挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題(全套含答案)

1、第一部分 函數(shù)圖象中點(diǎn)得存在性問題§ 1.1 因動點(diǎn)產(chǎn)生得相似三角形問題例 12014 年衡陽市中考第28題例 22014 年益陽市中考第21 題例 32015 年湘西州中考第26題例 4 2015 年張家界市中考第 25題例 52016 年常德市中考第26 題例 62016 年岳陽市中考第24 題例 7 2016 年上海市崇明縣中考模擬第25 題例 8 2016 年上海市黃浦區(qū)中考模擬第26 題§ 1.2 因動點(diǎn)產(chǎn)生得等腰三角形問題例 9 2014 年長沙市中考第 26 題例 10 2014年張家界市第25題例 112014 年邵陽市中考第26 題例 122014年婁底市

2、中考第27題例 132015 年懷化市中考第22題例 142015 年長沙市中考第26 題例 152016 年婁底市中考第26 題例 16 2016 年上海市長寧區(qū)金山區(qū)中考模擬第 25 題例 172016 年河南省中考第23 題例 182016 年重慶市中考第25題§ 1.3 因動點(diǎn)產(chǎn)生得直角三角形問題例19例 20例 21例 22例 23§ 1.4例 24例 25例 26例 27例 28例 29例 30例 31§ 1.5例 32例 33例 34例 35例 36例 37例 382015 年湘潭市中考第26 題2016 年郴州市中考第26 題2016 年上海市松江

3、區(qū)中考模擬第25 題2016 年義烏市紹興市中考第 24 題因動點(diǎn)產(chǎn)生得平行四邊形問題2014年岳陽市中考第24題2014年益陽市中考第20題2014年邵陽市中考第25題2015 年郴州市中考第25題2015 年黃岡市中考第24題2016 年衡陽市中考第26題2016 年上海市嘉定區(qū)寶山區(qū)中考模擬中考第 24 題2016 年上海市徐匯區(qū)中考模擬第 24 題因動點(diǎn)產(chǎn)生得面積問題2014年常德市中考第25題2014年永州市中考第25題2014年懷化市中考第24題2015 年邵陽市中考第26題2015 年株洲市中考第23題2015 年衡陽市中考第28題例 392016 年永州市中考第26 題例 40

4、2016 年邵陽市中考第26題例 412016 年陜西省中考第25題§ 1.6 因動點(diǎn)產(chǎn)生得相切問題例 422014年衡陽市中考第27題例 432014年株洲市中考第23題例 442015 年湘潭市中考第25題例 452015 年湘西州中考第25題例 462016 年婁底市中考第25 題例 472016 年湘潭市中考第26題例 48 2016 年上海市閔行區(qū)中考模擬第24 題例 49 2016 年上海市普陀區(qū)中考模擬中考第25題§ 1.7 因動點(diǎn)產(chǎn)生得線段與差問題例 502014年郴州市中考第26題例 512014年湘西州中考第25題例 522015 年岳陽市中考第24 題

5、例 532015 年濟(jì)南市中考第28 題例 542015 年沈陽市中考第25題例 552016 年福州市中考第26題例 56 2016 年張家界市中考第 24 題例 57 2016 年益陽市中考第21 題第二部分 圖形運(yùn)動中得函數(shù)關(guān)系問題§ 2.1 由比例線段產(chǎn)生得函數(shù)關(guān)系問題例 12014 年常德市中考第26 題例 22014 年湘潭市中考第25 題例 32014 年郴州市中考第25 題例 42015 年常德市中考第25 題例 52015 年郴州市中考第26 題例 62015 年邵陽市中考第25 題例 72015 年婁底市中考第26 題例 82016 年郴州市中考第25 題例 92

6、016 年湘西州中考第26 題例 10 2016 年上海市靜安區(qū)青浦區(qū)中考模擬第 25 題例 11 2016 年哈爾濱市中考第 27 題第三部分 圖形運(yùn)動中得計算說理問題§ 3.1 代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進(jìn)行說理問題例 12014 年長沙市中考第25 題例 22014 年懷化市中考第23 題例 32014 年湘潭市中考第26 題例 42014 年株洲市中考第24 題例 52015 年衡陽市中考第27 題例 62015 年婁底市中考第25 題例 72015 年永州市中考第26 題例 82015 年長沙市中考第25 題例92015 年株洲市中考第24 題例10例11例12例13例14&#

7、167; 3.2例15例16例17例18例19例 20例 21例 22例 23例 24例 25例 26例 27§ 4.12016 年懷化市中考第22題2016 年邵陽市中考第25 題2016 年株洲市中考第26題2016 年長沙市中考第25 題2016 年長沙市中考第26 題幾何證明及通過幾何計算進(jìn)行說理問題2014年衡陽市中考第26題2014年婁底市中考第26題2014年岳陽市中考第23題2015 年常德市中考第26 題2015 年益陽市中考第20題2015 年永州市中考第27 題2015 年岳陽市中考第23 題2016 年常德市中考第25 題2016 年衡陽市中考第25題2016

8、 年永州市中考第27 題2016 年岳陽市中考第23 題2016 年株洲市中考第25題2016 年湘潭市中考第25題第四部分 圖形得平移、翻折與旋轉(zhuǎn)圖形得平移例 12015 年泰安市中考第15 題例 22015 年咸寧市中考第14 題例 32015 年株洲市中考第14 題例 4 2016 年上海市虹口區(qū)中考模擬第 18 題§ 4.2 圖形得翻折例 5 2016 年上海市奉賢區(qū)中考模擬第 18 題例 6 2016 年上海市靜安區(qū)青浦區(qū)中考模擬第 18 題例 7 2016 年上海市閔行區(qū)中考模擬第 18 題例 8 2016 年上海市浦東新區(qū)中考模擬第 18 題例 8 2016 年上海市普

9、陀區(qū)中考模擬第 18 題例 102016 年常德市中考第15 題例 11 2016 年張家界市中考第 14 題例 122016 年淮安市中考第18 題例 132016 年金華市中考第15 題例 142016 年雅安市中考第12 題§ 4.3 圖形得旋轉(zhuǎn)例 15 2016 年上海昂立教育中學(xué)生三模聯(lián)考第 18 題例 16 2016 年上海市崇明縣中考模擬第18 題例 17 2016 年上海市黃浦區(qū)中考模擬第18 題例 18 2016 年上海市嘉定區(qū)寶山區(qū)中考模擬第 18 題例 19 2016 年上海市閘北區(qū)中考模擬第18 題例 20 2016 年邵陽市中考第13 題2016 年株洲市中

10、考第4 題例 21§ 4.4例 22例 23例 24例 25例 26例 27例 28例 29例 30§ 4.5例 31例 32例 33例 34例 35例 36例 37例 38例 39§ 4.6三角形2016 年安徽省中考第10題2016 年武漢市中考第10題2016 年河北省中考第16 題2016 年婁底市中考第10 題2016 年蘇州市中考第9 題2016 年臺州市中考第10題2016 年陜西省中考第14題2016 年內(nèi)江市中考第11題2016 年上海市中考第18題四邊形2016 年湘西州中考第11題2016 年益陽市中考第4 題2016 年益陽市中考第6 題2

11、016 年常德市中考第16 題2016 年成都市中考第14 題2016 年廣州市中考第13題2016 年福州市中考第18題2016 年無錫市中考第17題2016 年臺州市中考第15題例 40 2016 年濱州市中考第16 題例 41 2016 年寧波市中考第17 題例 42 2016 年連云港市中考第 16 題例 432016 年煙臺市中考第17題例 442016 年煙臺市中考第18題例 452016 年無錫市中考第18題例 462016 年武漢市中考第9 題例 472016 年宿遷市中考第16 題例 482016 年衡陽市中考第17題例 492016 年邵陽市中考第18題例 502016 年

12、湘西州中考第18題例 512016 年永州市中考第20 題§ 4.7函數(shù)得圖象及性質(zhì)例 522015 年荊州市中考第9 題例 532015 年德州市中考第12 題例 542015 年煙臺市中考第12題例 552015 年中山市中考第10題例 562015 年武威市中考第10 題例 57 2015 年呼與浩特市中考第10 題例 582016 年湘潭市中考第18題例 592016 年衡陽市中考第19題例 602016 年岳陽市中考第15 題例 61 2016 年株洲市中考第9 題例 622016 年永州市中考第19 題例 632016 年岳陽市中考第8 題例 642016 年岳陽市中考第

13、16 題例 652016 年益陽市中考第14 題例 662016 年株洲市中考第10 題例 672016 年株洲市中考第17 題例 682016 年東營市中考第15 題例 692016 年成都市中考第13 題例 702016 年泰州市中考第16 題例 712016 年宿遷市中考第15 題例 722016 年臨沂市中考第14 題例 73 2016 年義烏市紹興市中考第 9 題例 742016 年淄博市中考第12 題例 752016 年嘉興市中考第16 題§ 1.1 因動點(diǎn)產(chǎn)生得相似三角形問題課前導(dǎo)學(xué)相似三角形得判定定理有3 個,其中判定定理1 與判定定理2都有對應(yīng)角相等得條件,因此探求

14、兩個三角形相似得動態(tài)問題,一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等.判定定理 2 就是最常用得解題依據(jù),一般分三步 :尋找一組等角 ,分兩種情況列比例方程,解方程并檢驗(yàn).如果已知/ A=Z D,探求 ABC與 DEF相似，只要把夾/ A與/ D得兩邊表示出來，按 照對應(yīng)邊成比例 ,分與兩種情況列方程.應(yīng)用判定定理1 解題,先尋找一組等角,再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等.應(yīng)用判定定理3 解題不多見,根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組 ）.還有一種情況,討論兩個直角三角形相似,如果一組銳角相等,其中一個直角三角形得銳角三角比就是確定得，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個三角形就是直角三角形得問題求線段得長，要用

15、到兩點(diǎn)間彳#距離公式，而這個公式容易記錯.理解記憶比較好.如圖1,如果已知A、B兩點(diǎn)得坐標(biāo)，怎樣求A、B兩點(diǎn)間得距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB得長了 .水平距離豎直距離AC就就是BC得長就就是A、B兩點(diǎn)間得水平距離，等于A、B兩點(diǎn)得橫坐標(biāo)相減； A、B兩點(diǎn)間得豎直距離，等于A、B兩點(diǎn)得縱坐標(biāo)相減.2014圖1年湖南省衡陽市中考第28題二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)得圖象與x軸交于A( 3, 0)、B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3m)(m> 0),頂點(diǎn)為 D.(1)求該二次函數(shù)得解析式(系數(shù)用含m得代數(shù)式表示);

16、(2)如圖1,當(dāng)m = 2時，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上得一個動點(diǎn)，設(shè)4APC得面積為S,試求出S與點(diǎn)P得橫坐標(biāo)x之間得函數(shù)關(guān)系式及 S得最大值；(3)如圖2,當(dāng)m取何值時，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)得三角形與 OBC相似?圖2動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名14衡陽28”，拖動點(diǎn)P運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AC得中點(diǎn)得正下方時,APC得面積最大.拖動y軸上表示實(shí)數(shù) m得點(diǎn)運(yùn)動，拋物線得形狀會改變， 可以體驗(yàn)到，/ACD與/ ADC都可以成為直角.思路點(diǎn)撥1 .用交點(diǎn)式求拋物線得解析式比較簡便.2 .連結(jié)OPAAPC可以割補(bǔ)為：4AOP與4COP得與，再減去 AOC.3 .討論 ACD與OBC相似，

17、先確定 ACD就是直角三角形，再驗(yàn)證兩個直角三角形就 是否相似.4 .直角三角形ACD存在兩種情況圖文解析(1)因?yàn)閽佄锞€與 x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y=a(x+ 3)(x1).代入點(diǎn) C(0, 3m),得3m = 3a.解得 a= m.所以該二次函數(shù)得解析式為y= m(x+ 3)(x- 1) = mx2+ 2mx- 3m.(2)如圖3,連結(jié)OP.當(dāng) m=2 時,C(0, 6),y=2x2 + 4x6，那么 P(x, 2x2+4x6).由于 Saop= (2x2+4x 6)= 3x2 6x+ 9,字 cop= = _ 3x,Saaoc= 9,所以 S= Sa apc =

18、Sa aop+ Sa cop Saaoc = - 3x2 - 9x=.所以當(dāng)時，S取得最大值，最大彳1為.3m.(3)如圖4,過點(diǎn)D作y軸得垂線，垂足為E.過點(diǎn)A作x軸得垂線交DE于F.由 y = m(x+ 3)(x 1)= m(x+ 1)2 4m,得 D( 1, 4m).在 RtAOBC 中,OB ： OC = 1 ： 3m.如果 ADC與 OBC相似，那么 ADC就是直角三角形，而且兩條直角邊得比為 1 如圖4,當(dāng)/ ACD=90°時,.所以.解得m= 1.此時，.所以.所以 CDAAOBC.如圖5,當(dāng)/ ADC=90°時,.所以.解得. 此時，而.因此 DCA與&am

19、p; OBC不相似. 綜上所述，當(dāng)m= 1時,CDAsOBC.考點(diǎn)伸展第(2)題還可以這樣割補(bǔ)：如圖6,過點(diǎn)P作x軸得垂線與AC交于點(diǎn)H.由直線 AC:y= 2x6，可得 H(x,-2x- 6).又因?yàn)?P(x, 2x2+4x 6),所以 HP = 2x26x.因?yàn)?PAH與/ PCH有公共底邊 HP,高得與為 A、C兩點(diǎn)間得水平距離 3,所以S= SA APC= SaAPH + 5A CPH= (-2x2-6x)例22014 年湖南省益陽市中考第21題如圖 1,在直角梯形 ABCD 中,ABCD,AD，AB,/B=60°,AB=10,BC = 4,點(diǎn) P 沿線段 AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)

20、動，設(shè)AP = x.2icnjy(1)求AD得長;(2)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，就是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)得 三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)得三角形相似？若存在，求出x 得值;若不存在，請說明理由；(3)設(shè)4 ADP與 PCB得外接圓得面積分別為 S1、S2,若 S= S1+S2,求S得最小值、動感體驗(yàn)圖1請打開幾何畫板文件名“ 14益陽21”，拖動點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，圓心。得運(yùn) 動軌跡就是線段 BC得垂直平分線上得一條線段 .觀察S隨點(diǎn)P運(yùn)動得圖象，可以瞧到，S有最 小值,此時點(diǎn)P瞧上去象就是 AB得中點(diǎn)，其實(shí)離得很近而已.思路點(diǎn)撥5 .第(2)題先確定 PCB就是直角三角形，再驗(yàn)證兩個三

21、角形就是否相似 .6 .第(3)題理解 PCB得外接圓彳#圓心 O很關(guān)鍵，圓心O在確定得BC得垂直平分線上， 同時又在不確定得 BP得垂直平分線上.而BP與AP就是相關(guān)得，這樣就可以以AP為自變量, 求S得函數(shù)關(guān)系式.圖文解析(1)如圖2,作CHLAB于H,那么AD = CH.在 RtABCH 中,/B=60°,BC = 4,所以 BH = 2,CH=.所以 AD =.(2)因?yàn)?APD就是直角三角形，如果 APD與 PCB相似，那么 PCB 一定就是直角三 角形.如圖 3,當(dāng)/ CPB=90° 時,AP= 102=8.所以=，而=.此時 APD與 PCB不相似.如圖 4,

22、當(dāng)/ BCP=90° 時,BP = 2BC=8.所以 AP = 2.所以=.所以/ APD = 60° .此時 APDs cbp.綜上所述，當(dāng)x= 2時,APDs CBP.(3)如圖5,設(shè) ADP得外接圓得圓心為 G,那么點(diǎn)G就是斜邊DP得中點(diǎn).設(shè) PCB得外接圓得圓心為 O,那么點(diǎn)O在BC邊得垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交 于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)F.設(shè) AP=2m.作 OMBP 于 M,那么 BM=PM=5m.在 RtBEF 中,BE=2,/B=60° ,所以 BF = 4.在 RtAOFM 中,FM = BF BM=4(5m)=m 1,/OFM = 30

23、76; 所以O(shè)M = .所以 OB2=BM2+OM2=.在 RtAADP 中,DP2= AD2+AP2= 12+4m2.所以 GP2=3+m2.于就是 S= Si+S2= 4GP2 + OB2)所以當(dāng)時，S取得最小值，最小彳1為.圖5圖6考點(diǎn)伸展關(guān)于第(3)題我們再討論個問題.問題1,為什么設(shè) AP = 2m呢？這就是因?yàn)榫€段 AB = AP + PM + BM = AP + 2BM=10.這樣BM = 5m,后續(xù)可以減少一些分?jǐn)?shù)運(yùn)算 .這不影響求S得最小值.問題2,如果圓心O在線段EF得延長線上，S關(guān)于m得解析式就是什么？如圖6,圓心O在線段EF得延長線上時，不同得就是FM = BM-BF=

24、 (5-m)-4=1-m.此時OB2=BM2+OM2=.這并不影響S關(guān)于m得解析式.2015年湖南省湘西市中考第26題如圖1,已知直線y=x+ 3與x軸、y軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，拋物線y= x2+bx+c經(jīng) 過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個單位得速度勻速運(yùn)動；同時, 點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒個單位得速度勻速運(yùn)動，連結(jié)PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.(1)求拋物線得解析式；(2)問:當(dāng)t為何值時,AAPQ為直角三角形；(3)過點(diǎn)P作PE/y軸，交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF/y軸, 交拋物線于點(diǎn)F,連結(jié)EF,當(dāng)EF/PQ時，求點(diǎn)F得坐標(biāo)；(4)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為

25、M,連ZBP、BM、MQ,問:就是否 存在t得值，使以B、Q、M為頂點(diǎn)得三角形與以 O、B、P 為頂點(diǎn)得三角形相似？若存在，請求出t得值;若不存在，請 說明理由. 圖1 動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“1相西26”拖動點(diǎn)P在OA上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到 QAPQ有兩個時刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有一個時刻可以成為平行四邊形,MBQ與ABOP有一次機(jī)會相似.思路點(diǎn)撥1 .在 APQ中，/A=45。，夾/ A得兩條邊AP、AQ都可以用t表示,分兩種情況討論直角 三角形APQ.2 .先用含t得式子表布點(diǎn)P、Q得坐標(biāo)，進(jìn)而表布點(diǎn)E、F得坐標(biāo)，根據(jù)PE=QF列方程就 好了 .3.A MBQ與 BOP都

26、就是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論圖文解析(1)由 y= x+3，得 A(3, 0),B(0, 3).將A(3, 0)、B(0, 3)分別代入y=-x2+bx+ c,得 解得所以拋物線得解析式為 y=-x2+ 2x+ 3.(2)在 APQ 中,/PAQ=45° ,AP = 3-t,AQ = t.分兩種情況討論直角三角形APQ:當(dāng)/ PQA = 90° 時,AP = AQ.解方程 3 t=2t,得 t= 1(如圖 2).當(dāng)/QFA=90° 時,AQ = AP.解方程 t=(3t),得 t=1、5(如圖 3).(3)如圖4,因?yàn)镻E/QF,當(dāng)EF/PQ

27、時,四邊形EPQF就是平行四邊形所以 EP=FQ.所以 yEyp=yFyQ.因?yàn)?xp= t,xQ = 3 t,所以 yE= 3 t,yQ= t,yF= (3 t)2+ 2(3 t) + 3 = t2+ 4t.因?yàn)閥Eyp= yFyQ,解方程3 t = (- t2+4t)t,得t = 1,或t= 3(舍去).所以點(diǎn)F得坐標(biāo)為(4)由 y = x2+ 2x+ 3=- (x- 1)2+ 4,得 M(1,4).由A(3, 0)、B(0, 3),可知A、B兩點(diǎn)間得水平距離、豎直距離相等，AB=3.由B(0, 3)、M(1,4),可知B、M兩點(diǎn)間得水平距離、豎直距離相等,BM = .所以/ MBQ =/

28、 BOP = 90° .因此 MBQ與 BOP相似存在兩種可能：當(dāng)時，.解得(如圖5).當(dāng)時，.整理，得t23t+3 = 0.此方程無實(shí)根.考點(diǎn)伸展第(3)題也可以用坐標(biāo)平移得方法：由P(t, 0),E(t, 3 t),Q(3t, t),按照P-E方向，將點(diǎn)Q向上平移彳導(dǎo)F(3 t, 3).再將 F(3 t, 3)代入y= x2+2x+ 3,得t= 1,或t=3.§ 1.2 因動點(diǎn)產(chǎn)生得等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先回顧兩個畫圖問題：1 .已知線段AB=5厘米,以線段AB為腰得等腰三角形 ABC有多少個？頂點(diǎn) C得軌跡就 是什么？2 .已知線段AB= 6厘米，以線段AB為底邊

29、得等腰三角形 ABC有多少個？頂點(diǎn) C得軌跡 就是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點(diǎn)以外，都就是頂點(diǎn)C.已知底邊畫等腰三角形，頂角得頂點(diǎn)在底邊彳#垂直平分線上，垂足要除外.在討論等腰三角形彳#存在性問題時，一般都要先分類.如果 ABC就是等腰三角形，那么存在AB= AC,BA= BC,CA=CB三種情況.解等腰三角形得存在性問題，有幾何法與代數(shù)法，把幾何法與代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解 題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算.哪些題目適合用幾何法呢?如果 ABC得/ A（得余弦值）就是確定得，夾/ A得兩邊AB與AC可以用含x得式子表示 出來，那么就用幾何法.如圖1,如果

30、AB = AC,直接列方程；如圖2,如果BA=BC,那么;如圖3,如果CA=CB, 那么.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn).如果三角形得三個角都就是不確定得，而三個頂點(diǎn)得坐標(biāo)可以用含x得式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間得距離公式，三邊長（得平方）就可以羅列出來.2014年長沙市中考第26題如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c就是常數(shù)，aw0)得對稱軸為y軸,且經(jīng)過(0,0)與兩 點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心得。P總經(jīng)過定點(diǎn) A(0, 2).求a、b、c得值；(2)求證:在點(diǎn)P運(yùn)動得過程中，OP始終與x軸相交；(3)設(shè)。P與x軸相交于M(xi, 0)、N(

31、x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng) AMN為等腰三角形時，求圓心P得縱 坐標(biāo).動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“ 14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，圓與x 軸總就是相交得，等腰三角形AMN存在五種情況.思路點(diǎn)撥1 .不算不知道，一算真奇妙，原來。P在x軸上截得得弦長 MN=4就是定值.2.等腰三角形 AMN存在五種情況，點(diǎn)P得縱坐標(biāo)有三個值，根據(jù)對稱性，MA=MN與NA =NM時，點(diǎn)P得縱坐標(biāo)就是相等得.圖文解析(1)已知拋物線得頂點(diǎn)為(0,0)，所以y= ax2所以b=0,c= 0.將代入y= ax2,得.解得(舍去了負(fù)值).(2)拋物線得解析式為，設(shè)點(diǎn)P得坐標(biāo)為.已知A(0, 2),所以

32、 .而圓心P到x軸得距離為，所以半徑PA圓心P到x軸得距離.所以在點(diǎn)P運(yùn)動得過程中，OP始終與x軸相交.(3)如圖2,設(shè)MN得中點(diǎn)為H,那么PH垂直平分 MN.在 RtAPMH 中,，所以 MH2=4.所以MH = 2.因此MN = 4,為定值.等腰 AMN存在三種情況：如圖3,當(dāng)AM = AN時，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合,此時點(diǎn)P得縱坐標(biāo)為0.圖3如圖 4,當(dāng) MA=MN 時，在 RtA AOM 中,OA= 2,AM = 4,所以 OM = 2.此時x= OH =2.所以點(diǎn)P得縱坐標(biāo)為.如圖5,當(dāng)NA=NM時,根據(jù)對稱性，點(diǎn)P得縱坐標(biāo)為也為.圖4如圖 6,當(dāng) NA=NM = 4 時，在 RtAAON

33、 中,OA= 2,AN= 4,所以 ON=2.此時x= OH =2.所以點(diǎn)P得縱坐標(biāo)為.如圖7,當(dāng)MN = MA = 4時，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P得縱坐標(biāo)也為.考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心得。P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0, 1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動得過 程中，。P始終與直線y= 1相切.這就是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P得坐標(biāo)為.已知B(0, 1)，所以.而圓心P到直線y=1得距離也為，所以半徑PB=圓心P到直線y= 1得距離.所以 在點(diǎn)P運(yùn)動得過程中,。P始終與直線y = 1相切.例102014年湖南省張家界市中考第25題如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y= ax2+bx+c(aw 0)過。、B

34、、C 點(diǎn),B、C坐標(biāo)分別為(10, 0)與，以O(shè)B為直徑得。A經(jīng)過C點(diǎn)，直線l垂直x軸于B點(diǎn).(1) 求直線BC 得解析式 ;(2) 求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);點(diǎn)M就是O A上一動點(diǎn)(不同于 O、B),過點(diǎn)M作。A得切線，交y軸于點(diǎn)E,交直線l于點(diǎn)F,設(shè)線段ME長為m,MF長為n,請猜想mn得值,并證明您得結(jié) 論;(4)若點(diǎn) P 從 O 出發(fā) ,以每秒1 個單位得速度向點(diǎn)B 作直線運(yùn)動,點(diǎn) Q 同時從 B 出發(fā) ,以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動，經(jīng)過1(018)秒時恰好使 BPQ為等腰三角形,請求出滿足條件得t 值 .圖圖1動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“ 14張家界25”，拖動點(diǎn)M在圓上運(yùn)動，可以

35、體驗(yàn)到,AEAF保持 直角三角形得形狀 AM就是斜邊上得高.拖動點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到BPQ有三個時 刻可以成為等腰三角形.思路點(diǎn)撥1 .從直線BC得解析式可以得到/ OBC得三角比，為討論等腰三角形 BPQ作鋪墊.2 .設(shè)交點(diǎn)式求拋物線得解析式比較簡便.3 .第 (3)題連結(jié)AE、 AF 容易瞧到 AM 就是直角三角形EAF 斜邊上得高.4.第(4)題得 PBQ中,/ B就是確定得，夾/ B得兩條邊可以用含t得式子表示.分三種情 況討論等腰三角形.圖文解析(1)直線BC 得解析式為.(2)因?yàn)閽佄锞€與 x軸交于O、B(10, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y=ax(x10).代入點(diǎn)C,得.解得.所以 .

36、拋物線得頂點(diǎn)為 .(3)如圖2,因?yàn)镋F切。A于M,所以AMXEF.由 AE= AE,AO = AM,可得 RtA AOE RtAAME .所以/ 1 = Z 2.同理/ 3=/ 4.于就是可得/ EAF = 90° .所以/ 5=/ 1.由 tan / 5= tan/1,得.所以 ME MF = MA2,即 mn=25.(4)在 BPQ 中,cos/B = ,BP= 10t,BQ = t.分三種情況討論等腰三角形BPQ：如圖3,當(dāng)BP=BQ時,10t=t.解得t=5.如圖4,當(dāng)PB=PQ時，.解方程，得.如圖5,當(dāng)QB=QP時，.解方程 相.考點(diǎn)伸展A.在第(3)題條彳下，以EF為

37、直徑得。G與x軸相切于點(diǎn)如圖6,這就是因?yàn)锳G既就是直角三角形 EAF斜邊上彳#中線，也就是直角梯形 EOBF得 中位線，因此圓心G到x軸得距離等于圓得半徑，所以。G與x軸相切于點(diǎn)A.例112014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2 (m+n)x+mn( m>n)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A 位于點(diǎn)B得右側(cè)，與y軸相交于點(diǎn)C.(1)若m= 2, n= 1,求A、B兩點(diǎn)得坐標(biāo)；(2)若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸得兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)就是(0, 1)，求/ ACB得大??；(3)若m= 2, ABC就是等腰三角形，求n得值.動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“ 14邵陽26”，點(diǎn)擊屏

38、幕左下方得按鈕(2),拖動點(diǎn)A在x軸正半 軸上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到， ABC保持直角三角形得形狀.點(diǎn)擊屏幕左下方得按鈕(3),拖動點(diǎn)B在 x軸上運(yùn)動，觀察 ABC得頂點(diǎn)能否落在對邊得垂直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰三角形ABC有4種情況.思路點(diǎn)撥1 .拋物線得解析式可以化為交點(diǎn)式，用m,n表示點(diǎn)A、B、C得坐標(biāo).2 .第（2）題判定直角三角形 ABC,可以用勾股定理得逆定理，也可以用銳角得三角比3.第（3）題討論等腰三角形 ABC,先把三邊長（得平方）羅列出來，再分類解方程.圖文解析(1)由 y=x2-(m+ n)x+mn= (x m)(x n),且 m>n,點(diǎn) A位于點(diǎn) B 得右側(cè),可知 A

39、(m, 0),B(n, 0).若 m=2,n=1,那么 A(2, 0),B(1,0).(2)如圖1,由于C(0, mn),當(dāng)點(diǎn)C得坐標(biāo)就是(0,1),mn= 1,OC = 1.若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸得兩側(cè)，那么OA OB = m(n)=mn= 1.所以O(shè)C2 = OA OB.所以.所以 tan/ 1 = tanZ 2.所以/ 1 = / 2.又因?yàn)? 1與/ 3互余，所以/ 2與/ 3互余.所以/ ACB = 90° .圖1圖2在4ABC 中，已知 A（2, 0）,B（n, 0）,C（0, 2n）.討論等腰三角形ABC,用代數(shù)法解比較方便：由兩點(diǎn)間得距離公式，得AB2= (n-2)

40、2,BC2= 5n2,AC2= 4+ 4n2.當(dāng)AB = AC時,解方程（n2）2= 4+ 4n2,得（如圖2）.當(dāng)CA = CB時,解方程4+4n2=5n2,#n=-2（如圖3）,或n=2（A、B重合，舍去）.當(dāng)BA=BC時,解方程（n2）2=5n2,得（如圖4）,或（如圖5）.考點(diǎn)伸展第（2）題常用得方法還有勾股定理得逆定理由于C(0, mn),當(dāng)點(diǎn)C得坐標(biāo)就是(0,1),mn= 1.由 A(m, 0),B(n, 0),C(0, 1),得 AB2= (m n)2= m2 2mn+ n2= m2 + n2 + 2,BC2= n2+ 1,AC2= m2+ 1.所以 AB2=BC2+AC2 于就

41、是得到 RtAABC,/ACB= 90°第(3)題在討論等月三角形 ABC時，對于CA=CB得情況，此日A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱， 可以直接寫出 B( 2, 0),n=- 2.例122014年湖南省婁底市中考第27題如圖1,在 ABC中,/ ACB = 90°,AC=4cm,BC = 3cm.如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們得速度均為1cm/s.連結(jié)PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0vt<4),解答下列問題設(shè)4APQ得面積為S,當(dāng)t為何值時，S取得最大值？ S得最大值就是多少?圖1圖2當(dāng)t為何值時 AAPQ就是(2

42、)如圖2,連結(jié)PCA PQC沿QC翻折，得到四邊形 PQP C,當(dāng)四邊形PQP C為菱形時 求t得值；動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“ 14婁底27”，拖動點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動 到AB得中點(diǎn)時，4APQ得面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況.還可以體驗(yàn)到，當(dāng)QC = 2HC時,四邊形PQPC就是菱形.思路點(diǎn)撥1 .在 APQ中，/ A就是確定得，夾/ A得兩條邊可以用含t得式子表示.2.四邊形PQP C得對角線保持垂直，當(dāng)對角線互相平分時，它就是菱形,.圖文解析在 RtAABC 中,AC = 4,BC= 3,所以 AB= 5,sinA= ,cosA=.作 QDAB 于 D,

43、那么 QD = AQ sinA= t.所以 S= SbAPQ= = = =.當(dāng)時,S取得最大值，最大值為.(2)設(shè) PP'與 AC 交于點(diǎn) H,那么 PP' ± QC,AH = APcosA=.如果四邊形PQPC為菱形，那么PQ=PC.所以QC = 2HC.解方程，得.圖3圖4(3)等腰三角形APQ存在三種情況：如圖5,當(dāng)AP=AQ時,5t=t.解得.如圖6,當(dāng)PA=PQ時，.解方程，得.如圖7,當(dāng)QA=QP時，.解方程，得.圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展在本題f#境下，如果點(diǎn)Q就是 PP C得重心，求t得值.如圖8,如果點(diǎn)Q就是 PPC得重心，那么QC=HC.解方程，得.圖8

44、例132015年湖南省懷化市中考第22題如圖1,已知RtAABC中，/C=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)P以每秒1個單位得速度從 A向C 運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位得速度從 A- B-C方向運(yùn)動，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn) P、Q運(yùn)動得時間為t秒.(1)在運(yùn)動過程中，求P、Q兩點(diǎn)間距離得最大值；(2)經(jīng)過t秒得運(yùn)動，求 ABC被直線PQ掃過得面積S與時間t得函數(shù)關(guān)系式；(3)P,Q兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，就是否存在時間t,使得 PQC為等腰三角形.若存在，求出此時 得t值，若不存在，請說明理由.(,結(jié)果保留一位小數(shù))A PC圖1動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“ 15懷化22”，拖動點(diǎn)P在

45、AC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，PQ與BD保 持平行，等腰三角形PQC存在三種情況.思路點(diǎn)撥1 .過點(diǎn)B作QP得平行線交AC于D，那么BD得長就就是PQ得最大值.2 .線段PQ掃過得面積S要分兩種f#況討論，點(diǎn)Q分別在AB、BC上.3 .等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長.圖文解析在 RtAABC 中,AC=8,BC= 6,所以 AB= 10.如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時作BD/PQ交AC于點(diǎn)D,那么.所以AD=5.所以CD = 3.如圖3,當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時,.又因?yàn)?，所?因此PQ/BD.所以PQ得最大值就就是 BD.在RtABCD中,BC=6,CD=3,所以BD=.所以PQ得最大值就是.AP

46、QC ADP CAH圖2圖3圖4(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時,0V tW5,S3=15.由 AQPs/ ABD,得.所以 S= Saaqp=.如圖3,當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時,5<tW8,SAabc=24.因?yàn)?SaCQP= = =,所以 S= Sa ABC 一 Sa cqp= 24 (t 8)2= - t2+ 16t 40.(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時,CQ = 2CP,/C=90°,所以 PQC不可能成為等腰三角形 當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，我們先用t表示 PQC得三邊長：易知CP = 8-t.如圖2,由QP/BD,得，即.所以.如圖 4,作 QH LAC 于 H.在 RtAQH 中,

47、QH = AQ sin/A=,AH=.在RtCQH中，由勾股定理，得CQ = =.分三種情況討論等腰三角形 PQC:當(dāng)PC =PQ時,解方程，得美、4(如圖5所示).當(dāng)QC= QP時,.整理得.所以(11t 40)(t 8)= 0.解得 3 6(如圖6所示)，或t= 8(舍去).當(dāng)CP=CQ時,.整理，得.解得=3、2(如圖7所示)，或t= 0(舍去).綜上所述，當(dāng)t得值約為3、4,3、6,或等于3、2時,APQC就是等腰三角形圖7考點(diǎn)伸展第(1)題求P、Q兩點(diǎn)間距離得最大值，可以用代數(shù)計算說理得方法如圖8,當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時,PQ= =.當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t=5,PQ得最大值為如圖

48、9,當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時,PQ=.當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t=5,PQ得最大值為 綜上所述，PQ得最大值為.圖8圖9§ 1.3 因動點(diǎn)產(chǎn)生得直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先瞧三個問題：1 .已知線段AB,以線段AB為直角邊得直角三角形 ABC有多少個？頂點(diǎn) C得軌跡就是什 么？2 .已知線段AB,以線段AB為斜邊得直角三角形 ABC有多少個？頂點(diǎn) C得軌跡就是什 么？3 .已知點(diǎn)A(4,0)，如果 OAB就是等腰直角三角形，求符合條件得點(diǎn) B得坐標(biāo).圖3圖1圖2如圖1,點(diǎn)C在垂線上，垂足除外.如圖2,點(diǎn)C在以AB為直徑得圓上,A、B兩點(diǎn)除外.如圖3,以O(shè)A為邊畫兩個正方形，除了 O、A

49、兩點(diǎn)以外得頂點(diǎn)與正方形對角線得交點(diǎn)，都就是符合題意得點(diǎn)B,共6個.解直角三角形得存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根.一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.有時根據(jù)直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半列方程更簡便解直角三角形得問題，常常與相似三角形、三角比得問題聯(lián)系在一起.如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行得直線，可以構(gòu)造兩個新得相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便.如圖4,已知A(3, 0),B(1,4)，如果直角三角形 ABC得頂點(diǎn)C在y軸上，求點(diǎn)C得坐標(biāo).我們可以用幾何得方法，作AB為直徑得圓

50、，快速找到兩個符合條件得點(diǎn)C.如果作BDy軸于D,那么 AOCs CDB.設(shè)OC = m,那么.這個方程有兩個解 ，分別對應(yīng)圖中圓與y軸得兩個交點(diǎn).圖4例192015年湖南省益陽市中考第21題如圖1,已知拋物線E<y=x2經(jīng)過點(diǎn)A(1,m),以原點(diǎn)為頂點(diǎn)得拋物線 E2經(jīng)過點(diǎn)B(2,2)，點(diǎn)A、 B關(guān)于y軸得對稱點(diǎn)分別為點(diǎn) A'、B'.(1)求m得值及拋物線 E2所表示得二次函數(shù)得表達(dá)式；(2)如圖1,在第一象限內(nèi)，拋物線E1上就是否存在點(diǎn) Q,使得以點(diǎn)Q、B、B為頂點(diǎn)得三角 形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q得坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2,P為第一象限內(nèi)得拋物線

51、日上與點(diǎn)A不重合彳#一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點(diǎn)P；求4PAA與APB得面積之比.動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名 “15益陽21”，拖動點(diǎn)P在拋物線Ei上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P始 終就是線段OP得中點(diǎn).還可以體驗(yàn)到，直角三角形 QBB有兩個.思路點(diǎn)撥1 .判斷點(diǎn)P就是線段 OP得中點(diǎn)就是解決問題得突破口 ，這樣就可以用一個字母表示點(diǎn) P、P得坐標(biāo).2 .分別求線段 AA'： BB,點(diǎn)P至ij AA得距離：點(diǎn) P '到BB得距離，就可以比較 PAA與 PBB得面積之比.圖文解析當(dāng) x = 1 時,y=x2= 1,所以 A(1, 1),m= 1.設(shè)拋物線E2得表達(dá)式為y=

52、 ax2代入點(diǎn)B(2,2)，可得a=.所以y=x2(2)點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)得拋物線E1上，直角三角形QBB存在兩種情況：圖3圖4如圖3,過點(diǎn)B作BB'得垂線交拋物線 E1于Q,那么Q(2, 4).如圖4,以BB'為直徑得圓D與拋物線E1交于點(diǎn)Q,那么QD = = 2.設(shè) Q(x, x2)，因?yàn)?D(0, 2),根據(jù) QD2=4 列方程 x2+(x22)2=4.解得x=.此時Q.(3)如圖5,因?yàn)辄c(diǎn)P、P分別在拋物線 E1、E2上，設(shè)P(b, b2),P(c,).因?yàn)镺、P、P'三點(diǎn)在同一條直線上，所以，即.所以 c=2b.所以 P(2b, 2b2).如圖 6,由 A(1,

53、 1)、B(2,2)，可得 AA'= 2,BB'= 4.由A(1, 1)、P(b, b2),可得點(diǎn)P到直線AA得距離PM '= b2-1.由B(2,2)、P(2b, 2b2),可得點(diǎn)P到直線BB得距離PN'= 2b2-2.所以 PAA與 PBB 得面積比=2(b2 1) ： 4(2b2 2)= 1 : 4.圖5圖6考點(diǎn)延伸第(2)中當(dāng)/ BQB'= 90。時，求點(diǎn)Q(x, x2)得坐標(biāo)有三種常用得方法方法二，由勾股定理，得BQ2+ B'Q2= B B2.所以(x- 2)2+ (x2 2)2+ (x+ 2)2+ (x2-2)2= 42.方法三，作Q

54、HLBB于H,那么QH2 = BH - BH.所以(x22)2= (x+2)(2 x).例202015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1,二次函數(shù)y=x2+bx+c得圖象與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC.動點(diǎn)P以每秒1個單位長度得速度從點(diǎn) A向點(diǎn)B運(yùn)動，動點(diǎn)Q以每秒個單位長度 得速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動,P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，連結(jié)PQ,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時,P、Q兩點(diǎn)同時 停止運(yùn)動 設(shè)運(yùn)動得時間為t秒.(1)求二次函數(shù)得解析式；(2)如圖1,當(dāng)4 BPQ為直角三角形時，求t得值；(3)如圖2,當(dāng)t<2時，延長QP交y軸于點(diǎn)M,在拋物線上就是否存在一點(diǎn)N,使得PQ得中點(diǎn)恰為MN得中點(diǎn) 若存在，求出點(diǎn)N得坐標(biāo)與t得值;若不存在，請說明理由.