最新高三數(shù)學第一輪復習《-等比數(shù)列及其前n項和》-講義

1、精品文檔等比數(shù)列及其前n項和要點自主梳理i.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ,通常用字母 表示(qw0).從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)公比 q從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù).2 .等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列an的首項為ai,公比為q,則它的通項 an=.ai qn 13 .等比中項4 .等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù) G,使a, G, b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.G2=a b (abw 0)5 .等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：, (n, mC N*).

2、qn m(2)若an為等比數(shù)列，且 k+l=m + n, (k, l, m, nCN*),則 ak ai = am an.若an, bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則入n(Xw 0),a ,a2,anbn,bn仍是等比數(shù)列.(4)單調(diào)性：a"。'或a"。？an是數(shù)列；遞增q>10<q<1ai>0,a1 <0或 ？ an是數(shù)列；遞減0<q<1q>1q=1? an是常數(shù)列；q<0? an是擺動 數(shù)列.6 .等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(qw0),其前n項和為Sn,當 q = 1 時，Sn= na1；當qw

3、1時，G=曳1二或=a31 - q 1 - q7 .等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為一1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,則Sn, S2n-Sn, S3n S2n仍成等比數(shù)列，其公比為. qn8 .等差數(shù)列與等比數(shù)列的關系是：(1)若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；(2)若an是等比數(shù)列，且an>0,則lg an構(gòu)成等差數(shù)列.9 .思想與方法：(1)等比數(shù)列的判定方法：定義：史匚=q (q是不為零的常數(shù)，nC N*)? an是等比數(shù)列.an等比中項法：a2+1 = an an+2(an an+1 an+2W0, nC N )? an是等比數(shù)列.通項公式：an= cq

4、n 1 (c、q均是不為零的常數(shù)，n C N*)? an是等比數(shù)列.(2)等比數(shù)列的前n項和&是用錯位相減法求得的，注意這種方法在數(shù)列求和中的運用.(3)在利用等比數(shù)列前 n項和公式時，如果不確定 q與1的關系，一般要用 分類討論的思 想，分公比q=1和qw1兩種情況；計算等比數(shù)列前n項和過程中要注意 整體代入的思想 方法.常 把qn, 工當成整體求解.1 qnai 1 qai anq(4)等比數(shù)列的通項公式 an = aiqn-1及前n項和公式 Sn=(qwi)共涉及五1 - q 1 - q個量a1, an, q, n, Sn,知三求二，體現(xiàn)了 方程的思想的應用.(5)揭示等比數(shù)列的

5、特征及基本量之間的關系.利用函數(shù)、方程的觀點和方法，討論單調(diào)性時，要特別注意首項和公比的大小 基礎自測1, “b = &C”是“a、b、c成等比數(shù)列”的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2 .若數(shù)列an的前n項和Sn=3n-a,數(shù)列an為等比數(shù)列，則實數(shù) a的值是()A. 3B. 1C. 0D. - 13 .已知等比數(shù)列an的前三項依次為a-2, a+ 2, a+8,則an等于()323.2A. 8 2 nB. 8 3n C. 82n 1D. 8 q n 14 .在等比數(shù)列an中，an>0, a2a4+2a3a5+a4a6= 25,則

6、 a3+a5的值為.55 .在等比數(shù)列an中，a1+a2=30, a3+a4=60,則 a7+a8=240 .6 .在等比數(shù)列an中，前n項和為Sn,若S3=7, S6 = 63,則公比q的值是 ()A .2B.-2C.3D.-3題型一等比數(shù)列的基本量的運算例1 (1)在等比數(shù)列an中，已知a6- a4= 24, a3a5=64,求an的前8項和S8;(2)設等比數(shù)列an的公比為q (q>0),它的前n項和為40,前2n項和為3 280,且前n項中數(shù)值最大的項為27,求數(shù)列的第2n項.解(1)設數(shù)列an的公比為q,由通項公式an= aq1及已知條件得:a6a4=a1q3 q2- 1=24

7、,a3 a5= a1q3 2= 64.由得a1q3=±8.將aIq3=8代入式，得q2= - 2,無解，故舍去將 a1q3 = 8 代入式，得 q2 = 4, .q=j2.a1 1 q8當 q=2 時，a=1,Ss=255;1 q a1 1 q8當 q=-2時'a-1'=85.(2)若 q=1,貝U na1=40,2na1=3 280,矛盾.精品文檔nai 1 qi-q= 40,ai 1q2n_=3 280, i-q,得:1 + qn= 82,-79=81,將代人得q=1+2a1.又q>0,q>1, a1>0, an為遞增數(shù)列./. an= a1qn

8、 1= 27,由、得 q = 3, a = 1, n=4. ' a2n = a8= 1 ><37 = 2 1 87.探究提高(1)對于等比數(shù)列的有關計算問題，可類比等差數(shù)列問題進行，在解方程組的過程中要注意“相除”消元的方法，同時要注意整體代入(換元)思想方法的應用.(2)在涉及等比數(shù)列前 n項和公式時要注意對公比q是否等于1進行判斷和討論.變式訓練1 (1)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S4=1, S3= 17,求an的通項公式.1.，1-an=15 2n n32 1 2 nn 1 = 26 n. Sn=1-2方法二 - a1a5= a2a4= a3,a2a6= a

9、3a5,a3a7= a4a6= a5, 或 an= 5 (2)n 1(2)已知正項等比數(shù)列 an中，aa5+2a2a6+a3a7= 100, a2a42a3a5+a4a6= 36,求數(shù)列an 的通項an和前n項和Sn.本例可將所有項都用 a1和q表示，轉(zhuǎn)化為關于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化.解方法一由已知得：a2q4+2a2q6+a2q8=100,a2q4- 2a2q6+ a2q8= 36.一，得 4a2q6= 64,，a2q6=16.代入，得當+2* 16+16q2= 100.解得q2=4或q2=；q4. 一一 .1又數(shù)列an為正項數(shù)列，.1.

10、q = 2或2.11i(1-2n)1當 q = 2 時，可得a1 = 1, .an = ；X2n-1=2n-2,Sn=2n-1一七-1 , 一)當 q = 2時，可得 a1=32.an = 32X= 64 - 26 n.22122a1a5+ 2a2a6 + a3a7= 100, Ia2a4 2a3a5 + a4a6= 36,(a3+ a5)2= 100,即(a3 a5)2= 36.a3+ 2a3a5+ a2= 100, 可得a3 2a3a5+ a5= 36,a3+a5=10,a3=8,a3=2,解得或a3 a5= i6.a5 = 2 )a5= 8.當 a3=8, a5=2 時，q2= a=|

11、= '7. a3 8 41工2 c q>0,7=5，由 a3=aiq2=8,-1得 ai = 32,，an = 32X2 n一1 = 26n.一 一 132 - 26>2&=1-=64-26 n.1 -1 2當 a3=2, a5=8 時，q2=8=4,且 q>0,，q=2.2 1由 a3= a1q2,得 a1 = 4 = 2.12.12(2nT)an =、X2n一1=2n2. Sn =2n一一2 2-1(3)在等比數(shù)列an中，a + an = 66, a2 an-1=128, Sn=126,求 n 和 q.解由題意得a1 = 64, 解得an = 2a1= 2

12、, an= 64.a2 an 1 = a1 an = 128,a1 + an= 66,a1=64，a1 anq 64 2q若則 Sn= 126 ,an= 2,1 q 1 q. 一 1. .1 一，解得 q=2,此時，an =2= 64 2 n-1，n=6.a1 2,2 64q若貝U Sn=126, .1.q=2.-.an= 64=2 2n l.，n=6.an=64,1 一q綜上n= 6, q= 2或2.題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用2512, a3+a8=124,且公比為整數(shù)，求aio;(2)若已知 a3a4a5= 8, 求 a2a3a4a5a6 的值.在等比數(shù)列an中，（1）已知a4a7=一a3

13、 a8= 512解 (1) a4 a7= a3 a8= 512,a3+ a8= 124a3= 4a3= 128解之得或a8= 128a8= 一 4a3= 4當a8=128時,q5=a；= 32, .-.q=-2. a3a3，a1 = R= 1,q.a1o = a1q9= 1 乂 ( 2)9=512.a3= 128當a8= 4時,q5=a3a812一，1 又 q為整數(shù)，. q= 2舍去.綜上所述：aio= 512.(2) ; a3a4a5= 8, 又 a3a5 = a4, - a3= 8, a4 = 2.a2a3a4a5a6= a5= 25= 32.探究提高在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘

14、隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n = p+q,則am an= ap aq"，可以減少運算量，提高解題速度變式訓練2 (i)在等比數(shù)列an中， 若 aia2a3a4 = i, ai3a14a15ai6= 8, 求 a41a42a43a44.aia2a3a4= aiaiqaiq2aiq3= a4q6= i.ai3a14a15ai6= aiq12 aiq13 aiq14 aiq15 = a4 q54= 8.a4 a54“O: VqT=q48=8? qi6=2,又 a41a42a43a44= aiq40 aiq4i aiq42 aiq43=a4 qi66=a4 q6 qi60= (a

15、4 q6) (qi6)i0= i 2i0=i 024.(2)已知等比數(shù)列an中，有a3aii =4a7,數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7=a7,求b5+b9的值;a3aii = a2= 4a7, a7W0, 1. a7= 4, ，b7=4,.bn為等差數(shù)列，b5+ b9=2b7 = 8.在等比數(shù)列an中，ai+a2+a3+a4+a5= 8,且°+°+工+工+工=2,求a3. ai a2 a3 a4 a5解 由已知得工+工+工+工+工=里上a5+a!史+日ai a2a3 a4 a5aia5a2a4a3ai + a2+ a3 + a4 + a58a2=3=2, a2= 4, a3=

16、=2.若a3=2,設數(shù)列的公比為 q一 2 - 2i i則-q2- + -q- 2-2q-2q2=8,即京+；+i + q + q2=1+1 2+ q+ 1 2+1 = 4q 2 q 22此式顯然不成立，經(jīng)驗證，a3=2符合題意，故a3=2.題型三等比數(shù)列的定義及判定3設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知ai=1,Sn+1=4an+2.設bn=an+1 2an,證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式.解題導引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法：=q (q為與n值無關白常數(shù))(n C N*).ana2+1 = anan+2 (anW 0, n C N ).(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列

17、，可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明，也可用反證 法.(1)證明 由已知有 a1+a2=4a1+2,解得 a2=3a + 2=5, 故 b = a2 - 2a1= 3.又 an + 2= Sn + 2 Sn+1 = 4an+1 + 2(4an + 2)= 4an+1 4an,于是 an + 2 2an+1= 2(an + 1 2an),即 bn+1 = 2bn.因此數(shù)列bn是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知等比數(shù)列bn中b1 = 3,公比q = 2,，廣an- 1 -th an+1 an 3所以 an+12an = 3X2 1,于是 2n + 1 2n=4，因此數(shù)列旨是

18、首項為1,公差為4的等差數(shù)列,14'an 13 3清 2+ (n-1)X4 = 4n-所以 an=(3n1) 2n 2變式訓練3(1)已知數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn,數(shù)列bn中，b1=a1，bn= an an 1 (n>2),且 an+ Sn= n.設Cn= an - 1 ,求證：cn是等比數(shù)列；求數(shù)列 bn的通項公式.(1)證明an + Sn= n,an+1 + Sn +1 = n+ 1.一得an+ 1 an +an+ 1=1,an+1 1an 12an+ 1= an+ 1 ,2(an+ 1- 1) = an 1,1.2， an 1 ZE等比數(shù)列斗士11,1首項 c1=a

19、11,又 a+a1=1,，a1 = 2，6 = q,公比 q =一1 ,、，一 1 又Cn = an 1,，Cn是以一1為首項，Q為公比的等比數(shù)列.11 .1c(2)解由(1)可知 Cn= -2IQ n =- 2 an = Cn+ 1=1 Q n.，.一1 一 1 一，當 n>2 時，bn=an-an 1 = 1- 11n 1 2_ 1 n 1_ 1 n_ 1 n 2 2 2 .一1 1c又b = a = 2代入上式也付合， - bn= 2 .能合并的必須合探究提高注意(2)問中要注意驗證 n=1時是否符合n>2時的通項公式,并.(2)已知數(shù)列 an的首項a=5,前n項和為Sn,且

20、Sn+1= 2Sn+n+5, nC N*.證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列；求an的通項公式以及 Sn.證明 由已知 Sn+1 = 2Sn+n+5, nCN*,可得 n>2 時，Sn=2Sn 1 + n+4,兩式相減得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn 1)+1,即 an+1 = 2an+1,從而 an+1 +1 = 2(an + 1),當 n= 1 時，S2=2S1+1 + 5,所以 a2+a1=2a1+6,又 a1 = 5,所以 ai= 11,從而 ai+1 = 2(a1 + 1),故總有 an+1 + 1 = 2(an+1), nCN*,an+ 1 + 1又 a1 = 5, a+1w0,從

21、而=2,an+ 1即數(shù)列an+1是首項為6,公比為2的等比數(shù)列.解 由(1)得 an+ 1=6 2n1,所以 an=6 2n-1 1,6 (1- 2n)于是 Sn = n= 6 2n n 6.1 2(3)設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,已知 a+2a2+3a3+ nan=(n1)Sn+2n(nCN*).求ai, a3的值；求證：數(shù)列Sn+2是等比數(shù)列.解( a +2a2 + 3a3+ +nan=(n 1)Sn+2n(n N*), .,.當 n=1 時,a=2X1 = 2;當 n=2 時，a + 2a2= (a1 + ai)+4, ，a2=4;當 n=3 時，a + 2a2+3a3= 2(a+

22、ai+a3) + 6,a3= 8.證明ai + 2a2+3a3+ nan= (n1)Sn+2n(n C N*),當 n>2時，ai +2a2+3a3+ (n1)an i = (n 2)Sn i+2(n1).一得 nan = (n 1)Sn (n 2)Sn i + 2 = n(Sn Sn i) Sn + 2Sn i + 2=na n Sn + 2Sn -1 + 2. - - Sn + 2Sn 1 + 2= 0 ,即 Sn = 2Sni+2, - Sn+ 2 = 2(Sn 1 + 2).Sn+2, Si + 2=4w0, ，Sni+2w0,=2,Sn 1 + 2故Sn+2是以4為首項，2為公

23、比的等比數(shù)列.點評：.由an+i=qan, qwQ并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證aiw0.2x+ 1(4)已知函數(shù) f(x)=7(x2, xCR),數(shù)列an滿足 ai = t(t2, tCR), an+i = f(an), (nCN). X I 2若數(shù)列an是常數(shù)列，求t的值；當ai = 2時，記bn =史士(nCN*),證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求出通項公式an.an I_ 2t+ 1 -八1 或一1.斛：數(shù)列an是常數(shù)列，an+1=an=t,即t= t+ 2，斛佝t= 1,或t= 1.口+ 1an+i+ 1an+ 2an + 1=3an+ 1.bn=， b1 = 3 , bn+

24、1 =an- 1，即 bn+i = 3bn(nC N*).所求實數(shù)an +1- 1 2an+ 1an 1-1an+ 2; ai = 2,題型四例4已知等差數(shù)列an的首項ai=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項、第3項、第4項.求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設數(shù)列cn對 nC N* 均有 £+£+,+an+1 成立，求 ci+C2+C3+ C2 013.解 (1)由已知有 a2=i+d, a5=1 + 4d, ai4=1 + 13d, . (1 + 4d)2 = (1 + d)(1 + 13d).解得d= 2 ( . d>0)

25、.an= 1 + (n- 1) 2= 2n- 1.又 b2=a2=3, b3=a5=9, .數(shù)列bn的公比為 3,bn= 3 3n-2= 3n-L(2)由£+ + b= an+i 得 當 n>2 時，£+c = an.兩式相減得：n>2 時，cn-= an+i-an = 2.1. cn= 2bn=2 3n 1 (n>2). bnC1又當 n = 1 時，t-= a2, . ci = 3. . . Cn= bi，3n= 12 3n 1 n>26-2X 32 013: C1 + C2+ C3+ + C2 013 = 3+=3+ ( 3+ 32 013)=

26、 32 013.1-3探究提高 在解決等差、等比數(shù)列的綜合題時，重點在于讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù) 列的定義、通項公式及前n項和公式.本題第(1)問就是用基本量公差、公比求解；第 (2)問在作差an+1 an時要注意 n > 2.變式訓練 4 已知數(shù)列an滿足 a1 = 1, 3 a"an = La"1 ,且 an+1 an<0 (nCN*). 21 an 1an 1 an(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn=a2+1 an,試問數(shù)列bn中是否存在三項能按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，說明理由 . 1解(1)由a1 =

27、2, an+1an<0知，當n為偶數(shù)時，an<0；當n為奇數(shù)時，3 an+1 an1 an + 1an>0.由=,得 3(a2+1 a2)= 1 a2+1.1 + an+1an+1 + an33 .即 4an+13a2= 1,所以 4(a2+1 1) = 3(a2 1),即數(shù)列a21是以 a21 = %為首項，4為3333公比的等比數(shù)列.所以a21 = 3 3 n1 = ：n, a2=1- 4 n,故 an=( 1)n 1y 1 3 n (n C N*).(2)由(1)知 bn=a2+1 a2=1 4 n+1-1+ 3 n=4 3 n,則對于任意的nCN*, bn>bn

28、+1.假設數(shù)列bn中存在三項br, bs, bt (r<s<t)成等差數(shù)列，則 br>bs>bt,即只能有2bs=br+bt成立，所以24 3 s= 43,+ 4；t'2 3 s= 3+ 3 t，所以 2 3s 4t s=3r 4t r+3t,444因為 r<s<t,所以 ts>0, t- r>0,所以2 3s 4s是偶數(shù)，3r 4r+3t是奇數(shù)，而偶數(shù)與奇數(shù)不可能相 等，因此數(shù)列bn中任意三 項不可能構(gòu)成等差數(shù)列失誤與防范1.在運用等比數(shù)列的前 n項和公式時，必須注意對q=1與qwi分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情2.在求解與等比數(shù)

29、列有關的問題時，除了要靈活地運用定義和公式外，還要注意性質(zhì)的應用，以減少運算量而提高解題速度.形而導致解題失誤.等比數(shù)列及其前n項和（1）、選擇題1 .在等比數(shù)列A.2 n+1 2an中,a1 = 2,前n項和為Sn,若數(shù)列an+1也是等比數(shù)列，則Sn等于（B.3nC.2nD.3n 12 .在等比數(shù)列an中,a3=7,前3項之和S3=21,則公比q的值為A.11B.-2,1C.1 或2,1D. -1 或23 .若等比數(shù)列an滿足anan+1 = 16n,則公比為A.2B.4C.8D.164 .記等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3=2,A. 3B. 5C. 31S6=18,則Sf等于()S5D

30、. 33因為等比數(shù)列an中有S3=2, 3=18, a1(1 q6)a1(1-q10)即卜 1 q 3 =1 + q3=18=9,故 q = 2,從而矍=一1S3a1(1 q )2S5a1(1 q )1-q= 1 + q5= 1 + 25 = 33.5 .在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列1-q an中，a1= 3,前三項的和 S3= 21,則a3+ a4+ a5等于（A. 33B. 72C. 84D. 189C 由題可設等比數(shù)列的公比為q,3(1 q3)則=21? 1+q+q2=7? q2 + q 6=0? (q+3)(q-2)= 0,1-q根據(jù)題意可知 q>0,故 q=2.所以 a3+a4+a

31、5=q2S3=4X21 = 84. 二、填空題6.在等比數(shù)列an中，a1=1,公比q=2,若an=64,則n的值為7.在數(shù)列an中，已知 a1=1, an=2(an 1+an 2+ a2+a1)(nA 2, n C N*),這個數(shù)列的通項公式是n= 1.a "- 2X3n 2 n>28 .設等比數(shù)列an的公比q,前n項和為Sn,若Sn+1, Sn, Sn+2成等差數(shù)列，則 q的值為 -29 .設an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1=1, a5=16,則數(shù)列an前7項的和為.OC1 2解析 .公比 q4=a-=16,且 q>0, .,.q=2,S7=127.a11-210 .

32、在等比數(shù)歹U an中，公比q = 2,前99項的和 榜9= 30,貝U a3 + a6+a9+ a99= 解析 ,. S99= 30,即 a1(299 1) = 30,;數(shù)列a3, a6, a9,，a99也成等比數(shù)列且公比為8, a3 + a6+ a9 + a99=4a1(1 833) 4a1(299 1)1-8三、解答題11.已知等差數(shù)列an滿足a2=2, a5=8.(1)求an的通項公式;(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn中，b1=1, b2+b3=a4,求bn的前 n 項和 Tn.(1)an=2n- 2 (2)Tn=2n112.Sn是無窮等比數(shù)列an的前n項和，且公比1 1 一 1一 一q

33、w1,已知1是WS2和S3的等差中項，6是2S2和3s3的等比中項.求S2和S3；(2)求此數(shù)列an的前n項和公式;(3)求數(shù)列0的前n項和.1c 1c c-S2+-S3 = 2,解(1)根據(jù)已知條件 232s2 3s3 =36.整理得3s2+2S3= 12,3s2 2S3 = 36.S2=2, 解得 3s2=2S3=6,即9=3.a1(2) .qw1,則a11 + q =2,1 + q + q2可解得=3.1q= 2，a1 = 4.4 1 , , Sn =7"11 + 21 n28 8= 33(3)由(2)得 S1 + S2+ Sn=8n 311一 一21 n28 , 8 d= 3

34、n+9 1 13.已知an是公差不為零的等差數(shù)列, (1)求數(shù)列an的通項；a1=1,且a1, a3, a9成等比數(shù)列.(2)求數(shù)列2 an的前n項和S.解(1)由題設知公差dw0,由ai=l, ai, a3, a9成等比數(shù)列，1 + 2d 1 + 8d得一=,解得 d=1 或 d=0(舍去).故an的通項 an= 1 + (n-1)x l = n.1 1 + 2d(2)由(1)知2an=2n,由等比數(shù)列前 n項和公式，2(1 -2n)得 Sn= 2+ 22+ 23+ + 2n=2n+1一 2.)1 -214.已知數(shù)列an滿足 a=1, 32=2, an+2= an+2an+1, nC N*.

35、令bn=an+1an,證明：bn是等比數(shù)列；(2)求an的通項公式.解(1)證明b1 = a2a1=1,an 1 + an11當 n>2 時，bn=an+1 an=2_ an= - 2(an an 1) = bn 1,1 一bn是首項為1,公比為一2的等比數(shù)列.-,，1 C .(2)解 由(1)知 bn=an+1an= - 2,當 n>2 時，an= a1 + (a2 a)+ (a3 a2)+ + (an an 1)1=1 + 1 + 2 +2 ._1n 1 =5_2_1n 13 123325 21 ,當 口=1 時，5-2 2 1 =1 = a1,5 21nl * an=33 2

36、 (nN ).15.設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知Sn 2an 2n 1(n N*).(1)求數(shù)列 an的通項公式；設bnlogan2 ,數(shù)列bn的前n項和為Bn,若存在整數(shù) m ,使對任意ne N*且n >2,n-1都有B3n Bn 色成立，求m的最大值；20解：(1)由 Sn 2an 2n 1 ,得 Sn1 23nl 2n(n>2).兩式相減，得 an 2an 23nl 2n，即 an 23nl 2n(n>2).于是an2nan 12n 1是公差為1的等差數(shù)列又 Si 2a1 22,所以 a14.所以an2n2 (n 1) n 1,故an(n 1) 2n.(2)因為bn

37、10g an 210g 2n 2B3nBnn13n令 f (n)13nf(n 1)13n3n 113n3n所以f (n1)f(n)3n 13n 2 3n 33n 13n 2 3n 33n3n 33n0.即f(n1)f(n),所以數(shù)列f(n)為遞增數(shù)列.所以當n,， ，一一，1>2時，f(n)的最小值為f(2)31920據(jù)題意,m201920即m 19 .又m為整數(shù),故m的最大值為18.、選擇題1.已知an是等比數(shù)列,A. 16(1 -4 n)等比數(shù)列及其前n項和(2)1a2= 2, a5=4,則 aa2+a2a3+ anan+1 等于B. 16(1 -2 n)C. 32(1 -4 n)3

38、32DW(1 -2 n)2,已知方程(x2mx+ 2)(x2 nx+2)=0的四個根組成以2為首項的等比數(shù)列，則m=()3A. 23-2B. 2或 32C. 3D.以上都不對解析設a,b, c, d是方程(x2mx+2)(x2nx+2)= 0的四個根，不妨設avcvdvb,貝Ua b = c d= 2a = 2,故b = 4,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到： c= 1, d=2,一9則 m= a+ b = 2,n= c+ d= 3,-9或 m= c+ d = 3, n=a+b=2,則m=2或m=23-3.設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x, yC R,都有 f(x) f(y) =

39、f(x+ y),若 a1 = ；, an= f(n) (n C N*),則數(shù)列an的前n項和S的取值范圍是()A.4.(設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列, )Sn為其前n項和.已知a234= 1S3=7,則S5等于15A.y31B.7.an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且33CT a2a4 = 1,17D.萬B. 2.設an的公比為q,貝U q>0,且a3= 1,即a3= 1. S3=7, . a+a2 + a3 = ,+ ；+1 = 7,即 6q2q1=0. q q一 1 ,、1 -1故 q=m或 q=- a(舍去)，a1=F= 4.23q14(191 31 -S5=1=8(1-215) = 3

40、1.1-25.S5一設Sn為等比數(shù)列an的刖n項和，8a2+a5=0,則等于S2A.11B. 8C. 5D. 114S5 a1(1 + 2 )由 8a2+a5=0,得 8aq+aq =0,所以 q=2,則三= 11.S2 a1(1 -22)6.等比數(shù)列an前n項的積為Tn,若a3a6a18是T25中也是常數(shù)的項是A. T10B. T13C. T17個確定的常數(shù)，那么數(shù)列 T10, T13, T17, ()D. T25a3a6a18= a3q2+5+17 = (a1q8)3 = a3,即a9為定值，所以下標和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值.二、填空題b97.在等比數(shù)列an中，若 a9 +

41、 a10=a (aw0), a19 + a20 = b,則 a99+a100= 三 a -8.已知數(shù)列Xn滿足 lg Xn+1= 1 + lg Xn(nC N*)且 X1 + X2+ X3+ X100= 1，則 lg(X101 +X102+ X200)= 1009.已知數(shù)列an是正項等比數(shù)列， 若a1=32,大值為 15.a3+a4 = 12,則數(shù)列l(wèi)og 2an的前n項和Sn的最10.在等比數(shù)列an中，若公比 q=4,且前3項之和等于 21,則該數(shù)列的通項公式an =解析 :等比數(shù)列an的前3項之和為21,公比q=4,不妨設首項為 a，則 a+a1q+a1q2 = a1(1+4+16)=21a1 = 21, " a1 = 1, an=1X4n-1=4n-1.三、解答題11 .已知等比數(shù)列an的公比q>1, a1與a4的等比中項是4亞，a2和a3的等差中項為6,數(shù)列 bn滿足 bn=log2an.求an的通項公式；(2)求bn的前n項和.(1)an=2n(2)解bn= log 2an, an = 2n,bn=