兩個重要極限的推廣與應用

1、兩個重要極限的推廣與應用摘要：極限在數(shù)學分析中占有很重要的地位，不但是一個基本的數(shù)學概念，而且也是數(shù)學分析的基石。兩個重要極限又是極限中的重點和難點，所以對于我們數(shù)學專業(yè)的學生尤其的重要。我們不僅要記住兩個重要極限及其推廣形式，還要能夠熟練的運用這些公式解決極限中遇到的問題。當然這部分內(nèi)容學習起來有一定的難度，為了幫助同學們更容易掌握這部分內(nèi)容，本文將結合實例對其進行深入分析，來探究兩個重要極限的基本形式及其推廣與應用。關鍵詞：重要極限推廣形式應用TwoimportantlimitsofpopularizationandapplicationAbstract：Limitinthemathema

2、ticalanalysisoccupiesaveryimportantposition,butabasicmathconcepts,butalsothecornerstoneofmathematicalanalysis.Twoimportantlimitandlimitthekeyanddifficultpointforus,somathematicsmajorsisespeciallyimportant.Weshouldnotonlyremembertwoimportantlimitandextendingforms,butalsocanskilledusingtheseformulaein

3、solvingtheproblemsofthelimit.Ofcoursethissectionstudyuphasthecertaindifficulty,inordertohelptheclassmatesmucheasiertomasterthissection,thepaperwillbecombinedwithitsfurtheranalysis,toexplorethebasicformoftwoimportantlimititspopularizationandapplication.Keywords：ImportantlimitExtendedformapplication極限

4、在數(shù)學分析中占有很重要的位置，它貫穿了整個數(shù)學分析的內(nèi)容，是積分和微分的基石，也是一個基本概念，而利用兩個重要極限lim皿=1 和lim(1+1)x=ex0 xx.x來求極限是極限內(nèi)容中的重點和難點。運用兩個重要極限解某一類極限問題時不僅可以簡化極限計算的步驟，節(jié)約時間，而且過程清晰明了，使人易懂。對于數(shù)學專業(yè)的學生，更應該熟練掌握這部分內(nèi)容，并且能夠靈活運用它。為了使大家更容易掌握這部分內(nèi)容，本文將運用多個實例來對兩個重要極限及其推廣形式進行一些分析、歸納和探討。1.兩個重要極限的基本形式及其推廣形式sinx二1x運用lims=1這個極限時我們一定要注意以下幾個方面:分數(shù)線上面的x要與分數(shù)線

5、下面的x要保持一致公式中的x一般要趨近于0,并且也要符合Q型的未定式x)x01或lim(1x)二ex0同樣，在應用這個重要極限時我們也要注意幾個方面：同(1)式中的x一樣，此處的x可以表示一個未知數(shù)x,也可以表示一個式子。1g3=0時有Jim(1+g(x)g(x)=exx0由中可以看出此處的x可以趨近于0,也可以趨近于，但必須與(3)和(4)中保持一致1.1sinx=1可以推廣為xsing(x)阿g(x)二1(2)這一重要極限我們可以記做1.2sin二其中代表一個未知量1xixm：(12=e當limxg(x)=由時有1一，、(5)或當limx耽(6)由(3)(4)(5)(6)我們可以看出公式中

6、括號內(nèi)加號后面的部分與括號外的幕次互為倒數(shù)，并且基本形式與推廣形式都可以轉化為產(chǎn)這種類型的極限問題類比于1處管=1，這一重要極限我們可以記做iim（1+-）表一個未知量2 .求極限時兩個重要極限的具體應用分析：由公式（1）我們可以直接得到解:lsinx_511m丫=51=5分析：觀察題目我們看出，由于當XTO 時有 3XT0,如果我們把分母中的x變成3x就可以運用公式（2）來解這道題目，因此解：sin3x_sin3xlim=lim1x0 xxQ13x3sin3x=3分析：在解這道題時我們要先利用三角函數(shù)把tanx轉化為sinx,然后再把分子和分母都轉化為公式中的形式，再利用上面給出的公式，這樣

7、就可以解決這道題目。解：=e,其中代2.11im誓=1 及其推廣公式的應用sinxx例2求1i、msin3x11m3sin2x4tan3x例1sin2x3x=11122分析：觀察題目我們可以看到，題中有 1-cosx,我們可以利用三角函數(shù)公式將,然后再利用上面的推廣公式就可以很順利的解決這道題目了。解:1二212二12.13msin 例5求1im1m1mm3m2-1分析：通過觀察可以看出，把分子上的未知數(shù)轉化到分母上可以湊成推廣公式的3sin2x3sin2x3sin2x4tan3xxml彳 sin3x11ml4tan3xcos3x3sin2xsin3x4sin2xccos3xsin3xcos3

8、x3=4lxmsin2x_2x2xsin3x-3xcos3x3x324Jim2xsin3x1。cos3x21-cosx其先轉換成sin21imx021一=21imx02x22(sin)24x1221im2x02一 xsin 一22)2x2形式，再利用其就可以計算出該題。解：1=_e155.2-2cosx211m1-cosx分析：通過觀察我們可以看出，先運用三角函數(shù)的二倍角公式把分子和分母都轉化為正弦函數(shù)，然后再把分子和分母分別湊成推廣形式，再利用公式即可解出這道題。解:3m2sin1m3m2一1c1sinm3mlimr22m.11.3m-1m案。2.2.1sin一mlmm：1一 1x3、lim

9、(1+)=lim(1+x)x:：Xx_01(1-)mm-53m=e及其推廣公式的應用分析: 觀察可以看出，先做一下等價變形，然后再利用基本形式就可以計算出答解:11lim(1)5m.mT 理(1m(151)mmlmmJ1m)51例7求lim(i-4x)xxD分析：在解這道題時，我們要注意括號中1之后的符號是正號還是負號解:11iim(1-以戶=iim口刈xDxD1()(=|im1(-4x)-4xxD.4二e例8求|世（公產(chǎn)分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉化為升的形式，然后我們利用分離系數(shù)將其等價變形為我們熟知的求極限的形式，再利用上面的公式即可解決問題。解:5x3x2x412x4心(力

10、)Fm(1力)2x-11(5x2)2x飛m(15x,2)5x22=e5limx_02-2cosx21一cosx=ixm2x2sin22(sin-X)2Fm2x2sin22x22x萬x.2(sin2)=1i二i例9求皿（若用分析：通過觀察我們可以看出，該道題可以轉化為產(chǎn)的形式，我們利用分離系數(shù)把其轉化為上面給出的形式，然后再利用公式即可解出。解：，x4、3xz7x-37、3xlim（?。?lim（=v）Xj二二7X-3xj二二 7X-3=lim（1號）3x，x）二-7x-37（7xJ）7、（3x）=lim（1大）心x,：rx-j分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉化為 10的形式，然后我們利

11、用分離系數(shù)將其等價變形為我們熟知的求極限的形式，再利用上面的公式即可解決問題。解：3x濘工，x3x2x3x=lxm（1力）=e小結：通過以上的例題我們可以看出，在利用兩個重要極限來計算極限的時候，我們經(jīng)常運用的是其推廣形式，這就要求我們在學習這部分內(nèi)容時不僅要記住最基本的形式，而且要真正理解這兩個重要極限的內(nèi)涵，熟練運用其推廣形式，不能只是死記硬背，生搬硬套，而是要能夠做到舉一反三，熟練掌握。例10求ixm(12x1）1-xLlxm（三）Tlm（12x-3x1-2x1）=lim（1x03x2x-11）3x3.微分學中兩個重要極限的運用極限在微分學中的應用很廣泛，其中導數(shù)的定義就是由極限來定義的

12、，而兩個重要極限更是在推導一些重要極限的必備工具，比如說關于三角函數(shù)和幕函數(shù)導數(shù)的推(sin：)=cos：(cos)=lim0Act-2sin=啊cos(:)-cos;Aa：2：sin彳=li.mr2sin2Actsin2-sin:1-sin;導。推導過程:由導數(shù)的定義我們可以知道(sina)=li：msin(:.：:)-sin、工2cosAct.政sin2As2J.2:limo2cosi丁Act2：sin2=limocoslim0r2=cos工113.2推導過程:(cos 二)-sin工由導數(shù)定義得3.3推導過程:(logm)=；由導數(shù)定義得log3.12：sin2o二一則上。-2：-sin

13、1.3=項。7-logmAct.1.(1金門二項0110gm1.lim(1v)v=logmv0以上幾個實例說明了運用兩個重要極限可以推導一些基本導數(shù)公式，而且有時候求導數(shù)時必須用兩個重要極限，比如說（sin 支廠=cosot 等用其他的方法就很難求出,可見兩個重要極限的用處之廣泛。當然，兩個重要極限的應用并不僅僅只有這些，比如在經(jīng)濟學中還有很廣泛的應用，其實數(shù)學知識不在于舉多少應用例子， 關鍵在于是不是真正理解了其內(nèi)涵， 是不是能夠熟練地把其運用到生活中創(chuàng)造它的價值。參考文獻：1華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（上冊）M.高等教育出版社，2007.56-58.2何聯(lián)毅曾捷.數(shù)學分析同步輔導及習題全分析M.中國礦業(yè)大學出版社，2007.64-69.3蘇德礦吳明華金蒙偉.微積分（上）M.高等教育出版社，施普林格出版社，2001.35-39.4錢吉林.數(shù)學分析題解精粹M.湖北長江出版社，2009.82-85.5彭英.淺談兩個重要極限的運用.太原科技大學J,99-101.6王建福.高等數(shù)學習題全分析M.