基于MATLAB的巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上姓名： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 時(shí)間：2011年6月 設(shè)計(jì)題目基于MATLAB的巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)要求1. 通過(guò)實(shí)驗(yàn)加深對(duì)巴特沃斯低通濾波器基本原理的理解。 2學(xué)習(xí)編寫(xiě)巴特沃斯低通濾波器的MATLAB仿真程序3. 濾波器的性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減=30dB設(shè)計(jì)過(guò)程1. 設(shè)計(jì)原理1.1 巴特沃斯低通濾波器簡(jiǎn)介:巴特沃斯濾波器是的一種，特點(diǎn)是內(nèi)的曲線最大限度平坦，沒(méi)有起伏，而在則逐漸下降為零。這種濾波器最先由斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在發(fā)表在英國(guó)無(wú)

2、線電工程期刊的一篇論文中提出的，可以構(gòu)成低通、高通、帶通和帶阻四種組態(tài)，是目前最為流行的一類(lèi)數(shù)字濾波器 ,經(jīng)過(guò)離散化可以作為數(shù)字巴特沃思濾波器 ,較模擬濾波器具有精度高、穩(wěn)定、靈活、不要求阻抗匹配等眾多優(yōu)點(diǎn) ,因而在自動(dòng)控制、語(yǔ)音、圖像、通信、雷達(dá)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器。1.2巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理:巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)用下式表示： 其中 N為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，=1；=時(shí)，=1/,是3dB截止頻率。=時(shí)，逐漸增大，幅度下降非常迅速。、N同幅度特性關(guān)系如圖1.1所示。N決定了幅度下降速度，N越大，通帶就越平坦，過(guò)渡帶也隨之變窄，

3、阻帶幅度同過(guò)渡帶下降的速度越迅速，總體010.707N=2N=4N=8頻響特性同理想低通濾波器的實(shí)際誤差越小。圖1.1 、N同幅度特性關(guān)系用s代替，把幅度平方函數(shù)變成s的函數(shù)： s=，此公式說(shuō)明了幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)可以用下面的公式來(lái)表達(dá)： k=0,1,2，···，2N-1。2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為的圓上，間隔是/N rad。如圖1.2所示：01 圖1.2 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成。的表示式為 例如N=3,通過(guò)下式可以計(jì)算出6個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)N=3時(shí)，6個(gè)極點(diǎn)中位于

4、左半平面的三個(gè)分別為:，取s平面左半平面的極點(diǎn)組成： 將對(duì)3dB截止頻率c 歸一化后的表示為： 令，p稱為歸一化拉氏復(fù)變量。 ，稱為歸一化頻率。經(jīng)過(guò)歸一化后巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為： (1.1)式中，為歸一化極點(diǎn)，為位于左半平面的極點(diǎn)用下式表示： 將極點(diǎn)表示式代入(1.1)式，得到的的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示： 下面來(lái)確定N：由技術(shù)指標(biāo)， 和確定。在定義 (1.2) (1.3) (1.4) 中，將=和=分別代入(1.4)式中，得到和，再將和代入(1.2)和(1.3)式中，得到： 整理得： (1.5) (1.6)由(1.5)和(1.6)式得到： 令 (1.7) 則N由下式表示： (1.

5、8) 取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)中沒(méi)有給出，可以按照(1.7)式或(1.8)式求出， (1.9) (1.10) 由(1.9)式得到： 由(1.10)式得到： 2設(shè)計(jì)方案 方案一：用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器 沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激序列h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)。將模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)加以等間隔抽樣，使h(n)正好等于ha（t）的抽樣值，即滿足： h(n)= ha(nT) 其中T是抽樣周期。如果令Ha（s）是ha(t)的拉普拉斯變換，H（z）為h（n）的z變換，利用抽樣序列的z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系，得：

6、 可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個(gè)從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。但是此方法有一個(gè)明顯的缺點(diǎn)就是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)，所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。 方案二：雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。為了克服多值映射的缺點(diǎn)，采用把整個(gè)

7、s平面頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖1.3所示。圖1.3雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)T是采樣間隔。當(dāng)1由-/T經(jīng)過(guò)0變化到/T時(shí)，由-經(jīng)過(guò)0變化到+，也即映射了整個(gè)j軸。將式（1-5）寫(xiě)成將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面

8、和S1平面，令j=s，j1=s1，則得再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為： （2-1） （2-2）式（2-1）與式（2-2）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象，雖然在線性方面有些欠缺，但是可以通過(guò)頻率的預(yù)畸來(lái)加以校正且計(jì)算比沖激響應(yīng)不變法方便，實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較容易，所以，本設(shè)計(jì)選擇用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。 3設(shè)計(jì)步驟由于沖擊響應(yīng)不變法的不足 ,下面以雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思低通濾波器。通過(guò)仔細(xì)研究M

9、ATLAB軟件自帶的信號(hào)處理工具箱下%:MATLABD IR% toolbox signal signal buttord.m和%MATLABD IR% toolbox signalsignalbutter.m ,可以清楚看到:MATLAB默認(rèn)采用雙線性變換法設(shè)計(jì),其實(shí)完全可以采用更簡(jiǎn)潔的方法。8濾波器的性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減=30dB3.1MATLAB中所需函數(shù)ATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了濾波器的函數(shù) buttap、buttord、butter。由z,p,k = buttap(n)函數(shù)可設(shè)計(jì)出n階巴特沃斯

10、低通濾波器原型,其傳遞函數(shù)為 所以事實(shí)上z為空陣。上述零極點(diǎn)形式可以化為： 其中，令，得到巴特沃斯濾波器歸一化結(jié)果,如表1所示。表1 階的巴特沃斯濾波器系數(shù)n b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b01 1.00002 1.4142 1.0000 3 2.0000 2.0000 1.0000 4 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 5 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 6 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1.0000 7 4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.097

11、8 4.4940 1.0000 8 5.1258 13.1371 21.8462 25.8462 21.8462 13.1371 5.1258 1.0000buttord函數(shù)可在給定濾波器性能的情況下 ,選巴特沃斯濾波器的階數(shù) n 和截止頻率,從而可用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)。9n , = buttord (,s) 可得到足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數(shù) n及截止頻率 ,其中為通帶的拐角頻率, 為阻帶的拐角頻率, 和的單位均為rad/s; 為通帶區(qū)的最大波動(dòng)系數(shù),為阻帶區(qū)的最小衰減系數(shù), 和的單位都為dB。b,a = butter (n,s) 可設(shè)計(jì)截止頻率為的n 階低

12、通模擬巴特沃斯濾波器,其傳遞函數(shù)為: 103.2具體設(shè)計(jì)步驟經(jīng)過(guò)總結(jié)，巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟大致為：（1）通過(guò),和的值，用公式算出濾波器的階數(shù)。（2）根據(jù)公式，求出歸一化極點(diǎn)，將代入 中，得出歸一化傳輸函數(shù)。（3）將去歸一化。將p=s/c代入之中，從而得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)。3.3 MATLAB程序MATLAB 程序如下:（1）.輸入信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜的設(shè)計(jì)：close all；N=256;t=linspace(0,1,N);dt=t(2)-t(1);xt=cos(2*pi*4*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t);f=(0:(N/2-1)/(dt*N);

13、Xt=fft(xt,N);subplot(2,1,1),plot(t(1:128),xt(1:128)；subplot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(Xt(1:64),xlabel('f(kHz)')（2）輸出的巴特沃斯低通濾波器的波特圖的設(shè)計(jì)Qc=5.2775;b0=1;b1=3.2361;b2=5.2361;b3=b2;b4=b1;Q=f %Q=linspace(0,25,N);Ha=Qc5./(j*Q).5+b4*Qc*(j*Q).4+b3*Qc2*(j*Q).3+b2*Qc3*(j*Q).2+b1*Qc4*(j*Q)+b0*Qc5);L=length(

14、Ha)Has=20*log10(abs(Ha);figure,plot(Q(1:64),Has(1:64),Q,-30,'r*',12,Has,'*',5,Has,'*'),axis(0 30 -70 2),xlabel('f(kHz)'),ylabel('20lg(abs(H_a(jOmega)(dB)');（3）巴特沃斯低通濾波后的時(shí)域波形和頻譜的設(shè)計(jì)Yt=Xt(1:L).*Ha ;yt=ifft(Yt);figure,subplot(2,1,1),plot(t(1:128),abs(yt(1:128),sub

15、plot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(Yt(1:64);xlabel('f(kHz)')4運(yùn)行結(jié)果及分析4.1圖形結(jié)果顯示：圖4.1輸入信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜圖 4.2 輸出的巴特沃斯低通濾波器的波特圖 圖4.3 進(jìn)行巴特沃斯低通濾波后的時(shí)域波形和頻譜4.2結(jié)果分析（1）由圖4.1與圖4.3的比較可知：經(jīng)過(guò)巴特沃斯低通濾波器后，當(dāng)信號(hào)頻率大于10Hz時(shí)可以被濾除，起到良好的低通濾波效果，而且可以將輸入信號(hào)的波形經(jīng)過(guò)濾波后的波形比原波形的振幅有所減小，去除了很多由于噪聲或其他因素所產(chǎn)生的干擾，且通帶和阻帶都有平坦的幅度響應(yīng)。（2）從如圖4.2中看出設(shè)計(jì)出的巴特沃

16、斯低通濾波器的幅度特性與理想的巴特沃斯低通濾波器特性曲線一致，滿足預(yù)訂指標(biāo)。5實(shí)驗(yàn)總結(jié)與心得經(jīng)過(guò)本次課程設(shè)計(jì)，讓我熟悉了數(shù)字信號(hào)處理的基本知識(shí)和MATLAB的m語(yǔ)言，把課上的理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際中去，更近一步地鞏固了課堂上所學(xué)的理論知識(shí)，并能很好地理解與掌握數(shù)字信號(hào)處理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。因?yàn)閷W(xué)過(guò)數(shù)字信號(hào)處理這門(mén)課，但這只是理論知識(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)我們才能真正理解其意義。經(jīng)過(guò)這次的課程設(shè)計(jì)，讓我有機(jī)會(huì)將自己學(xué)到的理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際中，提高了自己的動(dòng)手能力和思維能力。在課程設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)自己的不足，所以在今后的學(xué)習(xí)和生活中我們要更加努力，學(xué)習(xí)好我們的專(zhuān)業(yè)知識(shí)并要能運(yùn)用到實(shí)際。參考書(shū)目1 蔣志凱. 數(shù)字濾波與卡爾曼濾波M.北京：技術(shù)出版社，19932 施陽(yáng)等MATLAB語(yǔ)言工具箱M.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,19993 樓順天、李博菡. 基于MATLAB的系統(tǒng)與