圓切線證明的方法

1、切線證明法 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑切線的性質(zhì)定理的推論1 :經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.切線的性質(zhì)定理的推論2 :經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 a 時 他a . . .rm mia.i. imh Hi.irnaiiM.a a . .切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. iii*，r ii*inMriiri，in-i iiiiiiii.nri*，i-0r .ini，ini*nii*ii-an-.iii .，1.,»=_* nil *ii-arr 1*1 iin，iirni*ii，r ， 1, 一一* rrri*ii，

2、irii-n tli一一 n=. =-.，. 1 1 1-*= - jh * 1 1 . 1 r n切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個點，那么作出 過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑.【例1】如圖1,已知AB為。的直徑，點D在AB的延長線上，B*OB點C在圓上，/ CAB 30o.求證：DC是。的切線.思路：要想證明DC是。的切線，只要我們連接OC證明/OCR 90o即可.證明：連接OC BC. AB為。的直徑，/ AC氏90o. /CA氏 30o,B捻-AB= OB2vBD=

3、 OB . BC=3 OD ./OC及 90o.2 .DC是。的切線.【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論， 特別要注意“經(jīng)過 半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切 線.【例2】如圖2,已知AB為。的直徑，過點B作。O的切線BC,連接OQ圖2弦AD/ OC求證：CD是。的切線.思路：本題中既有圓的切線是已知條件， 又證明另一條直線是圓的切線.也就是既要注意運用圓的切線的性質(zhì)定理， 又要運用圓的切線的判定定理.欲證明CD是。的切線，只要證明/ ODC =90o即可.證明：連接OD OC/ AR ./ 1 = /3, /2=/4. OA= OD1 = /

4、2. ./ 3=/4.又= OB= OD OC= OC .OBC2 AODC./OB* /ODC . BC是。的切線，.OB康90o. .OD&90o. .DC是。的切線.【例3】如圖2,已知AB為。的直徑，C為。上一點，AD和過C點的切 線互相垂直，垂足為 D.求證：AC平分/ DAB思路：利用圓的切線的性質(zhì)一一與圓的切線垂直于過切點的半裕建證明：連接OCA， O B. CD。的切線，；OCLCD圖3,. AD!CDOC/ AD. . ./1 = /2.vOC= OA ./1 = /3. ./2=/3. AC平分/ DAB【評析】已知一條直線是某圓的切線時，切線的位置一般是確定的.在

5、解決 有關(guān)圓的切線問題時，輔助線常常是連接圓心與切點，得到半徑，那么半徑垂直 切線.【例4】 如圖1, B C是。上的點，線段AB經(jīng)過圓心0,連接AC BG 過點C作CD! AB于D, / AC®2/ B. AC是。O的切線嗎為什么解：AC是。的切線.理由：連接OCOCO旦 / OC=/ B.-:/CODl BOCW外角，I圖1 /COD/ OCBZB=2Z B. /ACB2/B, / AC®/ COD. CDl AB 于 D, / DCO/ COD900 / DCO/ AC=90°即 OCL AC C為。上的點, .AC是。的切線.【例5】 如圖2,已知。是 A

6、BC的外接圓，AB是。的直徑，D是AB的 延長線上的一點，AEE±DC交DC的延長線于點E,且AC平分/ EAB求證：DE是 。的切線.證明：連接OC則O上OC . / CA/ ACO. AC平分/EABI 卜 " ./ EAC：/ CAO/ACO,圖 2.-.AE/ CO又 AE1_ D COL D .DE是。的切線.二、直線與圓的公共點未知時須通過圓心作已知直線的垂直線段，證明此垂線段的長等于半徑【例6】如圖3, AB=AC OB=OC。與AB邊相切于點D.證明：連接OD彳OEL AQ垂足為E. .AB=ACOB=OC .AO為/BAC角平分線，/ DAO： EAO 。

7、與AB相切于點D, / BD/ CEO90° . v AO=AO. .AD3zAEO 所以 OEODvOD。的半徑，. OE是。的半徑. .OO與AC邊相切.【例7】 如圖，在 ABC中，AB=AC以AB為直徑的。O交BC于D,交AC于E,B為切點的切線交O碗長線于F.求證：EF與。O相切.證明：連結(jié)OE AD.AB是。的直徑，.ADL BC.又AB=BC /3=/ 4.BD=bE / 1=/ 2.又. OB=OE OF=OF. .BO圖AEOF(SAS . ./OBFW OEF.BF與。O相切,.OBL BF.丁. / OEF=90EF與。O相切.說明：此題是通過證明三角形全等證明

8、垂直的【例8】如圖，AD是/BAC的平分線，P為BC延長線上一點，且PA=PD.求證：PA與。O相切.證明一：作直徑AE,連結(jié)EC.AD是/ BAC的平分線，. / DABW DAC.v PA=PDa Z2=Z1+Z DAC. / 2=/ B+Z DAB / 1 = /B.又./ B=/E,./ 1=/E.AE是。的直徑, .AC，EC /E+/EAC=9b. / 1 + /EAC=9b 即 OAL PA. PA與。O相切.證明二：延長AD交O O于E,連結(jié)OA OE.: AD是/ BAC勺平分線,BE=CE .OEL BC./ E+/ BDE=90v OA=OEE=/ 1.PA=PD丁 /

9、PADW PDA.又. / PDAW BDE,. / 1+/ PAD=90即 OAL PA. PA與。O相切說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識的綜合運用例9如圖，AB=AC AB是。的直徑，O O交BC于D, DMLAC于M求證：DMtfOO相切._ g證明一：連結(jié)OD./AB=ACJ »C. OB=OD ./1=/ B./ 1=/C. .OD/ AC. DML AG.DM_ OD.DMW OO 相切證明二：連結(jié)OD AD.AB是。的直徑, .AD，BC.又AB=AC,/ 1 = /2.,.DM_ AG. /2+/4=900v OA=OD / 1=/ 3. /

10、 3+/4=90°.即 ODLDM.DM是OO的切線說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂 直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.【例10如圖，已知：AB是。O的直徑，點C在。O上，且/ CAB=30, BD=OBD在AB的延長線上.求證：DC是。的切線證明：連結(jié)OC BC.V OA=OC. / A=/ 1 = /300. ./ BOC= A+Z 1=600.又 = OC=OB.OBO等邊三角形. .OB=BC.D.OB=BD .OB=BC=BD.OCL CD.DC是。的切線.說明：此題解法頗多，但這種方法較好.【例12 如圖，AB是。的直徑，CD!AB

11、,且OA=OD OP.求證：PC是。的切線.證明：連結(jié)OCoA=od op, oa=oc . OC=OD OR/oc opth L 1OD OC .AODE又1=/1, .OCD AODC. ./ OCP= ODC. CD! AB, . / OCP=90 . PC是。O的切線.說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的【例13 如圖，ABC此正方形，G是BC延長線上一點，AG交BD于E,交CDT F.求證：CE與CFG勺外接圓相切.分析：此題圖上沒有畫出 CFG的外接圓，但 CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點，為此我們?nèi)G的中點0,連結(jié)OC證明CE!OC即可彳#解.AD證明：取FG中點0,

12、連結(jié)OC.U7!ABC此正方形， .Bd CR ACFGi RtA O是FG的中點,.O是RtCFG勺外心. oc=o g/ 3=/ G. AD/ BC,ZG=Z 4.AD=CD DE=DE /ADEW CDE=45 . .AD圖 ACDE (SASZ4=Z 1, / 1=/ 3. vZ 2+/ 3=9C0, . / 1+/ 2=9C0.即 CEL OC.CE與 CFG勺外接圓相切二、若直線l與。O沒有已知的公共點，又要證明l是。的切線，只需作OAL l , A為垂足，證明OA是。的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”【例14 如圖，AB=AC D為BC中點，O D與AB切于E點.求證：AC與

13、。D相切.證明一：連結(jié)DE，彳DFL AG F是垂足.AB是。D的切線，.DEL AB.,.DF± AG ./ DEBW DFC=9h,.AB=AC.B=/ C.又 = BD=CD. .BD陷 ACDF (AASDF=DE.F在。D上.AC是。D的切線證明二：連結(jié)DE AD,彳DF±AC, .AB與。D相切， .DEL AB. AB=AC BD=CD/ 1=/ 2.,. DELAB, DF± AG .DE=DF. F 在。D上. ACt OD 相切.DF=D由勺，證明二是利用角平分線說明：證明一是通過證明三角形全等證明 的性質(zhì)證明DF=D由勺，這類習(xí)題多數(shù)與角平分線有關(guān).【例15】 已知：如圖，AG BD與。O切于A