七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)新幫手專(zhuān)題29歸納與猜想試題新版新人教版

1、29 歸納與猜想閱讀與思考當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí)，可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況人手，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情形或特殊情況的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問(wèn)題的途徑或方法，這種研究問(wèn)題的方法叫歸納猜想法.歸納是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開(kāi)始的，觀察是解決問(wèn)題的先導(dǎo)，解題中的觀察活動(dòng)主要有三條途徑：1.數(shù)與式的特征觀察.2.幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察.3.通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況需要注意的是，用歸納猜想法得到的結(jié)果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫(xiě)成無(wú)懈可擊的證明.【例 1】下圖是飛行棋的

2、一顆骰子，根據(jù)圖中 A,B,CA,B,C 三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出”處的數(shù)字是.（“東方航空杯”上海市競(jìng)賽試題）(A A)(B B)(Q解題思路：認(rèn)真觀察 A,B,CA,B,C 三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷。【例 2】如圖，依次連結(jié)第一個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，再依次連結(jié)第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 1,則第 n 個(gè)正方形的面積是(湖北省武漢市競(jìng)賽試題)【例 3】如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線 OAOBOCODOEOFOAOBOCODOEOF 從射線 OAFOAF 始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫(xiě)出數(shù)字 1,2,3,4

3、,5,6,7,.(1)“17”在射線上.(2)請(qǐng)任意寫(xiě)出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律.(3)“2007”在哪條射線上？(貴州省貴陽(yáng)市中考試題)解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以 6 的余數(shù)相同.【例 4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：1 121231234123451(/)1，2，1，3，2，1，4，3，2，1，5，4，3，2，1，6，(X)解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n=1,2,3,4 時(shí)的簡(jiǎn)單情形，進(jìn)而作出猜想.2(1)在()中，從左起第 m m 個(gè)數(shù)記為 F F(n),n),當(dāng) F F(n n)=1-時(shí)，求 m m 的值和這 m m 個(gè)數(shù)的積.(2)在()中，未經(jīng)約分且分母為

4、2 的數(shù)記為 c.它后面的一個(gè)數(shù)記為 d,是否存在這樣的兩個(gè)數(shù) c c 和 d,使 cd=cd=2001000?如果存在，求出 c c 和 d;d;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(湖北省競(jìng)賽試題)解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對(duì)原數(shù)列恰當(dāng)分組，明確每組中數(shù)的個(gè)數(shù)與分母的關(guān)系、未經(jīng)約分且分母為 2 的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關(guān)鍵，一，、”，2+3”，、一 2+57【例 5】在 2,3 兩個(gè)數(shù)之間，第一次寫(xiě)上。=5,第二次在 2.5 之間和 5,3 之間分別寫(xiě)上一二=萬(wàn)-5+3和一 2 2=4,=4,如圖所不:第。次操作：23第1次操作工253第2次操作：2y543第3次操作；第 k

5、k 次操作是在上一次操作的基礎(chǔ)上，在每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)之間寫(xiě)上這兩個(gè)數(shù)的和的(1)請(qǐng)寫(xiě)出第 3 次操作后所得到的 9 個(gè)數(shù)，并求出它們的和.(2)經(jīng)過(guò) k 次操作后所有的數(shù)的和記為 0,第 k+1 次操作后所有數(shù)的和記.為S Sk+i,寫(xiě)出 S+1 與&之間的關(guān)系式.(3)求&的值.(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思路：(1)先得出第 3 次操作后所得到的 9 個(gè)數(shù)，再把它們相加即可.(2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個(gè)數(shù)的時(shí)候，除了頭尾兩個(gè)數(shù) 2 和3 之外，中間的n2 個(gè)數(shù)均重復(fù)計(jì)算了 2 次，用&表示出 S+1(3)根據(jù)(1),(2)可算出&的值.能力訓(xùn)練1 .有數(shù)組(

6、1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),，則第 100 組的三個(gè)數(shù)之和為(廣東省廣州市競(jìng)賽試題)2 .如圖有一長(zhǎng)條型鏈子，其外形由邊長(zhǎng)為 1cmcm 的正六邊形排列而成.其中每個(gè)黑色六邊形與6 個(gè)白色六邊形相鄰，若鏈子上有 35 個(gè)黑色六.邊形，則此鏈子有個(gè)白色六邊形.（2013 年“實(shí)中杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）3.按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)：112312345123，”，一11 1，33W W，5 5，5 5，（山東省競(jìng)賽試題）4.給出下列麗列數(shù)5,4,6,8,10,，19946,13,20,27,34,，1994則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個(gè)數(shù)是（A.J42B.143（浙江省競(jìng)賽試題）5 .如圖

7、，/AOB=AOB=45,對(duì) OAOA 上到點(diǎn) O 的距離分別為 1,3,5,7,9,11,的點(diǎn)作 OAOA 的垂線且與 O O 斯目交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，面積分別為 S,S,S,S,SB,則 So=So=L L6 .一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為 4 部分，設(shè)五條直線最多分平面為 n n 部分，則 n n 等于（）C.24D.31（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）7 .觀察下列正方形的四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律.那么 2013 這個(gè)數(shù)標(biāo)在（）55777（2013 年浙江省衢江市競(jìng)賽試題）8 .自然數(shù)按下表的規(guī)律排列：求上起第 10 行，左起第 13 列的數(shù).（2）數(shù) 127

8、 應(yīng)在上起第幾行，左起第幾列.（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）9 .一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是 1,從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55-問(wèn)：這串?dāng)?shù)的前 100 個(gè)數(shù)中（包括第 100 個(gè)數(shù)）有多少個(gè)偶數(shù)？（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）A.第 503 個(gè)正方形的左下角C.第 504 個(gè)正方形的左下角B.第 503 個(gè)正方形的右下角D.第 504 個(gè)正方形的右下角10 .將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片.，如果要分成不少于 50 個(gè)小紙片，至少要畫(huà)多少條直線？請(qǐng)說(shuō)明理由.（“五羊杯”競(jìng)賽試題）11.下面是按定

9、規(guī)律排列的一列數(shù):.11.11第 1 個(gè)數(shù)：（1+三）；第 2 個(gè)數(shù)：1111211；323411,2,3第 3 個(gè)數(shù)：111，14234一，11第n個(gè)數(shù)：11n122n1那么，在第2n10 個(gè)數(shù)，第 11 個(gè)數(shù)，第 12 個(gè)數(shù)，第 13 個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個(gè)?12.有依次排列的 3 個(gè)數(shù)：3,9,8.對(duì)任相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫(xiě)在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3,6,9,-1,8,這稱(chēng)為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3,3,6,3,9,10,-1,9,8,繼續(xù)依次操作下去，問(wèn)：從數(shù)串 3,9,8 開(kāi)始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所

10、有數(shù)之和是多少？專(zhuān)題 29 歸納與猜想例 16 提示：5 的對(duì)面是 2,4 的對(duì)面是 3,1 的對(duì)面是 6.-1一111111例2z-y 提不：S1=1,S2=,S3=2,S4=3,進(jìn)而推出 Sn=2n124228232例 3(1)(1)OEOE(2)(2)射線 OAOA 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n6n5(n5(n 為自然數(shù)，下同)；射線 OBOB 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n n4;4;射線 OCOC 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n n3;3;射線 ODOD 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n n2;2;射線 OEOE數(shù)字的排列規(guī)律：6n n1 1；射線 OFOF 上數(shù)字的排列規(guī)律：6n.n.(3)在 6 條射線的數(shù)字規(guī)

11、律中，只有 6n3=2007 有整數(shù)解，解圍 n=335,故“2007”在射線 OCOC. .112123123412341),(1,2),(11),(1,2),(1，2 2,3),(1,3),(1，2 2, ,三，三，4),(4),(，上，上，- -, ,- -, ,1213214321543252一，)，可知各組數(shù)的個(gè)數(shù)依次為 1,2,3,.當(dāng) F(m)=時(shí)，m=(1+2+2001)120011+2=2003003,這 2003003 個(gè)數(shù)的積為.2003001例 5(1)第 3 次操作后所得到的 9 個(gè)數(shù)為：2,7,5,3,4,3.6263它們的和為 2+11+7+17+5+3+4+3=

12、匡.62632(2)由條件知S0=5,則Sk1=Sk+至 3=上 3=k1k1k1k155,657585145(3)因&.故S4=6S3-=40；S5=7S45=55,S6=-S5-5=.24455662【能力訓(xùn)練】1.10101002.142 提示：若有 n n 個(gè)黑色六邊形，則白色六邊形個(gè)數(shù)為 4n n+2.故=35 時(shí)，4n+2=4X，35=142 個(gè).3.4.B195.76 黑色梯形的規(guī)律明顯：每個(gè)梯形的高都為 2,上底分別對(duì) OA 上白 11,5,9,，下底分別對(duì)應(yīng) OAOA 上白 33,7,11,7,11,. .而上、下底的長(zhǎng)度恰好和它在 OAOA 上對(duì)應(yīng)的數(shù)值是一樣的.以

13、上底為例，1=1,5=1+4X1,9=1+4X2,，故第 10 個(gè)梯形的上底對(duì)應(yīng) OAOA 上的數(shù)為 1+4X9=(1)可分組為(99 項(xiàng)中有99=33 個(gè)偶數(shù).310 .設(shè)至少要畫(huà) k k 條直線.k k 條直線最多將圓分成 1+1+2+3+4+k k 塊，當(dāng) k=9 時(shí)，1+1+2+3+9=46,當(dāng) k=10 時(shí)，1+1+2+3+10=56,故至少要畫(huà)片分成不小于 50 塊.11 .若對(duì)前三個(gè)先進(jìn)行計(jì)算:最大的數(shù)是第 10 個(gè)數(shù).37,下底的長(zhǎng)正好為 39,于是。= =3739237392=76.=76.6. A7.D 提示：2013+4=5031,故在第 504 個(gè)正方形右下角.8.(1

14、)第 1 列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在的行數(shù)的平方.第10 行起，左起第213 歹 U,應(yīng)該是第 13 列的第 10 個(gè)數(shù)，即131+10=144+10=154.數(shù) 127 滿(mǎn)足關(guān)系式 1.27=112+6=1212+6,即 127 在左起第 12 列,上起第 6 行的位置.9.觀察已經(jīng)寫(xiě)出的數(shù)，發(fā)現(xiàn)每三個(gè)連續(xù)數(shù)中恰好有一個(gè)偶數(shù)，在前100 項(xiàng)中, 第 100 項(xiàng)是奇數(shù)，前10 條直線，可以將圓紙第 1 個(gè)數(shù):1-（1+2-）21八一=0;2第 2 個(gè)數(shù):1-（1+3-）21第 3 個(gè)數(shù):1-（1+）14212+13C15+一*1按此規(guī)律，第 n n 個(gè)數(shù)：n11（1+）211+-1312nT1T=42n由此可知 n n 越大，第 n n 個(gè)數(shù)越小，那么在第10 個(gè)數(shù)，第11 個(gè)數(shù)，第 12 個(gè)數(shù)，第 13 個(gè)數(shù)中,12.一個(gè)依次排列的 n n 個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)串：a1,a2,a3,an.依題設(shè)操作方法可得新增的數(shù)為：a2“，a3