常微分方程期末試卷(A)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上廣西師范大學漓江學院試卷（2008 2009 學年第二學期）課程名稱：常微分方程 課程序號： 開課院系：理學系任課教師：陳迪三 年級、專業(yè)：07數學 考試時間：120分鐘 考核方式：閉卷 開卷 試卷類型：A卷 B卷 得 分評卷人一、 填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)(請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分) .1、方程有積分因子的充要條件為.2、連續(xù)是保證對滿足利普希茨條件的 充分條件 條件3、函數組的朗斯基行列式值為 4、若是二階齊次線性微分方程的基本解組，則它們 無 (有或無)共同零點 5、若矩陣具有個線性無關的特征向量，它們對應的特征值分

2、別為，那么常系數線性方程組的一個基解矩陣=.得 分評卷人二、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分.)(請在每小題的括號中填上正確答案，錯填、不填均無分)1、形如的方程是（ D ）.A歐拉方程 B貝塞爾方程 C黎卡爾方程 D伯努力方程 2、設連續(xù)，是在上的兩個線性無關解，且，則（ A ）. （A） （B） （C） （D） 3、二階非齊次線性微分方程的所有解（ C ） （A）構成一個2維線性空間 （B）構成一個3維線性空間 （C）不能構成一個線性空間 （D）構成一個無限維線性空間 4、如果，都在平面上連續(xù)，而且有界，則方程 的任一解的存在區(qū)間（ A ） （A）必為 （B）必為 （C）必

3、為 （D）將因解而定 5、若是齊次線性方程組的一個基解矩陣，為非奇異常數矩陣，那么是否還是此方程組的基解矩陣（ B ）. (A) 不是 (B) 是 (C) 也許是 (D) 也許不是得 分評卷人三、 計算題(本題共4小題，每小題6分，共24分)(求下列微分方程的通解) .得分1、 ； 1、解：將方程變?yōu)?.（2分） 則有 .（1分）從而得 (為任意的常數） （3分）2、 ；解：由于，所以原方程是恰當方程 （2分 ） 假設存在使得它同時滿足方程： 和 （1分 ） 則有且，所以 （2分 ），即原方程的通解為： .（1分）3、 ； 解：齊次方程的特征方程為 齊次方程的通解為 （2分） 令 ，并求其特解

4、如下：由于是單根，故設特解為 代入原方程比較系數得 所以 則原方程有特解 （3分） 故原方程的通解為 （1分）4、 ；解：令方程的解為，代入原方程有 （3分） 于是（二重）（1分）故原方程的通解為 （2分）得 分評卷人四、 解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)(寫出解題的詳細步驟) .得分（1）設函數連續(xù)且滿足，求.解：兩邊關于求一階導數，有 （2分） 兩邊關于再求一階導數，得 （2分）即 而且 （1分）而方程的解表示為 （3分）由，可得 （2分）（2） 求方程組滿足初始條件的解.解：方程組的特征方程為，所以特征根為（二重） （2分）對應齊次方程組的基解矩陣 （3分）滿足初始條件的特解 （2分） （3分）得 分評卷人五、證明題(本大題共2小題，每小題13分，共26分)(寫出解題的詳細步驟，空間不夠請將答案寫在試卷背后) .1、假設是二階齊次線性方程的解，其中在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：，其中為常數, .證：（） （6分）（）因為為方程的解，則由劉維爾公式 （3分） 兩邊都乘以則有：，于是： （4分）2. 設和是方程的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數.證明：因為方程的任意兩個解 所以， （4分）于是構成的伏朗斯基行列式 （5分）由于和是方程的解，因此，所以，故 （4分）學 號： 姓 名： 所屬院系