廣義積分的收斂判別法

1、第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計(jì)算，在實(shí)際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn) 大量的積分是不能直接計(jì)算的，有的積分雖然可以直接計(jì)算，但因?yàn)?過(guò)程太復(fù)雜，也不為計(jì)算工作者采用，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題計(jì)算工作者常采用 數(shù)值計(jì)算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.對(duì)廣義積分而言，求 其近似值有一個(gè)先決條件一積分收斂，否則其結(jié)果毫無(wú)意義。因此，判斷一個(gè)廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的.定理9.1 (Cauchy收斂原理)f(x)在a, + )上的廣義積分 廣f(x)dx 收斂的充分必要條件是：v 8 > 0,存在A>0,使得b, b>A時(shí)，恒有b/1b f(x)dx|證明：對(duì)Jim

2、b f (x)dx= 0使用柯西收斂原理立即得此結(jié)論.同樣對(duì)瑕積分f f (x)dx(b為瑕點(diǎn))，我們有定理9.2 (瑕積分的Cauchy收斂原理)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b)上有定義， 在其任何閉子區(qū)間a, b-7上常義可積，則瑕積分 jf(x)dx收斂的 充要條件是：V名>0, m3 >0,只要0V" /<6 ,就有b- /I b_ f(x)dx|定義9.5如果廣義積分 廣| f (x) | dx收斂，我們稱(chēng)廣義積分f (x)dx aa絕對(duì)收斂(也稱(chēng)f(x)在a十8)上絕對(duì)可積;如:f(x)dx收斂而非絕 對(duì)收斂，則稱(chēng)"f(x)dx條件收斂，也稱(chēng)f(x)在

3、a,+°°)上條件可積.a由于vA,A/之a(chǎn),均有AA| f (x)dx| E | f (x) |dxrr因此，由Cauchy收斂原理，我們得到下列定理.定理9.3如果廣義積分f(x)dx絕對(duì)收斂，則廣義積分f(x)dx必 aa收斂.它的逆命題不一定成立，后面我們將會(huì)看到這樣的例子。對(duì)其它形式的廣義積分，類(lèi)似地有絕對(duì)收斂及條件收斂的定義及性質(zhì).下面我們先介紹當(dāng)被積函數(shù)非負(fù)時(shí)，廣義積分收斂的一些判別法. 比較判別法：定理9.4 (無(wú)限區(qū)間上的廣義積分)設(shè)在a,+ 8 )上恒有0 w f (x) w k中(x), (k為正常數(shù))則當(dāng)也* (x)dx收斂時(shí)，f (x)dx也收斂；

4、 aa當(dāng)f°f(x)dx發(fā)散時(shí)，/%(x)dx也發(fā)散. aa證明：由Cauchy收斂原理馬上得結(jié)論成立.對(duì)瑕積分有類(lèi)似的結(jié)論判別法定理9.5設(shè)f(x), g(x)均為a,b)上的非負(fù)函數(shù)，b為兩個(gè)函數(shù)的奇點(diǎn)， 如存在一個(gè)正常數(shù)k,使0 M f (x) E kg(x),Vxw a, b),貝U， b， 一-b,1) 如1g(x)dx收斂，則f f(a)dx也收斂。 aabb2)如f f(x)dx發(fā)散,則g g(x)dx也發(fā)散. aa比較判別法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們常常用下列極限形式.定理9.6如果fa)g(x)是a,+°°)上的非負(fù)函數(shù)，且lim工(x)=l,則 

5、9;X, 二g(x)(1)如果0wl <,且廣g(x)dx收斂，則積分 產(chǎn)f(x)dx也收斂.aa(2)如果0<l M +g,且g(x)dx發(fā)散,則積分r°f(x)dx也發(fā)散. aa證明：如果lim f(x) = l # 0,則對(duì)于s > 0(l - s > 0),存在A,x >: g(x)當(dāng)x 2 A時(shí)，0<l - S <f(x)-<l + 名g(x)即(l - s)g(x) < f (x) < (l + )g(x)成立.顯然f (x)dx 與g(x)dx同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，在l=0或l=g時(shí)，可類(lèi)似地討論.a使用同樣的方

6、法，我們有bb，一定理9.7對(duì)以b為唯一瑕點(diǎn)的兩個(gè)瑕積分 f (x)dx與I g(x)dx如果 aaf(x),g (x)是非負(fù)函數(shù)，且lim_*=l,則 x -g(x),_一 bb(1)當(dāng)0«l m+8,且g(x)dx收斂時(shí),則f f(x)dx也收斂. aa 當(dāng)0<l w +s ,且fg(x)dx發(fā)散時(shí)，則fbf(x)dx也發(fā)散. a' a對(duì)無(wú)限區(qū)間上的廣義積分中，取二 11dx作比較標(biāo)準(zhǔn)，則得到下列a xpCauchy判別法：設(shè)f(刈是a,+°°)的函數(shù)，在其任意閉區(qū)間上可積，那么:c7E理9.8 右0Mf(x)W ，p>1,那么積分f f(

7、x)dx收斂，如xpacf(x)*二,p«1,則積分f (x)dx發(fā)散.xpa其極限形式為 定理 9.9 如 lim xp f (x) = l (0 m l < +8，p>1),則積分 £ f (x)dx收則 f(x)dx a斂.如 lim xp f (x) = l，而 0 < l w +七，p < 1,b.發(fā)散.例9.8判斷下列廣義積分的收斂性。1111dxmx ,(2) 1 -ndx (m>0, n>0)1 1 x11解：(1)因?yàn)?0win(1 + )x 1 x11112x 1 x x(1 x) x:11-2dx收收推出1 pn(1

8、十一)bx收斂.1 xxm(2)因?yàn)?lim xn- = 1, x；,：1 xn所以當(dāng)n - m>1時(shí)，積分積分f1m-He： V八 ndx發(fā)散.1 1 xxmndx收斂.當(dāng)n m<1時(shí),1 x. 一 一一， .一 b 1對(duì)于瑕積分，使用1 Jdx作為比較標(biāo)準(zhǔn)，我們有下列柯西判別 a (x-a)p法.定理9.10 設(shè)x=a是f(x)在a,b)上的唯一奇點(diǎn)，在其任意閉區(qū)間上可積，那么,C一， b(1) 如 0Wf(x)M (c>0), p<1,貝 U L f (x)dx 收斂.(x - a)pa,一cb(2)如 f(x戶-c(c>0), p2 1,貝U f f (x

9、)dx發(fā)散.(x - a)a瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為te理 9.11 設(shè) lim (x - a)p f (x) = k x >a -,b如 0<k<g, p<1,則f(x)dx收斂 ab如0<kwp21,那么f(x)dx發(fā)放.a例9.9判別下列瑕積分的斂散性。dxTV9K72X2k dx(2)。2-(p,q>0)sin xcos x解：(1) 1是被積函數(shù)的唯一瑕點(diǎn)因?yàn)? lim (1 - x)2 x >1 一dx(1 - x2)(1 - k2x2)二 12(1 - k2),1 由p =-知瑕積分收斂.2(2) 0與"都是被積函

10、數(shù)的瑕點(diǎn).2dx ,.1先討論4, 由lim xp= 10 sinp xcosq xxosinpxcosqxdx知：當(dāng)p<1時(shí)，瑕積分P收斂；當(dāng)p之1時(shí),瑕積分0 sinp xcosq x4 dx)sinp xcosq x發(fā)散.三 dx再討論:前/1因 lim ( x)p pq = 12 sin p xcosq xdx所以當(dāng)q<1時(shí)，瑕積分像一13 dx 收斂, 4sinp xcosq xdx ,山當(dāng)q之1時(shí)，瑕積分2 dx發(fā)散.pq4 sin xcos xdx»人， 八一綜上所述，當(dāng)p<1且q<1時(shí)，瑕積分一0a收斂;其他情況0 sinp xcosq x發(fā)散

11、.、一一一.i例9.10求證：若瑕積分J°f (x)dx收斂，且當(dāng)xt 0+時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)趨向于+ 必，則 lim+x f(x)=0.x0證明：不妨設(shè)Vxe (0,1 , f(x) 0,且f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。一 1 一已知0f (x)dx收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，有Vs > 0, 36 > 0(6 <1), V 0 < x< 6 有xx f (t)dt :二、 2從而xx0<- f (x)三 x f (t)dt22或0<x f(x) 2 ,即 lim x f(x)=0.x0例9.11求證瑕積分L17 dx(九>0),當(dāng)九&

12、lt;1時(shí)收斂0x(1 - cosx)3,1 當(dāng)Z時(shí)發(fā)散.3證明：;x3 lim = lim -3/1 - cosx"x >0 x(1 - cosx) x .0 x1=lim ；= 23 'l-COSx""2< x J所以當(dāng)3人<1時(shí)，即九<1時(shí)，瑕積分收斂.當(dāng)3九之1,即九至1時(shí)， 33瑕積分發(fā)散.前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對(duì)一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果.定理9.12 (積分第二中值定理)設(shè)g(x)在a,b上可積，f(x)在a,b上單調(diào)，則存在工a,b使bf (x)g(x)dx=

13、g(a) f(x)dx g(b) f(x)dxaaa為了證明定理9.12,我們先討論下列特殊情況.引理9.1設(shè)f(x)在a, b上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù)g(x)在a,b上可積，則存在c a,b,使bcf (x)g(x)dx=f(a) g(x)dx aax證明：作輔助函數(shù)"(x) = f(a) f g(t)dt,對(duì)a,b的任一分法P:a=x0<x1<M< <xn=b我們有bnf(x)g(x)dx=" x' f(x)g(x)dxaxi _l由此得到bnx|f(x)g(x)dx£ f(x-兒 g(x)dx|a. .xi 1i 二1一n x

14、i=r x f(x) - f(x)g(x)dx| xi 1i 1 in xX |f(x)- f(xi_i)|g(x)|dxxi 1i =1n< L£ «i(f) Axi1 1這里L(fēng)是|g(x)|在a,b的上界，w(f)是f (x)在【x，X1上的振幅，從這個(gè)估計(jì)式可知，當(dāng)P |t 0時(shí),應(yīng)當(dāng)有nxibi=1' f (為)g(x)dx > f(x)g(x)dx xia我們來(lái)證明Jxxma,bn (x)；f()xjg(x)dxabx (x)為此，引入記號(hào)xG(x)= g(t)dt并作如下變換nxi" f(x-i)g(x)dxxi -41 1n=&q

15、uot;"心)®%)-)i=1 nn一”為-后3)-f(xy)G(xi_i)1 Wi 1nnV二" ”為-后3)-f(xi)G(xJini毛，“為后（為）-"為"（為）(G(%)=G(a)=0)i=1 nJ f(Xi)- f(Xi)G(Xi) f(Xn)G(Xn) i V因?yàn)?f(Xi_1)- f(Xi)-0,f(x.)-0, 所以Xi,、.f(Xi)g(X)dXXi 1n八f(Xi)- f(Xi)G(Xi) f(Xn)G(Xn) i 1n-0f(Xi)- f(x) f(Xn) min G(x)idxa,b= f(a)XmmanbG(X)同樣可

16、證f(x”,g(x)dx«f 罌XGxi我們證明了不等式f (a) min G(x) - ' f (xi_1)g(x)dx 三 f (a) max G(x)X a,by 1T xyX a,bnXmin ' (x) m ' f(Xiq) g(X)dX maX' (x)X a,bi 1xi1x a,b現(xiàn)令|P|T 0,取極限，就得到min 1x a,bb(x)三 f (x)g(x)dx 工 max1 (x) ax a,b因此，存在ca,b,使得中(c)=f (x)g(x)dx (因?yàn)橹?x)在a,b上是連續(xù)函數(shù)) a,、. 一 bc、也就是 ja f (x

17、)g(x)dx= f (a) a g(x)dx證畢下面我們證明定理9.12 證明：如f(x)是單調(diào)下降的，則f(x) f(b)單調(diào)下降且非負(fù)，由引理12.2.1知，存在cw a,b),使bcf(x) - f(b)g(x)dx=f (x) - f(b) g(x)dx aa即bcbf(x)g(x)dx= f(a) g(x)dx f (b) g(x)dx, aac對(duì)f(x)單調(diào)上升的情形，可作類(lèi)似討論.使用積分第二中值定理，我們得到下列一般函數(shù)的廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法定理9.13若下列兩個(gè)條件之一滿足，則f(x)g(x)dx收斂 ,a(1) (Abel判別法)f f(x)dx收斂,g(x)在a,00

18、 上單調(diào)有界； aA,-» 一,(2) (Dirichlet 判力U法)設(shè) F(A)=f (x)dx在a,°° 上有界，g(x)在a,s)上單調(diào),且 lim g(x)=0. x 二:證明：(1) v S > 0,設(shè)|g(x)尸 M,寸xa,8),因/°f(x)dx收斂,由 aCauchy收斂原理，mA a,使v A, A之A0時(shí)，有A1 Af (x)dx|2M由積分第二中值定理，我們得到AAi| ： f (x)g(x)dx| £ |g(A) | | f(x)dx| | g(A)11f (x)dx|AAj一 ，A1-M | f (x)dx

19、| M | f (x)dx |Az z一 一+ = =.A,A2a,顯然有當(dāng)x>Ao時(shí)，有A1 f(x)dx|再由Cauchy收斂原理知f (x)g(x)dx收斂 a(2)設(shè)M為F(A)在a,+-)上的一個(gè)上界，則VAi| A f(x)dx| ： 2M A同時(shí)，因?yàn)閘im g(x尸0,所以存在A0a,g(x)|<4Mx 于是，對(duì)寸A, A之A)有Ai|f (x)dx|E |g(A)| | f (x)dx| I g(A) I |AA£2M |g(A)| 2M |g(A)|z z I=;由Cauchy收斂原理知f f(x)g(x)dx收斂 a例9.12討論廣義積分i.cosx

20、dx的斂散性，1 x1角牛：令 f(x)= , g(x)=cosxx則當(dāng)xt +8時(shí)，f(x)單調(diào)下降且趨于零，AF(A)= 1 cosxdx = sin A-sini在a,00 )上有界.由Dirichlet判別法知"cosxdx收斂， 1 x另一方面2I cosx I cos x = 1 cos2xx x 2x因廣工dx發(fā)散, 1 2x11二 cos2xdx收斂從而非負(fù)函數(shù)的廣義積分收竺空dx發(fā)散1 2xcosx|dx 發(fā)散,由比較判別法知所以廣空dx條件收斂1 x例9.13討論廣義積分 產(chǎn)cosxarctanxdx的斂散性.1 x解：由上一題知，廣義積分 產(chǎn)cosxdx收斂，而

21、arctanx在a, +)1 x上單調(diào)有界，所以由Abel判別法知f cosxarctanxdx收斂。1 x另一方面，當(dāng)xw h；3, +笛)時(shí)，有cosxcosx|arctanx | -1|xx前面已證尸cosx|dx發(fā)散 1 x由比較判別法知尸cosxarctanx|dx發(fā)散，所以1c儀器r cxtd程陣收斂.對(duì)瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14若下列兩個(gè)條件之一滿足，則 /f (x)g(x)dx收斂：(b為唯 a一瑕點(diǎn)) b(1) (Abel判力U法)f f(x)dx收斂,g(x)在a, b)上單調(diào)有界 a，一，b-，,，一(2) (Dirichle

22、t 判別法)Fp)=£f(x)dx在a, b)上有界，g(x)在(0,b-a上單調(diào)，且 lim g(x) = 0.x >b'證明：(1)只須用第二中值定理估計(jì)bb_ f(x)g(x)dx讀者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的證明.(2)讀者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的證明., 11s1n例9.14討論積分(-xdx(0<p<2)的斂散性0 xp解：對(duì)于0<p<1 ,因?yàn)?1 s i nxpxxp,1 1由二dx收斂知0xpdx1- xinX絕對(duì)收斂斂對(duì)于0Wp<2,因?yàn)楹瘮?shù)f(x) =x2T當(dāng)XT 0時(shí)單調(diào)

23、趨于0,而函 數(shù).1sin 一g(x)=2xX滿足所以積分sini, 1 sin 一xxpdx1司 cos1-cos 92pxdx =1 2 -p0x.1 sin2xdx收斂. x但在這種情況下,.1 sin 一xxpdx是發(fā)散的事實(shí)上.1 sinxxpsin21xp2 d cos 1 . x 2xp2xp一 1 1，因（17dx發(fā)散,02xp2 cos0聲dx收斂，知0.1 sin 一xxpdx發(fā)散從而當(dāng)0Mp<2時(shí)，積分條件收斂.最后我們討論p=2的情形,因?yàn)?11si nx12xdx = cos- cosxn.1sin 一當(dāng)"t 0時(shí)，上式無(wú)極限，所以積分（Tdx發(fā)散.0 x值得注意的是，兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系1 一，f(x)dx中x=a 為f(x)的瑕點(diǎn)，作變換y=,則有x - a而后者是無(wú)限區(qū)間上的廣義積分f(a -) y . f(x)dx='rdy，b -ay習(xí)題9.21、論下列積分的斂散性(包括絕對(duì)收斂，條件收斂，發(fā)散)lnln x .(1) 2 sin xdx;ln x二2 .sin x dx ；0，;1.0 cos2 xsin2 x x；(6)1 In x , 三一dx; 0x2 -11j0xp (1 - x)q In xdx;1xp