30.高考數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用問題

1、僅供個(gè)人參考高考數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用問題考情分析：數(shù)列與不等式的綜合問題是近年來高考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)；教學(xué)目標(biāo)：掌握用常規(guī)的放縮思想去解決數(shù)列與不等式的證明問題；培養(yǎng)學(xué)生的探究分析能 力；基礎(chǔ)知識(shí)回顧：(一)常用放縮和裂項(xiàng)拆項(xiàng)的結(jié)論 ：11*一(k 2,k N ) k 1 k1111k k 1 k(k 1)k2 k(k 1)不得用于商業(yè)用途(2) 2(Jk 1 衣)2(、k 、k 1)(k 2,k N*)2,k113k3k(k 1)(k 1)111(k2 k(k 1) k(k 1)-(-).(1 -)- bk bk bk 1b2 6 6(二)常用證明不等式的方法：作差、作商、放縮、函數(shù)

2、法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法例題講解： 1 9. *已知數(shù)列an滿足：a1 2,an1 2(1 )24(n N ) n(1)求證數(shù)列 a2是等比數(shù)列，并求出數(shù)列 2的通項(xiàng)公式; n(2)設(shè) cnn17一 ,Tn是數(shù)列cn的刖n項(xiàng)和，求證：Tn an24跟蹤訓(xùn)練:1、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,已知對(duì)任意的n N ，點(diǎn)(n£),均在函數(shù)y bx r(b 0且b 1,b,r均為常數(shù))的圖像上.(1)求r的值；(11)當(dāng) b=2 時(shí)，記bn2(log2an 1)(n N )證明：對(duì)任意的n N ,不等式bJ 也bn成立b1b2bn解:因?yàn)閷?duì)任意的n N ，點(diǎn)(n,Sn),均在函數(shù)y bx r

3、(b 0且b 1,b,r均為常數(shù)的圖像上.所以得Snbn r,當(dāng) n 1 時(shí)，a1S1b r,當(dāng) n 2時(shí)，anSn Sn 1bn r (bn 1 r) bn bn 1 (b 1)bn 1又因?yàn)閍n為等比數(shù)列所以r 1,公比為b,an (b 1)bn 1(2)當(dāng) b=2 時(shí)，an (b 1)bn 12n1,bn2(log2an 1) 2(log22n1 1) 2nb 1則b一1 bn=所以U2nb1b2bn 13 5 712n 1Lbn2 4 6 2n(1 b2 1bn 1 3 5 7 2n 1、卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式* * L V n 1 成立.b1b2bn2 4 6 2n當(dāng)n 1時(shí)，左

4、邊=3,右邊= J2,因?yàn)? J2,所以不等式成立 22一,r b11b2 1bk 1 3 5 7 2k 1 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)不等式成立，即巴2一 L 4k 1成立.則3 5 7 L 2k 1 2k 3246 2k 2k 2b1b2bk2 4 6 2k當(dāng)n k 1時(shí)，左邊=bbbk 1bk 1 1bib2bk bk 1.【圣 產(chǎn) 3)2弁 1)2 4(k 1) 1JJ1一廠.(rv2k 2. 4( k 1),4(k 1),4(k 1)所以當(dāng)n k 1時(shí),不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命題立意】：本題主要考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，以及已知Sn求an的基本題型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自

5、然數(shù)有關(guān)的命題，以及放縮法證明不等式.2、已知為銳角，且 tan 2 1 ,函數(shù) f(x) x2 tan2 x sin(2 ),.14數(shù)列an的首項(xiàng) a1_ , an 1 f (an).2(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；求證:an1 an ；求證:解：tan2an 1課后練習(xí):1、 已知1(1)(1a1a12tan, 2tan2ana；1a n 1,11 a11, a2anan1, , an 1an1) a2若不存在，說明理由解：設(shè)存在正數(shù)k,則k -12n記 F(n)1 a22(、. 2 1)an2 (n 2,1 (.2sin(2一 an 11an(111)2為銳角f(x)a2,a3,an都大

6、于anan11an 1g)a3(1ana2足an1 一) an11 ana2a2a3anan 1a32 an1 ana22n1,(nan 111 anN*)試推斷是在正數(shù) k ,使得kv2n1對(duì)一切n N *均成立？若存在，求出 k的最大值;一 1使(1)(1a1i)1、(1 一)kV2n 1 成立 an(111一)， an(12n 111)(1)a1a2(1 -)，則anF(n 1)F(n 1)F(n)12n 32n1(1 -)(1a12-)(1-)(1a2an2(n 1),(2n 1)(2n3)4(n 1)2 1an 12(n 1) 12(n 1)F(n1)F(n)F(n)是隨n的增大而增

7、大n N*,1 時(shí)，F(xiàn)(n)min2 32.3一 F(1) -, k 1,即k的最大值為332.332、已知an滿足an |2n23(1)n,證明：對(duì)任意白整數(shù)m4,有1 a4證明：觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜,先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,a5使之能夠求和。而左邊工1 La4a5amI 12m 2 ( 1)m如果我們把上式中的分母中的掉，就可利用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)公式求和,由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起，一一 11進(jìn)行放縮，嘗試知： 22 1 23 1122以從第一項(xiàng)開始兩兩組合在一起再放縮來解決，若11'23 1 24 1，一1m為奇數(shù)可將-2211

8、二二，因此若m為偶數(shù)可2324-保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放1縮，即可求和。這里需要對(duì)m進(jìn)行分類討論,(1)當(dāng)m為偶數(shù)(m4)時(shí),a4 a5ama4(a) amJ -2324-X)2m 2 )4(1了)(2)當(dāng)m是奇數(shù)(m4)時(shí),1為偶數(shù),a4a5ama4a5a6amam 18所以對(duì)任意整數(shù)/右14,有a43、已知 lnxwx1求證：蜉 22a5am7 O本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆?縮。對(duì)定義域中的每一個(gè)ln332ln n2n2n2 n4(n 1)1，一 (n C N, n>2)證明：Q lnxw x1，又 x>0,ln xnln n2N*, nn2,得2nIn n-2nln

9、231 .2(nn*1 ln3 31)!)，(22ln n13y-(1 2222L n(2-1、,n(n 1)1 (2 (21)2n2n2n24(n 1)，結(jié)論成立.1 ,4、已知an?兩足an=( 4若T2na1 2a23a32na2n ,24n nQn= 124n 4n 1(nCN),試比較9T2n與Q的大小，并說明理由.解：- T2 n= a1+2a2+3a 3+(2n-1) a 2 n 1+2na2 n,1、)2na2 n2T2 n= (- a1)+( - ) 2a 2+ ( -) 3a 3+(- -)(2n-1)a2 n 1+ (22222=a 2+2a 3+(2n 1) a2 n

10、na2 n.3兩式相減，得 一丁2 n= a1+a2+a3+a2 n+na2n.21 ()342 一 T2n =21 122n+ nx-(-1)2n421=161(-)2n+-(-l)2n 162421 11 2n n 12nli 3nT2n = 9-9(-2) +6(-2)=9(1-Tn1-).1- 9T2n = 1-又 Qn = 1-3n 1.2 2n3n 12 ,(2n 1)當(dāng) n=1 時(shí)，22 n= 4,( 2n+1)2=9, . 9T2 nV Q n； 當(dāng) n=2 時(shí)，22 n=16,( 2n+1)2=25, . 9T2 nQn；當(dāng) n>3 時(shí)，22n (1 1)n2 (C0

11、C： C3 C；)2 (2n 1)2, -9T2 n>Q n.5、在數(shù)列an,bn中，a12,D 4,且an,bn,an1成等差數(shù)列，bn,an1 ,bn 1成等比數(shù)列求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測(cè) 小 , bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；、r 11證明： Ila1b1a2b2說明：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn) 用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力.滿分 12分.解析：2,(I )由條件得 2bn an an 1, an 1 bnbn 1由此可得a2 6,b29,a312,b316,a420,b425.2猜測(cè) an n(

12、n 1), bn (n 1).用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2 ak k(k 1), bk (k 1),那么當(dāng)n=k+1時(shí), 2ak12。ak2(k1)2k(k 1) (k 1)(k 2),bk1(k2)2.所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立. 2由，可知an n(n 1), bn(n 1)對(duì)一切正整數(shù)都成立.()1a1 bi512n>2時(shí)，由(I)知 anbn (n 1)(2n 1) 2(n 1)n .an bn6 2 2 3 3 41n(n 1)11故a1b1a2 b21111116 2 2 3 3 411111156 2 2 n 16 4 12綜上，原不等式成立.僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu leummlen Zwecken verwendet werde