(完整word版)2004-華中師范大學數學分析考研真題

1、2004 年數學分析1.求下列極限 (共 50 分,第 1,2 小題各 10 分,第 3,4 小題各 15 分)1111(1) lim(cos x)sin 2 x(2) lim n 1 +x0n23n7nk(3) lim x 4 ( 4 x 14x1 2 4 x )(4) limsin(sin)xn2 nk 1n設f ( x), g ( x)在 a, b上連續(xù) 在(a,b)內可導 若 x , x是f (x)在區(qū)間a, b上的兩個零點，證明：存在2.(15),12 a, b ，使得 f ()f ( ) g ()02f( )3.(15)設 f ( x) 在 a,b(ba0) 上連續(xù),在 (a, b

2、) 內可導 ,證明 :在 ( a, b) 內存在 ,使 f ().a b設在上黎曼可積 證明f (x)上也是黎曼可積的 .4.(15)f ( x) a,b,: e a, b5.(15) fn (x)(n1,2,3,）在 a,b 上連 續(xù) , 函數 g( x) 在 a,b 上也連續(xù) , 且對 a,b 中任 意的 x1, x2 和正整 數 n , 有bM| fn(x1) fn(x2)|x1 nx2 |(),證明 : lim g(x).fn (x)dx 0.M 0na6.(15)設 fn(x)( n1,2,)在 a, b 上連續(xù) ,且 fn(x) 在 a,b 上一致收斂與f ( x) .證明 :(1

3、)存在 M0 ,使對任何自然數n ,有 | fn(x)| M,及| f (x)| M .(2) 若 F ( x) 為（，）上連續(xù)函數 ,則F( fn (x)一致收斂于 F ( f ( x) .7.(10)設函數 f (x) 在閉區(qū)間 1,1 上具有三階連續(xù)導數,且 f ( 1)0, f (1)1, f (0)0 ,證明 :在 ( 1,1) 內至少存在一點,使得 f (3) ()3 .8.(15)函數F(x, y)在點( x0 , y0 )的某個鄰域內有連續(xù)的二階偏導數, 且F(x0, y0)0,Fx (x0, y0)0,Fy (x0, y0 )0,Fxx (x0, y0)0,證明 :由方程 F

4、(x, y) 確定的隱函數 yf (x)在 x0 點取得極小值 .2005 年數學分析1.求下列極限或指定函數的值:(1) lim 1! 2! 3!n ! (10 分 )(2) lim1 3 5(2 n 1)(10n2nnn !n2 4 6分)1(3)lim ( x3x2x).exx61 (10分 )(4) 設 f ( x) 在 x0的鄰域二階可導,且x2lim(1xf (x) x1e3,求 f (0), f(0), f(0) 的值 .(15 分 )x 0x設函數在上可導 且在上證明存在( a, b)使 f( a)f ( )f ( )2.(15)f (x), g (x) a,b,(a,b)g

5、( x)0 ,:g( )g(b)g ( )43.(15)設函數 f (x) 在 2,4上有連續(xù)的一階導函數 ,且 f (2)f (4)0 ,證明： max|f ( x) | |f ( x) dx | .2 x 424.(13)設有方程 xmq.sin x(0q 1).若 x0m,x1m q.sinx0, xn 1m qsinxn,證明 : xn 收斂 ; 設lim xnl ,再證明 l 是方程 xmq.sin x 的唯一解 .n證明 函數項級數1xxn) 在任何有窮區(qū)間上一致收斂 .( e(1) a, b5.(13):1 nnn6.(13)設 f ( x) 在 a,b 上二階可導 ,且 f (

6、 x)0 ,證明 : f ( a b )12b abf ( x)dx .a7.(13)設 a1 , a2 , an ,均為常數 證明函數項級數an . 1 x tn.e t dt在 a, b上一致收斂 .,:n 1n! 08.(13)設 f ( x)在 a,b上黎曼可積，f (x)c0,lnf (x)在a,b上黎曼可積 .用可積準則證明：函數9.(10) 設 f ( x)在 a, b上具有連續(xù)的二階導數,證 明 :在 (a, b) 內 存 在, 使 得bab1f ( x dx)b ( aa3(f) . ()f )()ba22 42006 年數學分析sin 2 ( x1) sin1xx11.(3

7、0) (1) limx1 .(2)設 y xa,求 y .(3)ln ln xx 1dx .x1e1ln x(4)設 f ( x, y)x y( y1)2 arcsin x ,求 f x ( x,1) .y(5)( xy)ex2y2dxdy ,其中 D ( x, y) x2y21 .(6)求 Ix sin ydycos ydx ,其中 L 是從點DLO(0,0) 到點 A(,0) 的正弦曲線有 ysin x .2.(20) 設 f (x) 在 ( a,) 上可導 , 且 f ( x )在 (a,)上有界,證明:(1)f (x) 在 ( a,)上一致連續(xù).(2) f (a ) limf ( x)

8、 存在，但 lim f ( x)不一定存在 .xax(3)若 lim f ( x) 存在，且 lim f (x)limf (x) ，則 f (x) 在 ( a,) 上至少有一個零點。xxx a3.(20)設 f ( x) 在 0,1上連續(xù) , f (0) f (1),(1)證明 : 存在 x0 0, 1 ,使得 f ( x0 )f (x01) .0, n 1212(2)試推測 |:對任意正整數 n ,是否存在 x0 ,使得 f ( x0 )f (x0) ,并證明你的結論 .nnx4.(10) 設 f ( x) 在 0,) 上連 續(xù) , 且 f ( x)0 ,記 ( x )0xtf( t ) d

9、t,(1) 求 lim ( x ) .(2) 證x 0f ( t ) dt0明: ( x) 在 (0,) 上是嚴格單調遞增 .5.(10)證明 : 若an 絕對收斂 ,則an (a1a3a2 n 1 ) 也絕對收斂 .n 1n 16.(15)設 f (x) 在 0, 上連續(xù) ,證明 :(1) sinn x 在0， 上不一致收斂 .(2)（sinn x）f (x)在0， 上一致收222斂的充要條件是 f ( )0 .230, f (ta,ty,tz)nf (x, y, z) ,且具有一階連續(xù)偏導數 , fz (x, y, z)0 ,7.(10)設 f(x,y,z)為 R 上的 n 次齊次函數 :

10、對 tt若方程 f (x, y, z)0 確定了可微的隱函數 zg(x, y) ,證明 : zg( x, y) 必為一次齊次函數 .8,(20)設 f ( x, y)在 R2 上具有二階連續(xù)的偏導數 ,證明 :2內任意光滑簡單閉曲線L，總有f(2 f2 f，其中 n為 L 的外法方向，f是(1)對 Rds2y2 )dxdynLnDxf (x,y) 沿 n的方向導數， D 是 L 圍成的有界閉區(qū)域 ;(2) f (x, y)為 R2 是的調和函數（即2 f2 f0 ）的充要條件是對 R2 內的任意光滑簡單閉曲線L，總x2y2有f ds0 .Ln設 n是正整數,給定方程nx 1,證明:(1)此方程

11、僅有惟一的正根xn (0,1).(2)lim x n1.9.(15)xn2007 年數學分析1.(30) 計算題 :(1) limln 3 (1x ) sinsin(ln1)x2x.x 0e1(2) 設 yx ln xx x ,求 y .(3)e x 4dx0x 2 e x 4dx .0(4)設 f ( x, y) 可微 ,且 f (1,1)1, f x (1,1)a, f y (1,1)b ,令 F(x)f f (x, x), f ( x, x) ,求 F(1).(5)(x3y3 )e( x2y2 ) 2dxdy ,其中 D( x, y) x2y21 .D(6) 求Iex sin ydyex

12、cos ydx ,其中 L 是從點 O (0,0) 到點 A( 2,0) 的下半圓周 x2y22x .L2.(25) 設 f (x)在 (0,)上可導,且x f( x)在 (0,)上有界,證明: (1)f (x) 在 (0,)上一致連續(xù).(2)f (0)limf ( x) 存 在 .(3) 若將 條件 “x f(x) 在 (0, ) 上 有界 ” 改為 “ lim x f ( x) 和x 0x0lim xf( x) 都存在” ,試問 : 還能否推出 f (x) 在 (0, ) 上一致連續(xù) .如果能請證明你的結論，如果x不能請舉反例 .設f ( x)在 (0,)內4階可導, (1)證明若limf

13、 ( x)和 limf (x) 都存在 ,則 limf( )0.3.(25):xxxx(2)若 limf ( x) 和 limf（4）( x) 都存在 ,是否能推出對任意的正整數 1 k4 , limf（k）( x) 都存在且為 0 ,xxx請證明你的結論 .4.(10)設 f ( x) 在 0,) 上連續(xù) ,且 limf (x)A( A可以為或1xf (t)dtA .),試證 : lim0xxx5.(15)設 an0, snnak ,證明 :an 收斂an收斂 .k 1n1n 1 sn6.(15)若 an 單調遞減 ,且 lim an0,證明 :n(1)ancos nx在 ,2 上一致收斂

14、,其中 0.(2)ancosnx在,2 上一致收斂n 1n 1的充要條件是an 收斂 .n 17.(15)設 u u( x, y) 是由方程組uzxyf ( z) g( z) 所確定的二階連續(xù)可微隱函數,其中 f , g 有二階連續(xù)xyf( z)g ( z) 0的導數 ,證明 :2 u2u(2 u )20.x2y 2x y8.(15)設 f ( x, y, z) 上 R3 具有二階連續(xù)的偏導數 ,證明 :(1)對 R3 內任意光滑簡單閉曲面S ,總有fdS2f2 f2 f)dxdydz,其中 n為 S 的外法方向 ,f 是S n(2y2z2Vxnf (x, y,z) 沿 n的方向導數 ,V 是

15、 S 圍成的有界閉區(qū)域;(2) f ( x, y, z) 為 R3 是的調和函數（即2 f2 f2 f0 ）的充要條件是對 R3 內的任意光滑簡單x2y 2z2閉曲線 S ，總有f0 .dSSn2008 年數學分析1.(36)計算題 : (1)1 n n ( n(2)1sin x2y22dxdydzlim1)( 2 n1)lim4znnt 0 tx2y 2 z2 t 2(3)求曲線積分xdyydx,其中 L 為平面內任意一條不經過原點的正向光滑封閉簡單曲L x29 y2線.設函數在上具有連續(xù)的導函數且存在有限 , 01, 是一個常數 ,證明:()2.(15)f (x) 0,),lim f (x

16、)xfx在0,) 上一致連續(xù) .3.(15) 設 f ( x) 和 g(x) 在 a, b 上 連 續(xù) 且 在 (a, b) 內 可 導 , 試 證 : 在 (a,b) 內 存 在 點, 使 得 f (b)f (a) g ( ) g (b) g(a) f ( ) .證明函數項級數 f ( x)ne nx 在 (0, ) 上收斂 ,但不一致收斂 ,而和函數 f ( x) 在 (0, ) 上可以4.(20):n 1任意次求導 .5.(20)證明 :方程 x2ysin( xy) 在原點的某個鄰域內可以唯一確定隱函數y f (x) ,并 y (0) 計算的值 .6.(14)證明 :若函數 f ( x)

17、在 a, b 上無界 ,則必存在 a, b 上的某點 ,使得 f( x) 在該點的任何鄰域內無界 .7.(12) 設函 數 u 在 0,22) 上連續(xù) 可微且 ( u(x)u (x) )dx x n n 1 使得當 n時,xn且 u(xn )0,試證:(1)存在 0,) 中的子列221(2)存在某常數 C0 ,使得 sup u( x) C (0( u( x)u (x) )dx) 2x 0, 8.(18)設R3 為有界閉區(qū)域 ,且具有光滑邊界,0T.(1) 設 u, v 是上具有連續(xù)二階偏導數的函數試證:v udxdydzu vdxdydzvudS2u2 u2 u,u 為 u 的梯度 ,u為,其

18、中uy 2z2nnx2u 沿區(qū)域的邊界的外法向n 的方向導數 ;(2) 設 u(x, y, z, t) 在0,T ) 上具有連續(xù)一階偏導數,試證: du( x, y, z,t)dxdydzu (x, y, z,t )dxdydz,t 0,T ) ; (3)設 u( x, y, z, t ) 在 0, T ) 上具有連續(xù)二dtt階偏導數且滿足uuu 3 若 u 在t 0,T ) 上恒為零記u( u ) 2( u ) 2( u ) 2 , 試證 E(t )( 1u21 u4)dxdydz 在 0,T ) 上2xyz24是減函數 .2009 年數學分析sin( x ) cossin( 1)sin y

19、1.(30) 計 算 題 : (1)limln x(2)計算二重積分(1x)1dxdy , 其 中 D 是 由x 0Dyyx, y1, x 0 圍成的區(qū)域 .(3)求曲線積分( x1)dy(y2)dx其中 C 為平面內任意一條不經過點(1,2)得正向光滑封閉簡單曲線C 4(x1)2(y2)2設函數f (x)定義在開區(qū)間(a, b)內,若對任意的c ( a,b) ,都有l(wèi)imf (x)存在 ,且 lim f ( x) 和 lim f (x)2.(12)x ax bx c也存在，則 f (x) 在開區(qū)間 ( a, b) 內有界 .證明含參量反常積分xexydy在 ,) 上一致收斂 (0) ,但在

20、(0,) 內不一致收斂 .3.(12):04.(20)設函數 f (x) 在 0,1 上連續(xù) ,在 (0,1) 內可微 ,且存在 M0 , 使得 x(0,1), xf ( x) f (x)x 2 M ,證明 :(1) f ( x) 在 0,1 內一致連續(xù) . (2) lim f ( x) 存在 .xx05.(20)證明下面結論 :(1)若 f ( x) 在 0,1 上連續(xù) ,則 lim1x n f ( x)dx 0 . (2)若 f ( x) 在 0,1 上連續(xù)可微 ,則x0lim n1f (1) .x n f ( x)dxn0x2y22 22022 sin xy ,xy6.(18)設 f (

21、x,y) xy,討論 f ( x, y) 在原點 (0,0) 處的連續(xù)性 ,偏導的存在性以及可微性 .0 ,x2y207.(20)設函數列 f n ( x) 中的每一項函數 f n ( x) 都是 a,b 上的單調函數 ,試證明 :(1)若fn (a) 和f n (b) 都n 1n 1絕對收斂 ,則f n (x) 在 a, b 上一致收斂 .n 1(2)若每一項函數 f n ( x) 的單調性相同 ,且f n ( a) 和f n (b) 都收斂，則在上一致收斂 .n 1n18.(18) 設 f連續(xù),證明:(1)證明:1f (x)(1x2 )dx , 其 中 V : x2y2z21.(2)記函數

22、f (z)dxdydzV1F(a, b, c)f (ax bycz)dxdydz其中 V : x 2y 2z21,證明:,V球面 a2b2c21F(a,b,c)的等值面 ,即F(a,b,c)222為函數在球面abc 1上恒為常數 ,并求出此常數 .2010 年數學分析1.(30)計算題 : (1)設函數 f ( x) 定義在 (,) 上,滿足 : f (2x)f ( x) cosx,lim f ( x)f (0)1,求 f ( x) .(2)x0設an4n求1an2 )的值 .0tanxdx ,( ann 1 n(3)求曲線積分( yz)dx (zx)dy(xy)dz,其中 L 為平面 xyz 0 與球面 x2y2z21相交的L交線 ,方向從 z 軸正向看是逆時針的 .2.(12)設 f ( x)x,0 ,證明:當 01時,f (x) 在 ( 0,) 上一致連續(xù) ; 當1時 ,f (x) 在 (0, )上不一致連續(xù) .證明 含參量 x 反常積分