立體幾何的解題技巧

1、立體幾何大題的解題技巧綜合提升【命題分析】高考中立體幾何命題特點(diǎn)：1 .線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系2 .空間“角”與“距離”的計(jì)算常在解答題中綜合出現(xiàn)3 .多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn)4 .有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問(wèn)題，特別是與球有關(guān)的問(wèn)題將是高考命題的熱點(diǎn).此類題目分值一般在 17-22分之間，題型一般為 1個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題.【考點(diǎn)分析】掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念.掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面

2、間的距離的概念【高考考查白重難點(diǎn)*狀元總結(jié)】空間距離和角：“六個(gè)距離”：1 兩點(diǎn)間距離d &x X2)2 (y1 y2)2 (4 Z2)2PQ*u2點(diǎn)P到線1的距離d （Q是直線1上任意一點(diǎn),uu為過(guò)點(diǎn)P的直線1法向量）PQ*u3兩異面直線的距離 d uPQ*u4點(diǎn)P到平面的距離 d u（P、Q分別是兩直線上任意兩點(diǎn) u為兩直線公共法向量）（Q是平面上任意一點(diǎn)，u為平面法向量）5直線與平面的距離【同上】6平行平面間的距離【同上】“三個(gè)角度”：1異面直線角10, C cosV1V2v1 v2【辨】直線傾斜角范圍10,2線面角0, 1 sin=cosv, nvnvln或者解三角形3二面角0

3、, cos或者找垂直線，解三角形不論是求空間距離還是空間角，都要按照 寓證明于運(yùn)算之中，正是本專題的一大特色“一作，二證，三算”的步驟來(lái)完成，即455求解空間距離和角的方法有 兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。其中，利用 空間向量求空間距離和角的 套路與格式固定，是解決立體幾何問(wèn)題這套 強(qiáng)有力的工具時(shí)，使得高考題具有很強(qiáng)的套路性?！纠}解析】考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂 足，當(dāng)然別忘了 轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題 例1 (福建卷)如圖，正三棱柱 abc ab1G的所有棱長(zhǎng)都為2, D為cc1中點(diǎn).(I )求證

4、：AB1，平面 A1BD ；(II)求二面角 a A1D B的大?。?m)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的 大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維 能力和運(yùn)算能力.解：解法一：(I )取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO .QAABC為正三角形，AO ± BC .Q正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面ABC，平面BCCiBi ,AO，平面 BCGB .連結(jié)BO,在正方形BB1C1C中，O, D分別為BC, CC1的中點(diǎn),B1O± BD ,ABJ BD .在正方形 ABB1A中，AB1 ± AB ,AB1 

5、7; 平面 A BD .(n )設(shè)AB1與AB交于點(diǎn)G ,在平面A1 BD中，作GF，A1D于F ,連結(jié)AF ,由(I )得AB平面A BD .AFLAD,/AFG為二面角 A A,D B的平面角.在AAAD中，由等面積法可求得 AF又 QAG 1ABi2，sin/AFGAGAF 4.545所以二面角a AD B的大小為arcsin410 .4(山)AABD 中，BD AD 志 AB 272, Saa1bd在正三棱柱中，A到平面BCGB1的距離為 B設(shè)點(diǎn)C到平面A1BD 的距離為d .由 VA1 BCDVC ABD，仔SA BCD gV3 SA A1BD gd 533d 3S/ BCD SA

6、A|BD點(diǎn)C到平面ABD的距離為寺.解法二：（I ）取BC中點(diǎn)O ,連結(jié)AO.、 ABC為正三角形，AO ± BC .Q在正三棱柱 ABC AB1C1中，平面ABC，平面 BCC1B1AD，平面 BCCiBi -取B1C1中點(diǎn)O1 ,以。為原點(diǎn),LLTLOB ,OOL，01A的方向?yàn)閤, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則 B(1,0,0),D(1,1,0)，A (0,2,73)，A(0,0,向，Bi (1,2,0)uurABi(12LUITBD(210)，LULTBA(12 忌).ULLTUUTQ AB1gBD0 0，LLT LLLTABgBA4 3 0，LILTUUTAB1

7、 ± BA -AB1，平面（II ）設(shè)平面A1AD的法向量為(x,y, z) LILTAD ( 1,1,LLLTd3), AA (020) ULLTngAD 0：LULTngAA 0x y 3z2y 0,0,0,3z.（內(nèi),01）為平面AAD的一個(gè)法向量.由(I )知 ABi ± 平面ABD ,器為平面A BD的法向量.LULT8s n，AB1uuur .ngAB1. 3 .3uui r_ n gABi2g2.2面角AA D B的大小為 arccos（出）由（n）,能為平面AiBD法向量,uurQ BCumr_(2,0,0), AB(123)uur uuur點(diǎn)C到平面A1B

8、D的距離dIBCgABil I 2 叵. uuuiAB12.22小結(jié)：本例中（出）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法,把不易直接求的B點(diǎn)到平面AMBi的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn) K到平面AMBi的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法； 解法一采用了等體積法， 這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法考點(diǎn)2異面直線的距離考查異目主面直線的距離的概念及其求法考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離例2已知三棱錐S ABC ,底面是邊長(zhǎng)為472的正三角形，棱 SC的長(zhǎng)為2,且垂直于底面.E、D分別為BC、AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距

9、離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找， 所以設(shè)法 將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步 轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.解：如圖所示，取 BD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF, SF, CF,EF 為 BCD 的中位線， EF / CD, CD/面 SEF,CD到平面SEF的距離即為兩異面直線間的距離 .又 線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線 CD上一點(diǎn)C到平面SEF的距離，設(shè)其為h,由題意知，BCAB、BC、BD的中點(diǎn)，CD 2,6, EF CD ,6,DF 2i i“ iVs cefEF DF SC 3 23,D、E、F分別是2,SC 2262 2 233在 Rt SCE 中，SE S

10、ee2 CE2 2/3在 Rt SCF 中，SF x SC2 CF2 J4 24 2 33Q又 EF ,6, Ssef 32,3112 3由于 VC SEF VS CEF - S SEF h , 即 一 3 h ,解得 h333故CD與SE間的距離為43 .3小結(jié)：通過(guò)本例我們可以看到求空間距離的過(guò)程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程考點(diǎn)3直線到平面的距離偶爾會(huì)再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化 例3.如圖，在棱長(zhǎng)為 2的正方體 AC1中，G是AA1的中點(diǎn)，求BD到平面GB1D1的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解：解法一 BD /平面GB

11、1D1 ,BD上任意一點(diǎn)到平面 GBiDi的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面GBiDi的距離，B1D1 A1C1 , B1D1 AA, B1D1 平面 A1ACC1,又 B1D1 平面GB1 D1平面A ACC| GB1D1,兩個(gè)平面的交線是 O1G ,作OH O£于h ,則有OH 平面GB1D1,即OH是。點(diǎn)到平面GB1D1的距離.在 OQG 中，S O1OG11一O1O AO-2,2、2.222 . 6、2, OH .311又 S O1OGOH O1G . 3 OH2226即BD到平面GB1D1的距離等于 3解法二 BD /平面GB1D1 ,BD上任意一點(diǎn)到平面 GBiDi的距離皆為

12、所求，以下求點(diǎn) B平面GBiDi的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面GBiDi的距離為h,將它視為三棱錐B GBiDi的高，則VB GBiDiVDi GBBi，田十 S GBiDii -12、. 2 . 3.6,2、，iiccc4VDiGBBi322223,42.6.6 T即BD到平面GBiDi的距離等號(hào)2.63CDE是異面直線AO與CD所成的角.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離 .考點(diǎn)4異面直線所成的角【重難點(diǎn)】此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角

13、，然后通過(guò)解三角形來(lái)求角典型例題例4如圖，在RtAOB中，oab斜邊AB 4 . RtAAOC可以通過(guò) 6AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B AO C的直二面角.D是AB的中點(diǎn).(I)求證：平面COD 平面AOB;(II)求異面直線 AO與CD所成角的大小.思路啟迪：(II)的關(guān)鍵是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi).解：解法i： (I)由題意，CO AO, BO AO,BOC是二面角B AO C是直二面角，CO BO ,又Q AOI BO O,CO 平面AOB ,又CO 平面COD .平面COD 平面AOB .(II)作DE OB ,垂足為E ,連結(jié)CE (如圖)，則DE / AO

14、,在 RtCOE 中，CO BO 2, OE !BO i ,2CE JCO2 OE2 而.又de Lao 近. 2在冷CDE中，tanCDE CE 李巫DE 33異面直線AO與CD所成角的大小為 arctan 15 (II)UUDOAcosuuu uuur OA,CDuuu uuur OAgDD uuu1uuu OA gCD62、3乳 2異面直線AO與CD所成角的大小為arccos 日解法2: (I)同解法1.建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,如圖，則 O(0,0,0), A(0,0,273), C(2,0,0) , D(0- J3), uur(0,0,2的，CD ( 21，拘2小結(jié)：求異面直線

15、所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的.同關(guān)系，如解析三.一般來(lái)說(shuō)，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍:0，2 .考點(diǎn)5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算 線面角在空間角中占有重要地位，是高考的常考內(nèi)容.典型例題例5 (全國(guó)卷I理)四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面 SBCBC 2石，SA SB 73.(I)證明S

16、A BC ；(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.考查目的：本小題主要考查直線與直線 ，直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.解：解法一：(I)作SOX BC ,垂足為O,連結(jié) AO ,由側(cè)面SBC，底面ABCD , 得SO,底面 ABCD .因?yàn)镾A SB,所以AO BO ,又/ABC 450,故4AOB為等腰直角三角形,AO ± BO ,由三垂線定理，得(n)由(i)知SAX BC .SAX BC ,依題設(shè) AD / BC故 SAX AD ,AD BC 272, SA V3AOSO 1, SD SAB的面積s 21

17、AB 621c連結(jié) DB ,得 DAB 的面積 S2 - ABgAD sin135o 2（n）取AB中點(diǎn)E , E2 2 0，U22CEXAO xyz,設(shè)D到平面SAB的距離為h ,由于VD sab VS ABD ,得1hgS1 1SOg§，解得 h 72 313設(shè)SD與平面SAB所成角為 ，則sin h 夜 殺.SD . 1111所以，直線SD與平面SBC所成的我為arcsing.解法二：（I）作SOX BC ,垂足為O ,連結(jié)AO ,由側(cè)面SBC，底面ABCD ,得SO,平面 ABCD .因?yàn)镾A SB,所以AO BO .又/ABC 45°, 4AOB為等腰直角三角形，

18、 AO ± OB .如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系（'.2,0,1）a（72as, b。亞Q）, c（0,Q）, s（0q,1）, SAuur _uir uuuSAX BC .CB （0,2逝,0）, SAgDB 0,所以連結(jié)SE,取SE中點(diǎn)G ,連結(jié)OG , G紅叵1 .4 ' 4 2OG 段里1，SE 0貝,1，布（&品e44 222SEgDG 0, ABgDG0 , OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線 SE , AB垂直.所以O(shè)G 平面SAB, OG與DS的夾角記為 ，SD與平面SAB所成的角記為，則 與互余.D（V22卮0） , DS

19、 （近,2& 1） cosOGgDS J2, sinOGgDS 1122511所以，直線SD與平面SAB所成的角為arcsin X2211小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)， 常用以下步驟：構(gòu)造一一作出斜線與射影所成的角，證明一一論證作出的角為所求的角， 計(jì)算一一常用解三角形的方法求角，結(jié)論一一點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6二面角【重點(diǎn)】此類題主要是如何確定二面角的 平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為 線線角放到一個(gè) 合適的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)典型例題例6.（湖南卷）如圖，已知直角， A PQ , B

20、 , C , CA CB, BAP 45°,直線CA和平面所成二面的角為30° .證明BC ± PQ ；工z（II）求二面角B AC P的大小.命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識(shí)， 考查空間想象能力、 邏輯思維能力和運(yùn)算能力.過(guò)程指引：（I）在平面 內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CO，PQ于點(diǎn)O ,連結(jié)OB .因?yàn)?±, I PQ ,所以CO，又因?yàn)镃A CB ,所以O(shè)A OB .C、H而 BAO 45°,所以 ABO 45°, AOB 90°,p 7、從而 BO，PQ ,又 CO，PQ ,乙所以PQ，平面OBC .因?yàn)锽C

21、 平面OBC ,故PQ，BC .（II）解法一：由（I）知，BO，PQ ,又 ±, I PQ ,BO ，所以 BOL .過(guò)點(diǎn)O作OH，AC于點(diǎn)H ,連結(jié)BH ,由三垂線定理知，BH ± AC .故 BHO是二面角B AC P的平面角.由（I）知，COX ，所以 CAO是CA和平面 所成的角，則 CAO 30°,.3不妨設(shè) AC 2,則 AO J3, OH AO sin 30° .在 RtzXOAB 中，ABO BAO 45o,所以 BO AO 察,于是在RtABOH,BO中，tar BHO OH故二面角B ACP的大小為arctan2 .解法二：由（I）

22、知，OC ± OA , OCX OB, OA ± OB ,故可以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線OB, OA, OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）CAO因?yàn)镃O，a ,所以 CAO是CA和平面 所成的角，則不妨設(shè)AC 2 ,則AO73, CO1.在 RtzXOAB 中，ABOBAO45°,所以BO AO , 3則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。(0,0,0),B(V3,0,0),A(0, . 3,0)C(0Q,1).uur 所以AB(J'3,3,0)iuurAC (0,V31)ir設(shè)r1x,y, z是平面ABC的一個(gè)法向量,ir uur rgAB ir uur n

23、gAC0,/曰3x .3y 0,得0月y z 01,得 rr a,73).uu易知n（10,0）是平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角AC P的平面角為,由圖可知,ur uu口 62irur所以cos故二面角AC P的大小為arccos5小結(jié)：本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題.解法是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無(wú)棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小【課后練習(xí)】如圖

24、，在四棱錐PABCD中，PA 底面ABCD, DAB為直角，AB | CD ,A2iAD=CD=2AB, E、F 分別為 PC、CD 的中點(diǎn).（I ）試證：CD 平面BEF;（n ）設(shè)PA= k AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30，求k的取值范圍過(guò)程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角; 方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法【高考熱點(diǎn)】空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和2圓柱的表面積s 2 rl 2 r3圓錐的表面積：S rl r24圓臺(tái)的表面積S rlr2 RlR2 5球的表面積S 4 R26扇形的面積

25、S扇形n2 1lr （其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表示半徑）3602注：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于地面圓的周長(zhǎng) （二）空間幾何體的體積11柱體的體積 VS底 h2錐體的體積 V S底h31 4 _33臺(tái)體的體積 V （ S上,S上S下S下）h 4球體的體積V R33【例題解析】考點(diǎn)8簡(jiǎn)單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進(jìn)行判斷典型例題例12 .如圖（1）,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 時(shí)容積最大.思路啟迪設(shè)四邊形一邊 AD,然后寫出六棱

26、柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時(shí) AD長(zhǎng)度即可.解答過(guò)程：如圖(2)設(shè) AD=a,易知/ ABC=60° ,且/ ABD=30°AB = <3 a .BD = 2a 正六棱柱體積為 V .12一 9 /、2V=6 一 (12a) sin60 <3a = - (12a) a2299.2.3=-(1 2a)(1 2a)4a< -(-).88 31當(dāng)且僅當(dāng)1 2a=4aa=1時(shí)，體積最大,6此時(shí)底面邊長(zhǎng)為12a=1 2x1=2 .63-1答案為1 .6考點(diǎn)9.簡(jiǎn)單多面體的側(cè)面積及體積和球的計(jì)算棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角

27、形的面積 直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于1 Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.3例 15.如圖，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB= V2a, BC=CA = AA1=a,A1在底面4 ABC上的射影 O在AC上求AB與側(cè)面AC 1所成角； 若O恰好是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積 .思路啟迪找出AB與側(cè)面AC1所成角即是/ CAB;三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個(gè)側(cè)面面積之和，側(cè)面BCC1B1是正方形，側(cè)面 ACC1A1和側(cè)面ABB1A1是平行四邊形，分別求其 面積即可.解答過(guò)程：點(diǎn) A1在底面ABC的射影在AC上， 平面ACCA平面ABC.在 ABC 中，由 BC=AC=a,

28、 AB= J2a./ACB = 90° ,BCXAC.BC,平面 ACC1A1.即/ CAB為AB與側(cè)面AC1所成的角在RtABC中，Z CAB = 45 AB與側(cè)面AC1所成角是45° .''' 0 是 AC 中點(diǎn)，在 RtA AA1O 中，AA1 = a, AO= a.2側(cè)面ACC1A1面積S1 = ACA01=又BCL平面ACC1A1BCXCC1.又BBi=BC=a , 側(cè)面BCCiBi是正方形，面積 S2=a2.過(guò)。作ODAB 于 D，= AiO,平面 ABC, AiDXAB.在 RtAOD 中，AO= 1 a , / CAD = 45

29、76;22 OD= 3a在 RtAAiOD 中,AiD =vOd2+ AiO2 = J(乎 a)2+ ( a)8a.2,.7 2a .2A、B、C、D、3思路啟迪先找出二面角平面角,AKL中求出棱錐的高 h,再利用即/1V= - ShAKL，再在即可.解答過(guò)程：在平面圖中，過(guò) 于K,交BC于L.貝U AKXMN, KLXMN./AKL = 30° .3A 作 ALXBC,交 MNC側(cè)面 ABBiAi 面積 S3= AB AD = J2a J7a =8棱柱側(cè)面積 S = Si + S2 + 9 =12-2+ 3+ .7） a2.2例16.等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為4, M、N分別為AB

30、、AC的中點(diǎn)，沿 MN將4AMN折起，使得面 AMN 與面MNCB所成的二面角為 30° ,則四棱錐A-MNCB 的體積為 （）則四棱錐A-MNCB的高h(yuǎn)= AK sin30 =2Smncb = KL = 3 33 ./一1 Q Q - 3 = 3V A MNCB 373 Z-322【專題綜合訓(xùn)練】-、選擇題1.如圖，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，已知AB=1且BD=1 ,若AD與側(cè)面AAiCCi所成的角為D在BBi上，,則的值為A.B. 一4C.arctan-10 4D. arcsin-642.直線a與平面 成 角，a是平面 的斜線，b是平面內(nèi)與a異面的任意直線，則 a與b所

31、成的角（）A.最小值，最大值B.最小值C.最小值，無(wú)最大值D.無(wú)最小值,3.在一個(gè)45的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成最大值 一445角，則此直線與二面角的另一平面所成的角為（A. 304.如圖，直平行六面體)B. 45C. 60D. 90ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,BAD 60 ,則對(duì)角線AiC與側(cè)面DCCiDi所成 的角的正弦值為（）A. 12B 3B.2C工 口.23D. 45.已知在 ABC 中，AB=9, AC=15,BAC 120 ,它所在平面外一點(diǎn) P到 ABC三頂14,那么點(diǎn)B.折成60的二面角，則MP與NQ間的距離等于（)D. 7點(diǎn)的距離都是A. 13A

32、BC的距離為（）C. 9P到平面113B. -a4C. a48.二面角 l的平面角為120在內(nèi)，AB l于BAB=2,在內(nèi)，CDl于D,CD=3,BD=1, M是棱l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM + CM的最小值為（）A. 2 5B. 2 2C. . 26D. 2 69.空間四點(diǎn) A、B、C、D中,每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a,動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上,動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為（1A. a22B. a2C.d. a10.在一個(gè)正四棱錐，它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a ,現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊）,那么包裝紙的最小邊長(zhǎng)應(yīng)為（A. ( .26)a B.C.D.11.已知

33、長(zhǎng)方體 ABCD-AiBiCiDi 中，AiA=AB=2,若棱AB上存在點(diǎn)P,使DiP PC ,則棱AD的長(zhǎng)的取值范圍是 （A. 0,1B.C.0,2D.12.將正方形ABCD沿對(duì)角線角一定不等于（）AC折起，使點(diǎn)D在平面ABC外，則DB與平面ABC所成的A. 30B. 45C.60D. 90二、填空題1.如圖，正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1, E是AiBi 的中點(diǎn)，則下列四個(gè)命題：iE到平面ABCiDi的距離是 ,； 直線BC與平面ABCiDi所成角等于45 ; 空間四邊形 ABCDi在正方體六個(gè)面內(nèi)的射影圍成一 一， i面積取小值為一；2, i0BE與CDi所成的角為arcs

34、in i02.如圖，在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，P是AiCi上的動(dòng)點(diǎn)，E為CD上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形 ABCD滿足 時(shí)，體積VP AEB恒為定值（寫上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可）3.邊長(zhǎng)為i的等邊三角形 ABC中，沿BC邊高線AD 折起，使得折后二面角 B-AD-C為60° ,則點(diǎn)A到 BC的距離為 ，點(diǎn)D到平面ABC的距離 為.4.在水平橫梁上 A、B兩點(diǎn)處各掛長(zhǎng)為50cm的細(xì)繩，AM、BN、AB的長(zhǎng)度為 60cm,在MN處掛長(zhǎng)為 60cm 的木條，MN平行于橫梁，木條的中點(diǎn)為 O,若木條 繞過(guò)O的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60。，則木條比原來(lái)升高了5.多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰

35、的.如圖正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi).其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn) A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別是i、2和4. P是正方體其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則 P到平面 3;4;5;6;7.以上結(jié)論正確的為 .（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào) ） 6.如圖，棱長(zhǎng)為im的正方體密封容器的三個(gè)面上有三個(gè)銹蝕 的小孔（不計(jì)小孔直徑）Oi、。2、O3它們分別是所在面的中心如果恰當(dāng)放置容器，容器存水的最大容積是 m3.三、解答題i. 在正三棱柱 ABCAiBiCi中，底面邊長(zhǎng)為 a,D為BC為中 點(diǎn)，M 在 BBi 上，且 BM= 1BiM ,又 CM LACi;3（i）求證：CMXCiD;的距離可能是:RC(2)求AA

36、i的長(zhǎng).2. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是矩形且AD=2 ,AB=PA= 22 , PAL底面 ABCD , £是人口的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上.(1)求F在何處時(shí)，EFL平面PBC;(2)在的條件下，EF是不是PC與AD的公垂線段.若是，求 出公垂線段的長(zhǎng)度；若不是，說(shuō)明理由；(3)在(1)的條件下，求直線 BD與平面BEF所成的角.3.如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD , SB=J3 .(1)求證(2)求面(3)設(shè)棱 大小.BC SC;ASD與面BSC所成二面角的大?。籗A的中點(diǎn)為M ,求異面直線DM與SB所成角的4.在直角梯形 ABCD

37、 中， D= BAD=90 ,AD=DC= 1 AB=a,(如圖一)將 ADC 沿 AC 折起, 2使D到D .記面AC D為，面ABC為.面BC D為.(1)若二面角AC 為直二面角(如圖二)，求二面角 BC 的大?。?2)若二面角AC 為60 (如圖三)，求三棱錐D ABC的體積.5.如圖，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB= J2M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證AM平面BDE;(2)求二面角A DF B的大??；(3)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與BC所成的角是60 .AF=1【參考答案】-.選擇題1.D 提示：AD在面ACCiAi上的射影應(yīng)在 AC與AiCi

38、中點(diǎn)的連線上，令射影為E,則/ EAD為所求的角.在 RtAEAD 中,3DEDE ,AD 2. sin EAD -2ADEADarcsin2.B 提示：由最小角定理知，最小角為,又異面直線所成角的范圍為0，2最大角為一.23 .A 提示：由最小角定理知，此直線與另一面所成的角應(yīng)小于等于它與交線所成的角，故排除C、D,又此二面角為45。，則此直線與另一平面所成的角只能小于它與交線所成的角，故選A.4 .D 提示：由題意，Ai在面DCCiDi上的射影應(yīng)在 CiDi延長(zhǎng)線E上，且DiE=1,則/ AiCE 為 所 求 角， 在 Rt AAiC 中 ，ACAA； AC24, AIE3, sin AI

39、CE AE .AiC45 .D 提示：由P到 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是I4,知P在底面 ABC的射影是 ABC的外心，所以PO為所求.由余弦定理得：BC=2i.由2RBCsini202I32I4得外接圓半徑為 7；6,即 OB 7V3 ,在 RHPOB 中，PO VpB2BO2 7.6.D提不：由題圖得VB AMNVN AMB .S AMB7.B3S AMB2S AMN提示：連結(jié)3 三 322.2 S AMNMP、NQ交于O,由四邊形MNPQ是菱形得MPNQ 于 O,將 MNQ 折起后易得 MOQN, OPXQN,所以/ MOP=60°，且 QN MOP ,過(guò)。作 OH IMP,3所

40、以O(shè)HQN,從而OH為異面直線 MP、QN的公垂線，經(jīng)計(jì)算得 OH -a.48.C 提示：把 半平面展到半平面內(nèi)，此時(shí)，連結(jié)AC與棱的交點(diǎn)為 M,這日AM+CM取最小值等于 AC.(AM+CM)min= . 1 (2 3)29.B 提示：P、Q的最短距離即為異面直線 CD的中點(diǎn)時(shí)符合題意.AB與CD間的距離，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為10.B 提示：將正棱錐展開(kāi)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m,則 42m a J3a, m11.A 提示： D1P PC, DP PC,在長(zhǎng)方形 ABCD中AB邊存在 P作 DP PC,AD0,1 故選 A.平面ABC ,取AC的中又因?yàn)锳B=2,由對(duì)稱性可知， P為AB的中點(diǎn)時(shí)，

41、AD最大為1, 12.D 提示：若BD與平面ABC所成的角為90 ,則平面ABD點(diǎn)O,則BD AC, DO AC且BO=DO,BD與BO不垂直，故BD與平面ABC所成的角一定不等于90 .二.填空題1 .一 1 .一1. 提不：對(duì)于，由Ve ABCi VC1 ABE 得-h S ABCi - 1 S ABE ， 33S ABE 、- 2 , 一一,口，h ，錯(cuò).對(duì)于連 CB1交BC1于O,則O為C在面ABC1D1上的射影，S ABC12CBO 45為所成的線面角，正確作圖易知正確，對(duì)于連AiB,則 ABE為所成的角，解 ABE得sin AiBE12. AB / CD 提示：Vp aeb - h

42、P Sabe，要使體積為正值，則S abe為正值，與 E3點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，則 AB/CD15. 153. , 提示：作DE BC與E,易知AD 平面BCD ,從而AE BC ,4 10BDC 60 又由 BD DC 1,得 DE W3,又 AD , 2422215 15AEJdEAD ,由可解的點(diǎn)到平面的距離為 .410，4.10cm 提不：MO=NO=30cm,過(guò)。作M N與旋轉(zhuǎn)刖的 MN平仃且相等，所以旋轉(zhuǎn)后22AB與平面M ON的距離為V503040,故升圖了 50-40=10cm.5 .6 .5.6三、解答題1. (1)證明：在正三棱柱 ABCAiBiCi中，D為BC中點(diǎn)，則 AD，面BC

43、CiBi,從而AD XMC又,CMACi,則 MC和平面 ADCi內(nèi)兩相交直線 AD , ACi 均垂直MCXW ADCi,于是 MCLDC1.（2）解：在矩形 BBiCiC中，由CM ±DCi知 DCCi BMC ,設(shè) BB i=h，則 BM= - h4.工h:a=更：h,求得 h J2a42從而所求AAi= . 2a2.解：(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 p(0, 0,短),A(0, 0, 0), B(0, 2i , 0), C(2, 乩 0), D(2, 0, 0), E(1 , 0, 0) F 在 PC 上，可令 PF

44、 PC ,設(shè) F(x, y, z)BC 2,0,0 ,PC 2, 2, . 2 ,EF x 1,y,zEFL平面 PBC, EF?PC 01.EF ?BC 0 ,又 PF PC , jl可得 1,x 1,y z "故F為PC的中點(diǎn). 22（n）由（i）可知：efxpc,且 efxbc 即 ef ±adEF是PC與AD的公垂線段，其長(zhǎng)為|EF |=1BD ?PC 3bd|?|pc6（出）由（I ）可知PC 2V2 內(nèi) 即為平面BEF的一個(gè)法向量而 BD 2,上,0設(shè)BD與平面BEF所成角e ,則：sin 8=cosi：BD ? PC).3 36 narcsin?.故bd與平面

45、BEF所成角為arcsin*3. (1)證法一：如圖，二.底面 ABCD是正方形，BCXDC.SD，底面 ABCD ,DC是SC在平面 ABCD上的射影，由三垂線定理得 BCXSC.證法二：如圖1,二.底面ABCD是正方形，SDXBC,又 DCASD=D, . BC，平面(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)S作直線I/AD,.底面ABCD為正方形，I/AD/BC,l為面ASD與面BSC的交線.l SD AD,BC SC, l SD,lBC± DC. SD，底面 ABCDy SDC,BCXSC.l在面ASD上， l在面BSC上，SC,圖1L圖2/ CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.BD=

46、 V2 , SB=技 SAD=1 .(3)解 1:如圖 2, SD=AD=1. CSD 450.,/ SDA=90 ° ,. SDA是等腰直角三角形.又M是斜邊SA的中點(diǎn),圖34. 解：(1)在直角梯形 ABCD中,由已知 DAC為等腰直角三角形,則 DE，AC 又二面角a AC為直二面角,D E ± 又BC 平面BC± D EBCa,而 DC a ,. BCXDCDCA 為二面角由于 D CA 45 ,二面角BC的平面角.BC 為 45 .(2)取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)D E ,再過(guò)D作DO,垂足為O,連結(jié)OE.DM ISA. - BA ±AD , BAXSD, AD n SD=D , . BA，面 ASD , SA 是