定積分內(nèi)容精要基本概念定積分的概念是由求曲邊

1、第五章定積分一、內(nèi)容精要一 根本概念定積分的概念是由求曲邊梯形面積，變力作功，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度求路程，密度不均質(zhì)線段的質(zhì)量所產(chǎn)生。定義3.3 設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間上有定義，在閉區(qū)間a,b內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)將就= 1,2嚴(yán)屛，財(cái)和"稱(chēng)i-l為積分元，把這些乘積相加得到和式稱(chēng)為積分和式設(shè)= maxA召：1勺n，作乘積n個(gè)小區(qū)間"j ，記，極限存在唯一且該極限值與區(qū)是a,b的分法及分點(diǎn)纟的取法無(wú)關(guān)，那么稱(chēng)這個(gè)唯一的極限值為函數(shù)fx在，即上的定積分，記作否那么稱(chēng)fx在 'I 上不可積.注1由牛頓萊布尼茲公式知，計(jì)算定積分與原函數(shù)有關(guān)，故這里借助了不定積分的符號(hào)。注2假設(shè)

2、存在，區(qū)間b進(jìn)行特殊分割，分點(diǎn)V進(jìn)行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經(jīng)常岀現(xiàn)，請(qǐng)讀者要真正理解。注3定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即_!： r y ； f門(mén)定積分的幾何意義：假設(shè)fx在上可積,與直線y =所圍成的曲邊梯形的面積且I：那么I '表示曲線 廠血同樣，變力所作的功其中fx是變力變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S二諷出誡是瞬時(shí)速度，密度不均質(zhì)直線段b上的質(zhì)量財(cái)二J； “xdx其中 災(zāi)是線密度規(guī)定廣義積分定義3.4 設(shè)函數(shù) /W 在區(qū)間b，Ho上連續(xù)，稱(chēng)記號(hào)JT兒呃Bsd亦(1)為函數(shù)/W在無(wú)窮

3、區(qū)間_上的廣義積分或第一類(lèi)廣義積分假設(shè)1 式右端極限存在，稱(chēng)廣義積分伽收斂，該極限值稱(chēng)為廣義積分的值，否那么稱(chēng)廣義積分連續(xù)必有原函數(shù)，設(shè)的原函數(shù)為嗆。/(X協(xié)二 lim &腳二 limJ 盤(pán)Ft +w Jifl.t +®=lim 肥)-F紂二 lim 科x)-F(d)i己成F&)|巴f+®從而廣義積分可以按照正常定積分計(jì)算方式來(lái)計(jì)算，即發(fā)散。于是卄lim陀存在=a，4發(fā)散。7嘰斂，且"加U同理可得J:幾論二陀-帆卄曲陀假設(shè)2-8存在，那么廣義積分應(yīng)收斂，否那么發(fā)散。/妙心恥尸二曲喇-恥在，那么假設(shè)fci F(x)不存+ ©lim附Y(jié)-4+

4、w-lim 恥) I-4-o假設(shè)帆網(wǎng)lim F(x)f ) QO都存在，那么收斂，否那么發(fā)散。T麗定義3.5 設(shè)7 - f在區(qū)間上連續(xù),不存在稱(chēng)a點(diǎn)為瑕點(diǎn)，VoOs<b-a，稱(chēng)記號(hào)和啞帆J丿碎與上面研究方式相同，可得畑二恥曙陀-嘰嗆存在，那么廣義積分同理假設(shè)一匕；在：e 上連續(xù)，二汀，不存在稱(chēng)b點(diǎn)為瑕點(diǎn)，有假設(shè)1：-收斂，否那么發(fā)散。打妙“F魂二蚪陽(yáng)_盹假設(shè)了匕在b，dusb上連續(xù)，打仗禺二打如)(忸不存在稱(chēng)c點(diǎn)為瑕點(diǎn)，定義當(dāng)且僅當(dāng)都收斂時(shí),丿帕收斂，且，的值之和。事實(shí)上，定義lim /(x) = Z常數(shù)，那么可看成正常積分,上連續(xù)，即Fdxd.存在，而1址二熱加熱£?仙 如L

5、畑在伸胡，由于陀在打一上連續(xù)，知變下限函數(shù)上連續(xù)，有略雛卜GO=l枷，即M論“恥故 協(xié)可看成正常積分。假設(shè)廣義積分收斂，也有線性運(yùn)算法那么，不等式性質(zhì)，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話(huà)說(shuō)可以像正常的定積分一樣運(yùn)算。第一 p廣義積分山7a0，常數(shù)時(shí)發(fā)散第二p廣義積分11a-r atF_令由第一 p廣義積分知，當(dāng)2-p，即陽(yáng)1時(shí)收斂，當(dāng)2-p，即戸21時(shí)發(fā)散。(二)重要定理與公式定理3.2假設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間/上 可積，那么f(x)在''I 上有界，反之不成立。%)二點(diǎn)：鬻囂訥上有叭棘:,無(wú)理數(shù)=0,知1-1不存在。定理3.3假設(shè)f(x)在閉區(qū)間定理3.4假設(shè)f(x)

6、在閉區(qū)間定理3.5假設(shè)f(x)在閉區(qū)間定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2(線性運(yùn)算法那么)設(shè)立.“上連續(xù)，那么f(x)在上可積，反之不成立.上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且有界，那么f(x)在p,劃上可積,Hl.上單調(diào)，那么f(x)在be上可積，反之不成立./W.gW 在M上可積，對(duì)任何常數(shù)反之不成事實(shí)上，因?yàn)椴还馨?,1分割得多么細(xì)，在每個(gè)小區(qū)間IS 中，總能找到有理數(shù)ft，知巴送D®；)&嚴(yán)= I巴&D(如脫二爲(wèi)0j-li-li-1f(x)+熄皿二妙/必+ 0J：咖X .該性質(zhì)用于定積分的計(jì)算與定積分的證明,b,c順序性質(zhì)3(區(qū)間的可加性)，假設(shè)f(x)在以a,b,c為端點(diǎn)構(gòu)成的最大區(qū)

7、間上可積，那么不管如何，有J； f(x)dx =了何必該性質(zhì)用于計(jì)算分段函數(shù)的定積分與定積分的證明性質(zhì)4假設(shè)f(x)在k聖上可積且%)辿那么防必沙性質(zhì)5假設(shè) f(x),g(x) 在一，'上可積且性質(zhì)6假設(shè) f(x)在"'上連續(xù)，一L且 f(x) 0 那么!： ' '：-；，'性質(zhì)7假設(shè) f(x),g(x) 在|上連續(xù)且二二J :-但：； ：1性質(zhì)8 假設(shè)f(x)在“上可積, 那么性質(zhì)9 假設(shè)f(x)在上可積，在區(qū)間一 上, mef(x) < M m, M是常數(shù)，那么m(b - a)瑩 J：/(Rdx W M(b- a).性質(zhì)4、5、6、7

8、、8、9主要用于定積分不等式的證明及不通過(guò)定積分的計(jì)算，估計(jì)定積分值的范圍性質(zhì)io(積分中值定理)假設(shè)f(x)在閉區(qū)間你，"上連續(xù)，那么至少存在一點(diǎn)，使2 /必=了©© - a).稱(chēng)為f(x)在區(qū)間上,引上的平均值，即閉區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)f(x)的平均是不同的。值是-二注：這里的性質(zhì)131變上限積分求導(dǎo)定理 設(shè)f(x)連續(xù),可導(dǎo)，那么£關(guān)幾)血二(認(rèn)訕' (或-/(V(枷'("1定積分計(jì)算的方法(1)牛頓一萊布尼茲公式上連續(xù),那么陽(yáng))卜盹)-盹)(2)湊微分仏(帕二陽(yáng)(銖)0(訕二(能)勿心)pm 1=-(3)變量替換Ex壺火

9、)嶼)=比畑?咖嚴(yán)期曲冷；二F-尺(的4分部積分設(shè)一C在丄二上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，那么Ju麗厲御口仙訥 具體的用法是防必"紜必二加訥X二譏x(x) *-V(X)dfa(X)= £f(X)vW :-JhUJuU)必就可以計(jì)算岀如果能夠計(jì)算岀定積分的湊微分、變量替換、分部積分與不定積分中三種方法適合的被積函數(shù)相同，即不定積分用 三種的哪一種方法，定積分也用三種方法的哪一種。(5)設(shè) f(x)在一上連續(xù)，那么事實(shí)上,Q假設(shè)/Q為奇函數(shù)2弟如.董/為偶函數(shù)上Jx必二化他血+許加血ft/W7出=/7必=- J防X必，董/力為奇數(shù)， Jo /xrfx董/0為偶函數(shù)故得證推論金+心2為偶函數(shù)，2為

10、奇函數(shù)，于是且證由于八一 /W+A-x)( /W-/(-x)?=2I 2:dx0.上/如二打型嚴(yán)+牛D t£ii 必二此/x+/-x必6設(shè)fx為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為T(mén)，那么嚴(yán)伽品枷.事實(shí)上臚佩必=陽(yáng)訥+K /訥+等幾訥丁 H二s丄-于是嚴(yán)血必=防"血由于(7)設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，那么Jj x/(sin x)dx = fj /(sin x)dx2事實(shí)上fj 伙 sin x)dtr Il_ t)=x)必二開(kāi)J： /(gin x)dx-fg 伙sin x)dx.移項(xiàng)兩邊同除以2得Jj 伙$血 X)必二 ylj /(sin x)必Q所分布的區(qū)間爲(wèi)切且區(qū)間一 ：上的總量Q具有等于各小區(qū)間上局部量之和的特點(diǎn)(1)取近似求微元.選取區(qū)間。寫(xiě)出局部量的近似值即要求是AQ的線性主部即計(jì)算的過(guò)程中，可以