考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)總結(jié)1

1、中值定理及應(yīng)用一、基本概念定理1、極值點(diǎn)與極值設(shè)連續(xù)，其中。若存在，當(dāng)時(shí)，有，稱為的極大點(diǎn)；若存在，當(dāng)時(shí)，有，稱為的極小點(diǎn)，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。2、極限的保號(hào)性定理定理 設(shè)，則存在，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)極限大于零則鄰域大于零；極限小于零則鄰域小于零?！咀C明】設(shè)，取，因?yàn)?，由極限的定義，存在，當(dāng)時(shí)，于是。3、極限保號(hào)性的應(yīng)用【例題1】設(shè)，討論是否是極值點(diǎn)?！纠}2】（1）設(shè)，討論是否是的極值點(diǎn)；（2）設(shè)，討論是否是的極值點(diǎn)?！窘獯稹浚?）設(shè)，即，由極限的保號(hào)性，存在，當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。顯然不是的極值點(diǎn)。（2）設(shè)，即，由極限的保號(hào)性，存在，當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。顯然不是的極值點(diǎn)。【結(jié)論1

2、】設(shè)連續(xù)函數(shù)在處取極值，則或不存在?！窘Y(jié)論2】設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在處取極值，則。二、一階中值定理定理1（羅爾中值定理）設(shè)函數(shù)滿足：（1）；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3），則存在，使得。定理2（Lagrange中值定理）設(shè)滿足：（1）；（2）在內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得?！咀⒔狻浚?）中值定理的等價(jià)形式為：，其中；，其中。（2）對(duì)端點(diǎn)有依賴性。（3）端點(diǎn)可以是變量，如，其中是介于與之間的的函數(shù)。定理3（Cauchy中值定理）設(shè)滿足：（1）；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3），則存在，使得 。題型一：證明【例題1】設(shè)，證明：存在使得。【例題2】設(shè)曲線，在內(nèi)二階可導(dǎo)，連接端點(diǎn)與的直線與曲線交于內(nèi)部一點(diǎn)，證明：存在，使得?！纠}3】設(shè)

3、，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。題型二：結(jié)論中含一個(gè)中值，不含，且導(dǎo)出之間差距為一階【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得?！纠}2】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得?！纠}3】設(shè)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。題型三：含中值情形一：含中值的項(xiàng)復(fù)雜度不同【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得?！纠}2】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得。情形二：含中值的項(xiàng)復(fù)雜度相同【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。（1）證明：存在，使得。（2）證明：存在，使得?！纠}2】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。三、高階中值定理泰勒中值定理背景：求極限。定理4（泰勒中值定理）設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，則有，且，其中介于與之間，稱此種形式的余項(xiàng)為拉格郎日型余項(xiàng)，若，稱此種形式的余項(xiàng)為皮亞諾型余項(xiàng)。特別地，若，則稱，為馬克勞林公式，其中。【注解】常見函數(shù)的馬克勞林公式1、。2、。3、。4、。5、。6、。專題一：泰勒公式在極限中的應(yīng)用【例題】求極限。專題二：二階保號(hào)性問題設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，這類問題主要有兩個(gè)思路：思路一：設(shè)，則單調(diào)增加【例題1】設(shè)在上滿足且，證明：對(duì)任意的有?！纠}2】設(shè)在上滿足且，證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。思路二：重要不等式設(shè)，因?yàn)?，所以?，