f x' ( x0 , y0 )fx' (x0 , y0 )13. 方向?qū)?shù)與梯度：1).ff ( xx, yy)f (x.y)方向?qū)?shù)：liml02).方向?qū)?shù)存在條件：可微分函數(shù)z f ( x, y) 在一點(diǎn)沿任意方向l 的方向?qū)?shù)都存在，并且fzz，其中 cos, cos是

19、方向 l 的方向余弦 .lcoscosxy3).梯度：函數(shù) f ( x, y, z) 在點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) 處的梯度grad f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 )if y ( x0 , y0 , z0 ) jf z ( x0 , y0 , z0 )k ( ).4).方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： . 函數(shù) f ( x, y, z) 在點(diǎn) M ( x0 , y0, z0 ) 處 增 加最 快 的 方 向 是其 梯 度 grad f ( x0 , y0 , z0 ) 的方 向 ， 減 小 最快 的 方向 是g ra df ( x0 , y0

20、, z0 ) 的方向 . 函數(shù) f (x, y, z) 在點(diǎn) M (x0, y0 , z0 ) 沿任意方向的方向?qū)?shù)的最大值為grad f (x0 , y0 , z0 ) .八、極值、條件極值1.函數(shù) zf (x, y) 的極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的關(guān)系：函數(shù)zf (x, y) 的極值在其駐點(diǎn)或不可偏導(dǎo)點(diǎn)取得.72. 求函數(shù)極值的步驟：(1). 對(duì)函數(shù) zf x' ( x, y)0f ( x, y) 求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組，得所有駐點(diǎn) (xi , yi ) .f y' (x, y)0(2). 對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn) ( xi , yi ) ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A fxx''( xi ,

21、 yi ), B f xy'' ( xi , yi ), C f yy'' (xi , yi ) .(3). 計(jì)算 B2AC ，根據(jù) B2AC 以及 A 的符號(hào)判定f (xi , yi ) 是否是極值：若 B 2AC0, A0 ，則 f (xi , yi) 是極小值；若 B 2AC0, A0 ，則 f (xi , yi) 是極大值；若 B 2AC0, ，則f (xi , yi ) 不是極小值；若 B 2AC0, ，則f (xi , yi ) 是否是極值不能判定，需其他方法驗(yàn)證 .3. 求函數(shù) zf ( x, y) 在附加條件( x, y) 0下的條件極值的方法：

22、做拉格朗日函數(shù) F ( x, y)f ( x, y)( x, y) ，對(duì)自變量 x, y 求偏導(dǎo)，建立方程組Fx' ( x, y)f x' ( x, y)x' ( x, y) 0Fy' (x, y)f y' ( x, y)y' ( x, y) 0Fx' ( x, y)f x' (x, y)x' ( x, y)0與附加條件聯(lián)立的方程組Fy' ( x, y)f y' ( x, y)y' ( x, y)0 ，解出的 x, y 就是函數(shù) zf (x, y) 的可能極值點(diǎn) .(x, y)0第十章：重積分一、二

23、重積分的相關(guān)性質(zhì)1.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)f ( x, y) 在該區(qū)域 D 上二重積分f ( x, y)d 存在；D2.若函數(shù) f ( x, y) 在有界閉區(qū)域 D 上二重積分存在f ( x, y)d ，則 f ( x, y) 在該區(qū)域上有界；D3. 中 值 性 ： 若 函 數(shù) f (x, y)f ( x, y) df (x, y)D在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)，區(qū)域D 的面積為，則在D 上至少存在一點(diǎn)(,) ，使得.4.1d，區(qū)域 D 的面積為.D二、二重積分的計(jì)算1. 利用平面直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 1). 先對(duì) y 后對(duì) x 積分，由于積分區(qū)域 D : ax b ；1(x)y2()x，有8f (

24、 x, y)db2 ( x)dxf (x, y)dy .Da1 ( x )2). 先對(duì) x 后對(duì) y 積分，由于積分區(qū)域D : cyd ； 1 ( y) x2 ( y) ，有f (x, y)dd2 ( y)dyf ( x, y) dx .Dc1( y)b2 ( x )f ( x, y)dyf ( x, y) dd2 ( y )3). 積分換序：dx1 ( x)dyf ( x, y)dx .ac1 ( y)D2. 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分xcos1 ()x 2 ( ) ，有令，由于積分區(qū)域 D :；ysinf (x, y)dd2 ( )cos ,sin)d .f (D1 ( )dVV ，區(qū)域的體積

25、為 V .三、三重積分的相關(guān)性質(zhì)：1四、三重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分積分區(qū)域 V ： a xb ； y1 ( x)yy2( x) ； z1( x, y)z z2 (x, y) ，有f ( x, y, x)dVby2 ( x )dyz2 ( x, y)adxz1 ( x, y)f (x, y, z) dzy1 ( x)第十一章：曲線積分曲面積分一、曲線積分的計(jì)算1. 第一型曲線積分的計(jì)算：x(t),t0tt1 ，則第一型曲線積分若曲線 C 的參數(shù)方程是：(t),yt1f (t ),(t )'2 (t )'2 (t )dtf ( x, y)dsCt02. 第二型曲線

26、積分的計(jì)算：若曲線C 的參數(shù)方程是：x(t),t 0tt1 ， t0t A , t1t B 分 別 對(duì) 應(yīng) 曲 線 的 兩 個(gè) 端 點(diǎn) ， 則 第 一 型 曲 線 積 分y(t ),P(x, y)dxQ(x, y)dyt1(t ),(t)' (t) Q(t ), (t)' (t)dtP(Ct03. 格林公式 ( 聯(lián)系曲線積分和二重積分 )設(shè)有界閉區(qū)域D 由分段光滑曲線C 所圍成， C 取正向，函數(shù)P(x, y), Q( x, y) 在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式9Pdx QdyDQP dxdy .Cxy注： 1. 可用第二型曲線積分計(jì)算該曲線所圍成區(qū)域的面積：設(shè)有界

27、閉區(qū)域D 由取正向的光滑曲線C 所圍成，則區(qū)域D 的面積為dxdy1ydxxdy .2CD2. 函數(shù) P(x, y), Q( x, y) 在區(qū)域 D上連續(xù) .二、曲面積分的計(jì)算1. 第一型曲面積分的計(jì)算：若曲面 S 的方程是： zz( x, y) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在xoy 平面上的投影區(qū)域?yàn)镈 xy ，函數(shù) f ( x, y, z) 在 S 上連續(xù)，則第一型曲面積分f ( x, y, z)dSf z, y, z(z, y) 1 zx'2zy'2 dxdySD xy2. 第二型曲面積分的計(jì)算：若正向曲面 S 的方程是： zz( x, y) ，且在 xoy 平面上的投影區(qū)域?yàn)镈

28、xy ，函數(shù) R(x, y, z) 在 S 上連續(xù)，則第二型曲面積分R( x, y, z)dxdyR x, y, z(x, y)dxdy ，SDxyP x y z dydzR x y z),y z dydz ；同理可得(,) ( , )SD yzQ( x, y, z) dzdxQ x, y( z, x), z)dzdxSDzx3. 高斯公式 ( 聯(lián)系曲面積分和三重積分 )若函數(shù) P(x, y, z), Q( x, y, z) 在空間有界閉區(qū)域 及其光滑邊界曲面S 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式：PdydzQdzdxRdxdyPQR dxdydz.Sxyz注：設(shè)空間有界閉區(qū)域由光滑封閉曲面 S

29、所圍成，則區(qū)域 的體積為V1xdydzydzdxzdxdy .3S4. 斯托克斯公式 ( 聯(lián)系曲面積分和三重積分 )若 函 數(shù) P( x, y, z), Q( x, y, z) 在 光 滑 曲 面S 及 其 光 滑 的 邊 界 曲 線C 上 具 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 則 有 斯 托 克 斯 公 式PdxQdyRdzLD三、曲線積分與路徑無關(guān)的條件RQPRQPydydzzdzdxxdxdy.zxy(1).曲線積分P(x, y) dxQ ( x, y) dy 與路徑無關(guān)；C (A,B)(2).P( x, y)dxQ( x, y)dy0 ；C10(3).存在函數(shù) u(x, y) ，使得 duP( x, y)dxQ (x, y)dy ；(4).QPxy第十二章：無窮級(jí)數(shù)一、級(jí)數(shù)斂散性的相關(guān)性質(zhì)