復(fù)變函數(shù)總結(jié)完整版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 復(fù)數(shù)1 =-1 歐拉公式 z=x+iy 實(shí)部Re z 虛部 Im z2運(yùn)算 共軛復(fù)數(shù) 共軛技巧運(yùn)算律 P1頁(yè)3代數(shù)，幾何表示 z與平面點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，與向量一一對(duì)應(yīng)輻角 當(dāng)z0時(shí)，向量z和x軸正向之間的夾角，記作=Arg z= k=123把位于-的叫做Arg z輻角主值 記作=4如何尋找arg z例：z=1-i z=i z=1+i z=-1 5 極坐標(biāo)： ， 利用歐拉公式 可得到 6 高次冪及n次方凡是滿足方程的值稱為z的n次方根，記作 即 第二章解析函數(shù)1極限2函數(shù)極限 復(fù)變函數(shù)對(duì)于任一都有 與其對(duì)應(yīng)注：與實(shí)際情況相比，定義域，值域變化例 稱當(dāng)時(shí)以A為極限 當(dāng)時(shí)

2、，連續(xù)例1 證明在每一點(diǎn)都連續(xù)證： 所以在每一點(diǎn)都連續(xù)3導(dǎo)數(shù) 例2 時(shí)有 證：對(duì)有 所以例3證明不可導(dǎo)解：令 當(dāng)時(shí)，不存在，所以不可導(dǎo)。定理：在處可導(dǎo)u，v在處可微，且滿足C-R條件 且例4證明不可導(dǎo)解： 其中 u,v 關(guān)于x,y可微 不滿足C-R條件 所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)例5 解： 不滿足C-R條件 所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)例6： 解： 其中 根據(jù)C-R條件可得所以該函數(shù)在處可導(dǎo)4解析若在的一個(gè)鄰域內(nèi)都可導(dǎo)，此時(shí)稱在處解析。用C-R條件必須明確u,v四則運(yùn)算 例：證明 解： 則 任一點(diǎn)處滿足C-R條件所以處處解析 練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解: 所以 根據(jù)C-R方程可得 所以當(dāng)時(shí)存在導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)為0

3、，其它點(diǎn)不存在導(dǎo)數(shù)。初等函數(shù)常數(shù)指數(shù)函數(shù) 定義域 對(duì)數(shù)函數(shù) 稱滿足的叫做的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作分類：類比的求法（經(jīng)驗(yàn)）目標(biāo)：尋找 幅角主值可用： 過(guò)程： 所以 例：求 的值 冪函數(shù) 對(duì)于任意復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)例1：求的值解： 例2：求三角函數(shù) 定義：對(duì)于任意復(fù)數(shù)，由關(guān)系式可得的余弦函數(shù)和正弦函數(shù) 例：求 解：第三章復(fù)變函數(shù)的積分1復(fù)積分定理3.1 設(shè)C是復(fù)平面上的逐段光滑曲線在C上連續(xù)，則在C上可積，且有注：C是線 方式跟一元一樣方法一：思路：復(fù)數(shù)實(shí)化把函數(shù)與微分相乘，可得方法二：參數(shù)方程法 核心：把C參數(shù)C： 例： 求 C：0的直線段；解：C： 結(jié)果不一樣2柯西積分定理例： C：以a為圓心，為半徑的圓，方

4、向：逆時(shí)針解：C： 積分與路徑無(wú)關(guān)：?jiǎn)温?lián)通 處處解析例：求，其中C是連接O到點(diǎn)的擺線：解：已知，直線段L與C構(gòu)成一條閉曲線。因在全平面上解析，則即把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于故 關(guān)鍵：恰當(dāng)參數(shù) 合適準(zhǔn)確帶入z3不定積分定義3.2 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，若D內(nèi)的一個(gè)函數(shù)滿足條件 定理3.7 若可用上式，則 例： 計(jì)算解：練習(xí)：計(jì)算解：4柯西積分公式定理 處處解析在簡(jiǎn)單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)則例1：解：例2：解：例3：解： 注：C： 一次分式找到 在D內(nèi)處處解析例4：解：5 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式： n=1，2應(yīng)用要點(diǎn)： 精準(zhǔn)分離 例：6 調(diào)和函數(shù)若滿足則稱叫做D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)

5、若在D內(nèi)解析所以把稱為共軛調(diào)和函數(shù)第四章 級(jí)數(shù)理論1復(fù)數(shù)到 距離談極限 對(duì)若有使得 此時(shí) 為的極限點(diǎn) 記作 或 推廣：對(duì)一個(gè)度量空間都可談極限2 極限的性質(zhì) 3 4 級(jí)數(shù)問(wèn)題 部分和數(shù)列若 則收斂，反之則發(fā)散。性質(zhì)：1若 都收斂，則收斂2若一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，可推出發(fā)散 3 若 絕對(duì)收斂 若 但收斂 ，為條件收斂等比級(jí)數(shù) ： 時(shí)收斂，其他發(fā)散冪級(jí)數(shù) 則 求收斂域 例：求的收斂半徑及收斂圓解：因?yàn)?所以級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，收斂圓為泰勒級(jí)數(shù)泰勒定理：設(shè)函數(shù)在圓K：內(nèi)解析，則在K內(nèi)可以展成冪級(jí)數(shù) 其中， ，（n=0,1,2），且展式還是唯一的。例 1：求在處的泰勒展式解 ：在全平面上解析， ，所

6、以在處的泰勒展式為 例2： 將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)解：羅朗級(jí)數(shù)羅朗定理 若函數(shù)在圓環(huán)D：內(nèi)解析，則當(dāng)時(shí)，有其中 例：將函數(shù)在圓環(huán)（1） （2）內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。解：（1）在內(nèi)，由于，所以（2）在內(nèi)，由于，所以孤立奇點(diǎn)定義：若函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)解析，在點(diǎn)不解析，則稱為的孤立奇點(diǎn)。例 ： 為可去奇點(diǎn) 為一級(jí)極點(diǎn) 為本性奇點(diǎn)第5章 留數(shù)理論（殘數(shù)）定義： 設(shè)函數(shù)以有限項(xiàng)點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，即在的去心鄰域內(nèi)解析，則稱積分的值為函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)記作：其中，C的方向是逆時(shí)針。例1：求函數(shù)在處的留數(shù)。解：因?yàn)橐詾橐患?jí)零點(diǎn)，而，因此以為一級(jí)極點(diǎn)。例2：求函數(shù)在處的留數(shù)解：是的本性奇點(diǎn)，因?yàn)樗钥傻玫?章 傅里葉變換 通過(guò)一種途徑使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以便于研究。定義：對(duì)滿足某些條件的函數(shù) 在上有定義，則稱為傅里葉變換。同時(shí) 為傅里葉逆變換注：傅里葉變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)傅里葉逆變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關(guān)鍵是計(jì)算積分兩種常見(jiàn)的積分方法：湊微分、分部積分復(fù)習(xí)積分： 注