專題：軸對稱

1、第七章 圖形與變換 圖形的軸對稱1. 如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合， 這個圖形就叫做這個圖形就叫做 ，這條直線就是它的，這條直線就是它的 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合， 那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做 ， 折疊后重合的點是對應(yīng)點折疊后重合的點是對應(yīng)點2. 圖形軸對稱的性質(zhì)：圖形軸對稱的性質(zhì)： 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所如果兩個圖形關(guān)

2、于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所 連線段的連線段的 軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的的 要點梳理要點梳理軸對稱圖形軸對稱圖形對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸垂直平分線垂直平分線垂直平分線垂直平分線3. 由一個平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線由一個平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l對稱的圖形，這個圖對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣；新圖形上的每一點，都是形與原圖形的形狀、大小完全一樣；新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關(guān)于直線原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點；連接任意一對對應(yīng)點的的對稱點；連接任意一對對應(yīng)點的線段被對

3、稱軸線段被對稱軸 這樣，由一個平面圖形得到它的軸這樣，由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做對稱圖形叫做 一個軸對稱圖形可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換一個軸對稱圖形可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換而成而成4. 幾何圖形都可以看作由點組成，只要分別作出這些點關(guān)于對稱幾何圖形都可以看作由點組成，只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些對應(yīng)點，就可以得到原圖形的軸對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些對應(yīng)點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點形中的一些特殊點(如線段的端點如線

4、段的端點)，連接這些對稱點，就可以得，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形到原圖形的軸對稱圖形垂直平分垂直平分軸對稱變換軸對稱變換1 1理解軸對稱、軸對稱圖形與軸對稱變換的關(guān)系理解軸對稱、軸對稱圖形與軸對稱變換的關(guān)系 (1)軸對稱涉及兩個圖形，是描述兩個圖形的位置、形狀、軸對稱涉及兩個圖形，是描述兩個圖形的位置、形狀、大小的關(guān)系；大小的關(guān)系； (2)軸對稱變換是由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形；軸對稱變換是由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形； (3)成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由一個圖形成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到的；一個軸對稱圖形也可以

5、看做是以經(jīng)過軸對稱變換后得到的；一個軸對稱圖形也可以看做是以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換擴展成的它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換擴展成的 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2 2軸對稱圖形和圖形的軸對稱之間的區(qū)別和聯(lián)系軸對稱圖形和圖形的軸對稱之間的區(qū)別和聯(lián)系 兩者的區(qū)別是：軸對稱圖形是一個具有特殊性質(zhì)的圖形，而兩者的區(qū)別是：軸對稱圖形是一個具有特殊性質(zhì)的圖形，而軸對稱是說兩個圖形之間的位置關(guān)系軸對稱是說兩個圖形之間的位置關(guān)系 兩者的聯(lián)系是：若把軸對稱的兩個圖形視為一個整體，則它兩者的聯(lián)系是：若把軸對稱的兩個圖形視為一個整體，則它就是一個軸對稱圖形；若把軸對稱圖形在對稱軸兩旁的部分視就是一個軸

6、對稱圖形；若把軸對稱圖形在對稱軸兩旁的部分視為兩個圖形，則這兩個圖形就形成軸對稱的位置關(guān)系因此，為兩個圖形，則這兩個圖形就形成軸對稱的位置關(guān)系因此，它是部分與整體、形狀與位置的關(guān)系，是可以辯證地互相轉(zhuǎn)化它是部分與整體、形狀與位置的關(guān)系，是可以辯證地互相轉(zhuǎn)化的的1(2011無錫無錫)一名同學想用正方形和圓設(shè)計一個圖案，要求整個一名同學想用正方形和圓設(shè)計一個圖案，要求整個關(guān)于正方形的某條對角線對稱，那么下列圖案中不符合要求的關(guān)于正方形的某條對角線對稱，那么下列圖案中不符合要求的是是() 解析：利用軸對稱的定義，直接得出結(jié)果主要考查對軸對稱圖解析：利用軸對稱的定義，直接得出結(jié)果主要考查對軸對稱圖形的

7、理解形的理解基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測D2(2011黃石黃石)有如下圖象：函數(shù)有如下圖象：函數(shù)yx1的圖象；函數(shù)的圖象；函數(shù)y 的圖象；一段??；平行四邊形其中一定是軸的圖象；一段?。黄叫兴倪呅纹渲幸欢ㄊ禽S對稱圖形的有對稱圖形的有() A1個個 B2個個 C3個個 D4個個 解析：只有平行四邊形不是軸對稱圖形解析：只有平行四邊形不是軸對稱圖形C3(2011廣州廣州)如圖如圖1所示，將矩形紙片先沿虛線所示，將矩形紙片先沿虛線AB按箭頭方向向按箭頭方向向右對折，接著將對折后的紙片沿虛線右對折，接著將對折后的紙片沿虛線CD向下對折，然后剪下向下對折，然后剪下一個小三角形，再將紙片打開，則打開后的展開圖是一個小三

8、角形，再將紙片打開，則打開后的展開圖是()D4(2010泉州泉州)如圖所示，在折紙活動中，小明制作了一張如圖所示，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點紙片，點D、E分別在邊分別在邊AB、AC上，將上，將ABC沿著沿著DE折疊壓折疊壓平，平，A與與A重合，若重合，若A70，則，則12() A. 140 B130 C110 D70 解析：解析：A70， AEDADE110， 由軸對稱的性質(zhì)得由軸對稱的性質(zhì)得 AEDADE110， 123602110140.A5(2011菏澤菏澤)如圖所示，已知在三角形紙片如圖所示，已知在三角形紙片ABC中，中，BC3, AB6，BCA90，在，在AC上取一點

9、上取一點E，以，以BE為折痕，為折痕，使使AB的一部分與的一部分與BC重合，重合，A與與BC延長線上的點延長線上的點D重合，則重合，則DE的長度為的長度為() A6 B3 C2 D. 解析：在解析：在RtABC中，中，BC3，AB6， 得得A30，ABC60， 由折疊的意義，得由折疊的意義，得ABEDBE30. 在在RtBCE中，中，CE ，BE2CE2 . DBEAD30，DEBE2 .CBC3 3 3 3 題型一識別軸對稱圖形題型一識別軸對稱圖形【例例1】 (2011淮安淮安)下列交通標志是軸對稱圖形的是下列交通標志是軸對稱圖形的是()題型分類題型分類 深度剖析深度剖析D探究提高探究提高

10、判斷圖形是否是軸對稱圖形，關(guān)鍵是理解、應(yīng)用軸對稱圖判斷圖形是否是軸對稱圖形，關(guān)鍵是理解、應(yīng)用軸對稱圖形的定義，看是否能找到至少形的定義，看是否能找到至少1條合適的直線，使該圖形沿著條合適的直線，使該圖形沿著這條直線對折后，兩旁能夠完全重合若能找到，則是軸對這條直線對折后，兩旁能夠完全重合若能找到，則是軸對稱圖形；若找不到，則不是軸對稱圖形稱圖形；若找不到，則不是軸對稱圖形知能遷移知能遷移1(1)(2011內(nèi)江內(nèi)江)下列幾何圖形中，一定是軸對稱圖下列幾何圖形中，一定是軸對稱圖形的有形的有() A1個個 B2個個 C3個個 D4個個 解析：上述幾何圖形一定是軸對稱圖形的是扇形、等腰梯形、解析：上述

11、幾何圖形一定是軸對稱圖形的是扇形、等腰梯形、菱形，故有三個菱形，故有三個C(2)(2011益陽益陽)小華將一張如圖小華將一張如圖1所示矩形紙片沿對角線剪開，他利所示矩形紙片沿對角線剪開，他利用所得的兩個直角三角形通過圖形變換構(gòu)成了用所得的兩個直角三角形通過圖形變換構(gòu)成了 下列四個圖形，這四個圖形中不是軸對稱圖形下列四個圖形，這四個圖形中不是軸對稱圖形 的是的是() 解析：圖形解析：圖形A是平行四邊行，不是軸對稱圖形是平行四邊行，不是軸對稱圖形A 題型二作已知圖形的軸對稱圖形題型二作已知圖形的軸對稱圖形【例例 2】 (2010棗莊棗莊)在在33的正方形格點圖中，有格點的正方形格點圖中，有格點AB

12、C和和DEF，且，且ABC和和DEF關(guān)于某直線成軸對稱，請在下關(guān)于某直線成軸對稱，請在下面給出的圖中畫出面給出的圖中畫出4個這樣的個這樣的DEF.解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：下列圖形供參考，每畫對一個得解：下列圖形供參考，每畫對一個得2分分(畫對畫對4個即可個即可)探究提高探究提高 畫軸對稱圖形，關(guān)鍵是先作出一條對稱軸，對于直線、線畫軸對稱圖形，關(guān)鍵是先作出一條對稱軸，對于直線、線段、多邊形等特殊圖形，一般只要作出直線上的任意兩點、段、多邊形等特殊圖形，一般只要作出直線上的任意兩點、線段端點、多邊形的頂點等的對稱點，就能準確作出圖形線段端點、

13、多邊形的頂點等的對稱點，就能準確作出圖形知能遷移知能遷移2如圖，在如圖，在43的網(wǎng)格上，由個數(shù)相同的白色方塊與黑的網(wǎng)格上，由個數(shù)相同的白色方塊與黑色方塊組成一幅圖案，請仿照此圖案，在下列網(wǎng)格中分別設(shè)計色方塊組成一幅圖案，請仿照此圖案，在下列網(wǎng)格中分別設(shè)計出符合要求的圖案出符合要求的圖案(注：不得與原圖案相同；注：不得與原圖案相同； 黑、白方塊的個數(shù)要相同黑、白方塊的個數(shù)要相同) (1)是軸對稱圖，又是中心對稱圖形是軸對稱圖，又是中心對稱圖形 (2)是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 (3)是中收對稱圖形，但不是軸對稱圖形是中收對稱圖形，但不是軸對稱圖形解：設(shè)計方案

14、有多種，在設(shè)計時注意每一種圖案的具體要求解：設(shè)計方案有多種，在設(shè)計時注意每一種圖案的具體要求 (1)應(yīng)該既關(guān)于中間軸對稱，還應(yīng)該關(guān)于中心點對稱，有一定的應(yīng)該既關(guān)于中間軸對稱，還應(yīng)該關(guān)于中心點對稱，有一定的對稱及審美要求；對稱及審美要求； (2)可不受中心對稱的限制，只要關(guān)于軸對稱，且黑白數(shù)量相等可不受中心對稱的限制，只要關(guān)于軸對稱，且黑白數(shù)量相等即可；即可； (3)只關(guān)于中心對稱，則對稱的圖形對稱即可只關(guān)于中心對稱，則對稱的圖形對稱即可題型三軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用題型三軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用【例例3】 如圖，如圖，E為正方形為正方形ABCD的邊的邊AB上一點，上一點，AE3，BE1，P是是AC上的動點，則

15、上的動點，則PBPE的最小值是的最小值是_ 解析：連接解析：連接OP、DE，則，則PBPD，PBPEPDPEDE， 而在而在RtADE中，中，AD4，AE3，DE5. 故應(yīng)填故應(yīng)填5.5探究提高探究提高 求兩條線段之和為最小，可以利用軸對稱變換，使之變?yōu)榍笄髢蓷l線段之和為最小，可以利用軸對稱變換，使之變?yōu)榍髢牲c之間的線段，因為線段間的距離最短兩點之間的線段，因為線段間的距離最短知能遷移知能遷移3如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，BAD120，BD90，AB1，AD2，在，在BC、CD上上 分別找一點分別找一點M、N，使得，使得AMN的周長最小，的周長最小， 則則AMN的最小周長是的最

16、小周長是_ 解析：分別畫點解析：分別畫點A關(guān)于關(guān)于BC、DC的軸對稱的軸對稱 點點A1、A2，連接，連接A1A2，分別交，分別交BC于于M，交，交CD于于N， 則則AMA1M，ANA2N. AMN的周長的周長AMANMN A1MA2NMNA1A2. 兩點之間，線段最短，兩點之間，線段最短， AMN的最小周長是線段的最小周長是線段A1A2的長度的長度27 在在AA1A2中，中，AA12AB2，AA22AD4，A1AA2120.過過A1畫畫A1HAA2，垂足為，垂足為H.在在RtA1AH中，中，A1AH60.AH AA11，A1H .在在RtA1A2H中，中，A2HAA2AH415.A1A2 2

17、.12 3 28 7 3 252 題型四折疊問題題型四折疊問題【例例4】 (2010吉林吉林)如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，AB12 cm，BC6 cm，點，點E、F分別在分別在AB、CD上，將矩形上，將矩形ABCD沿沿EF折疊，使點折疊，使點A、D分別落在矩形分別落在矩形ABCD外部的點外部的點A1、D1處，則整個陰影部分處，則整個陰影部分圖形的周長為圖形的周長為() A18cm B36cm C40cm D72cm 解析：本題考查矩形折疊問題，據(jù)題意，解析：本題考查矩形折疊問題，據(jù)題意， 得得AEA1E，F(xiàn)DFD1，ADA1D1， 從而陰影部分的周長從而陰影部分的周長CFFD1CB

18、BEEA1A1D1 CFFDCBBEEAAD2(ABBC)36(cm)，選，選B.B探究提高探究提高 折疊的過程實際上就是一個軸對稱變換的過程，軸對稱變換折疊的過程實際上就是一個軸對稱變換的過程，軸對稱變換前后的圖形是全等形，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等前后的圖形是全等形，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等知能遷移知能遷移4(2010益陽益陽)如圖，如圖，ABC中，已知中，已知BAC45，ADBC于于D，BD2，DC3，求，求AD的長的長 小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題解答了此題 請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：請按照

19、小萍的思路，探究并解答下列問題： (1)分別以分別以AB、AC為對稱軸，畫出為對稱軸，畫出ABD、ACD的軸對稱圖的軸對稱圖形，形，D點的對稱點為點的對稱點為E、F，延長，延長EB、FC相交于相交于G，證明四邊形，證明四邊形AEGF是正方形；是正方形； (2)設(shè)設(shè)ADx，利用勾股定理，建立，利用勾股定理，建立 關(guān)于關(guān)于x的方程模型，求出的方程模型，求出x的值的值解：解：(1)ABE與與ABD關(guān)于關(guān)于AB對稱，對稱， ABE ABD， EADB90，BAEBAD，AEAD. 同理，同理，F(xiàn)ADC90，CAFCAD，AFAD. EAF2BAD2CAD 2(BADCAD)24590. 四邊形四邊形A

20、EGF是矩形是矩形 AEAFAD， 矩形矩形AEGF是正方形是正方形(2)在正方形在正方形AEGF中，中，EGFGAEx，G90. BEBD2，CFCD3， BGx2，CGx3. 在在RtBCG中，中，(x2)2(x3)252， 解之，得解之，得x16，x21(舍去舍去)， x6.2020必須利用軸對稱變換，求線段之和最小必須利用軸對稱變換，求線段之和最小試題設(shè)試題設(shè)M是邊長為是邊長為2的正的正ABC的邊的邊AB上的中點，上的中點，P是邊是邊BC上上的任意一點，求的任意一點，求PAPM的最小值的最小值學生答案展示學生答案展示 當點當點P為為BC中點時，中點時，PAPM的和最小的和最小 M是是A

21、B的中點，的中點， PM是是ABC的中位線，且的中位線，且APBC. PM AC 21，PA ， PAPM1 .易錯警示易錯警示剖析剖析求兩條線段之和為最小，應(yīng)選用線段的垂直平分線、求兩條線段之和為最小，應(yīng)選用線段的垂直平分線、 角平分線、等腰三角形的高作為對稱軸來解題角平分線、等腰三角形的高作為對稱軸來解題正解正解 作正作正ABC關(guān)于關(guān)于BC的對稱圖形的對稱圖形ABC，M是是M的對稱點，故的對稱點，故M是是AB的中點，的中點，PMPM， PAPMPAPMAM. 連接連接CM,易知易知ACM90， AM .批閱筆記批閱筆記利用軸對稱變換，以利用軸對稱變換，以BC為對稱軸，作出為對稱軸，作出M的

22、的 對稱點對稱點M，連，連AM，兩點之間，線段最短，兩點之間，線段最短AC2 CM 2 22 3 2 7. 方法與技巧方法與技巧 1. 本章介紹了現(xiàn)實世界中圖形對稱的形式之一本章介紹了現(xiàn)實世界中圖形對稱的形式之一軸對稱軸對稱“兩個圖形成軸對稱兩個圖形成軸對稱”是反映圖形與圖形之間的關(guān)系，是反映圖形與圖形之間的關(guān)系，“軸對軸對稱圖形稱圖形”是反映一個圖形的特征軸對稱中的對應(yīng)部分是反映一個圖形的特征軸對稱中的對應(yīng)部分(如對如對應(yīng)線段、對應(yīng)角等應(yīng)線段、對應(yīng)角等)的形狀、大小是完全一樣的，并且對應(yīng)點的形狀、大小是完全一樣的，并且對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分我們今后要學到的許多圖形都是軸的連線被對稱軸垂直平分我們今后要學到的許多圖形都是軸對稱圖形在空間中，也存在這樣的對稱形式，如照鏡子、物對稱圖形在空間中，也存在這樣的對稱形式，如照鏡子、物體和它在水中成的像等，我們習慣上稱之為鏡面對稱體和它在水中成的像等，我們習慣上稱之為鏡面對稱思想方法思想方法 感悟提