統(tǒng)計學基礎(chǔ)第五講：概率分布

1、統(tǒng)計學第五講：概率分布甄峰大學統(tǒng)計學院2013年10月16日特別感謝張宇婷同學的貢獻！學習目標掌握隨機掌握常用隨與概率的定義與計算規(guī)則量及其分布了解由正態(tài)分布導出的幾個重要分布理解統(tǒng)計量與抽樣分布School of Statistics, Renmin University of China2內(nèi)容隨機隨與概率量的分類與概率分布由正態(tài)分布導出的幾個重要分布統(tǒng)計量及其分布School of Statistics, Renmin University of China31.1 隨機在同一組條件下，對某事物或現(xiàn)象所進行的觀察或?qū)嶒灲凶鲈囼灒言囼灥慕Y(jié)果叫做隨機/必然/不可能基本例：擲，樣本空間，=1,

2、2,3,4,5,6School of Statistics, Renmin University of China4 1.2 概率P(A):對發(fā)生的可能性大小的度量A發(fā)生的次數(shù) = m = pP(A) = n =重復試驗次數(shù)例：拋硬幣1.000.750.500.250.000255075100125Number of TossesSchool of Statistics, Renmin University of China5 1.2.1 概率的性質(zhì)School of Statistics, Renmin University of China61.2.2 概率的運算法則加法法則加法法則：P(

3、AB)=P(A)+P(B)P(AB)例 ：一副牌中抽取一張，觀察點數(shù)與顏色求P(AB)=？School of Statistics, Renmin University of China7點數(shù)顏色合計RBA224其他242448合計2626521.2.2 概率的運算法則加法法則School of Statistics, Renmin University of China8點數(shù)顏色合計RBA224其他242448合計2626521.2.2 概率的運算法則加法法則 = P(A) ´ P(B|A)= P(B) ´ P(A|B) School of Statistics, Ren

4、min University of China91.2.2 概率的運算法則加法法則= P(A) ´ P(B|A)School of Statistics, Renmin University of China101.2.2 概率的運算法則全概率與貝葉斯*P( A Ç B) =P( Ai )P(B | Ai )P( A | B) =, i = 1, 2,，niinP(B)å P( Aj )P(B | Aj )j =1School of Statistics, Renmin University of China111.2.2 概率的運算法則全概率與貝葉斯*例某公司在

5、兩個廠家生產(chǎn)mp3，廠家的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的60%，廠家占40%。已知廠家的次品率為2%，廠家的次品率為1%?，F(xiàn)隨機抽取一個mp3，發(fā)現(xiàn)為次品，則它來自廠家的概率為多少？P(I )P(D | I )P(I | D) =P(I )P(D | I ) + P()P(D |)=0.6 × 0.02= 0.750.6 × 0.02 + 0.4 × 0.01School of Statistics, Renmin University of China12內(nèi)容隨機隨與概率量的分類與概率分布由正態(tài)分布導出的幾個重要分布統(tǒng)計量及其分布School of Statistics, Re

6、nmin University of China132.1 隨量X： 用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量例如： 擲一顆出現(xiàn)的點數(shù)某天進入某超市的顧客數(shù)Y；電視機的T(1)離散型隨量：隨量X的所有取值都能逐個列出來School of Statistics, Renmin University of China14試驗隨量可能的取值抽查100個取到次品的個數(shù)0,1,2，100一家餐館營業(yè)一天顧客數(shù)0,1,2，電腦公司一的銷售銷售量0,1,2，銷售一輛汽車顧客為0，女性為12.1 隨量(2)連續(xù)型隨量：隨量X的所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某區(qū)間內(nèi)的任一點。School of Statisti

7、cs, Renmin University of China15試驗隨量可能的取值抽查一批電子元件使用（小時）X0新建一座住宅樓半年后完工的百分比0X100測量一個的長度測量誤差（cm）X02.2 隨量及其概括性度量m = E ( X ) = å xi pii= D( X ) = å(xå- m)2s 2× piiiSchool of Statistics, Renmin University of China162.2 隨量及其概括性度量例一家電腦配件供應(yīng)商聲稱，他所提供的配件100個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表。求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學期望和標準差。m

8、 = å xi pi = 0´ 0.75 +1´ 0.12 + 2 ´ 0.08 + 3´ 0.05 = 0.43i= å(x - m)2å is 2s = 0.8397p = 0.7051iiSchool of Statistics, Renmin University of China172.2 隨量及其概括性度量連續(xù)型隨量的期望：+¥E( X ) = ò-¥ xf (x)dx = m連續(xù)型隨量的方差：+¥ò2f (x)dx =s2D(X) =x - E(X)-¥

9、;School of Statistics, Renmin University of China18概率密度函數(shù)2.3 概率分布離散型隨量離散型隨量概率分布：School of Statistics, Renmin University of China192.3.1 二項分布(Binomial Distribution)貝努力(Bernoulli)試驗：(1) 一次試驗只有兩個可能結(jié)果，即“”和“失敗”(2) 一次試驗“”的概率為p ，失敗的概率為q =1- p，且概率p對每次試驗都是相同的(3) 試驗是相互(4) 在n次試驗中，“的，并可以重復進行n次”的次數(shù)對應(yīng)一個離散型隨量XScho

10、ol of Statistics, Renmin University of China20 2.3.1 二項分布重復進行 n 次試驗，出現(xiàn)“二項分布，記為XB(n，p)”的次數(shù)的概率分布稱為()n- xX = x = C p q(x = 0,1, 2,", n)xxPnn!式中：Cx=nx!(n - x)!School of Statistics, Renmin University of China21 2.3.1 二項分布期望值：m = E ( X ) = å xi pii= np方差：= å(xå- m)2 × ps 2= npqiii

11、School of Statistics, Renmin University of China22 2.3.1 二項分布例已知一批取5個。求5個的次品率為4%，從中任意有放回地抽中：(1) 沒有次品的概率是多少？(2) 恰好有1個次品的概率是多少？(3) 有3個以下次品的概率是多少？5-0P( X = 0) =P( X = 1) =C (0.04) (1- 0.04)= 0.815372698= 0.169869312005C (0.04) (1- 0.04)5-1115P( X < 3) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2)= 0.815372698

12、 + 0.169869312 + 0.014155776= 0.9993978School of Statistics, Renmin University of China23 2.3.1 二項分布用Excel計算概率第1步：在Excel表格界面，直接點擊【fx】(函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】中點擊【BINOMDIST】，然后單擊【確定】第3步：在【Number_s】后填入試驗在【Trials】后填入總試驗次數(shù) 在【Probability_s】后填入試驗的次數(shù)概率在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示計算成功次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填

13、入1或TRUE表示計算次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累積概率值)School of Statistics, Renmin University of China242.3.2 泊松分布(Poisson Distribution)用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一出現(xiàn)次數(shù)的分布。例：(1) 在某企業(yè)中每月發(fā)生的事故的次數(shù)(2) 一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù)(3) 一定時期內(nèi)，某放射性物質(zhì)放射出來的粒子數(shù)-lxl > 0)= 0,1, 2,",PSchool of Statistics, Renmin University of China25 2.3.2

14、泊松分布x-l= 0,1, 2,",l > 0)Pl: 給定時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi)“ e = 2.71828x : 給定時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi)“”的平均數(shù)”的次數(shù)School of Statistics, Renmin University of China26 2.3.2 泊松分布l = 0.5期望值= E(x) =標準差l = 6s =lSchool of Statistics, Renmin University of China27P(X).3.2.1.0XP(X).8.6.4.2.0X012345 2.3.2 泊松分布l x e- lp ( x) =x

15、 !(3.6 )4e-3.6p (4) = .19124! School of Statistics, Renmin University of China28 2.3.2 泊松分布用Excel計算概率第1步：在Excel表格界面，直接點擊【fx】(函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】中點擊【POISSON 】，然后單擊【確定】第3步：在【X】后填入出現(xiàn)的次數(shù)在【Means】后填入泊松分布的均值在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示計算次數(shù)恰好等于指定數(shù)值的概率(填入1或TRUE表示計算值的累積概率值)次數(shù)小于或等于指定數(shù)School of Sta

16、tistics, Renmin University of China29 2.3.3 超幾何分布 總體N個觀察，有M個具有某特征，取n個恰有x個具有該特征N= M ( N - r )n( N - n)µ = nMs 2N 2 ( N -1)NSchool of Statistics, Renmin University of China30 2.3.3 超幾何分布例假定有10支股票，其中3支后可以獲利，另外7支購買后將會虧損。如果你打算從10支股票中選擇4支你并不知道哪3支是獲利的，哪7支是虧損的。求(1)有3支能獲利的股票都被你選中的概率有多大？，但(2)3支可獲利的股票中至少有

17、2支被你選中的概率有多大？設(shè)N=10，M=3，n=44-31´ 71=10-3410210304-20-31313=+=C430101010School of Statistics, Renmin University of China31 2.3.3 超幾何分布用Excel計算概率第1步：在Excel表格界面，直接點擊【fx】(函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】中點擊【 HYPGEOMDIST】，然后單擊【確定】第3步：在【Sample_s 】后填入樣本中的次數(shù)x在【Number_sample】后填入樣本容量n在【Population_s】后填入總體中

18、在【Number_pop】后填入總體中的的次數(shù)M總數(shù)NSchool of Statistics, Renmin University of China322.4 概率分布連續(xù)型隨量School of Statistics, Renmin University of China332.4 概率分布連續(xù)型隨量School of Statistics, Renmin University of China342.4.1 正態(tài)分布(Normal Distribution)概率密度函數(shù)：- 1 ( x-m )21f (x) =- ¥ < x < +¥2s 2e,2 s 2

19、School of Statistics, Renmin University of China35 2.4.1 正態(tài)分布正態(tài)分布的圖形特點：關(guān)于x=m對稱鐘形曲線，且峰值在x=m 處標準差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。s越大，曲線越平緩；s 越小，曲線越陡峭當X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠與之相交正態(tài)隨量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1School of Statistics, Renmin University of China36 2.4.1 正態(tài)分布- 1 (x-m )21f (x) =- &#

20、165; < x < +¥2s 2e,2 s 2School of Statistics, Renmin University of China37 2.4.1 正態(tài)分布概率：與分布函數(shù)值相關(guān)，是密度函數(shù)曲線下的面積！School of Statistics, Renmin University of China38 2.4.1 正態(tài)分布標準正態(tài)分布：隨分布量具有均值為0，標準差為1的正態(tài)- 1 z21f(z) =- ¥ < x < +¥e,22 任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布：Z = X - m N (0,

21、1)sSchool of Statistics, Renmin University of China39 2.4.1 正態(tài)分布f(x)xZµ0aa - bb - School of Statistics, Renmin University of China40P(a < X < b) = Pæ a - < Z < b - öç÷èø= Fæ b - ö -Fæ a - öç÷ç÷èøè&#

22、248; 2.4.1 正態(tài)分布用Excel計算概率第1步：在Excel表格界面中，點擊“fx ”(函數(shù))命令第2步：在【選擇類別】中點擊【統(tǒng)計】，并在【選擇函數(shù)】中點擊【NORMDIST】，然后單擊【確定】第3步：在【X】后輸入正態(tài)分布函數(shù)計算的區(qū)間點(即x值) 在【Mean】后輸入正態(tài)分布的均值在【Standard_dev】后輸入正態(tài)分布的標準差在【Cumulative】后輸入1(或TRUE)表示計算現(xiàn)次數(shù)小于或等于指定數(shù)值的累概率單擊【確定】出School of Statistics, Renmin University of China41 2.4.1 正態(tài)分布用Excel計算概率 另外

23、兩個有用的函數(shù)-標準正態(tài)分布函數(shù)值的計算【NORMSDIST】【NORMSINV】School of Statistics, Renmin University of China42 2.4.1 正態(tài)分布 2.4.1 正態(tài)分布例已知XN(0,1)，求P(X<1.5)；P(-1<X<3)；P(|x| < 2) P(X<1.5) = F(1.5) = 0.9332 P(-1<X<3) = P(X<3)-P(X<-1)= F(3) - F(-1) =F(3) 1-F(1)= 0.9987-(1-0.8413)= 0.84 P(|x|<2)

24、= P(-2<X<2)=F(2) - F(-2) =F(2) 1-F(2)= 2F(2) -1= 0.9545f(x)µ0xZaa -bb -School of Statistics, Renmin University of China44 2.4.1 正態(tài)分布f(x)µ0xZaa -bb -School of Statistics, Renmin University of China45 2.4.1 正態(tài)分布數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗：直方圖或莖葉圖 若近似正態(tài)分布，則與正態(tài)曲線相似正態(tài)概率圖（圖/P-P圖）非參數(shù)檢驗中的Kolmogorov-Smirnov檢驗(K

25、-S檢驗)School of Statistics, Renmin University of China462.4.2 均勻分布(Uniform Distribution)取值區(qū)間內(nèi)概率密度函數(shù)發(fā)生概率相同1f (x) =c £ x £ dd - c期望值m = c + d2標準差s = d - c12P (a < x < b) = (b - a) (d - c),c £ a < b £ dSchool of Statistics, Renmin University of China47 2.4.2 均勻分布 = a + b = 2

26、 + 6 = 422(b-a)2(6-2)2= 1.33321212School of Statistics, Renmin University of China482.4.3 指數(shù)分布(Exponential Distribution)兩次發(fā)生的間隔時間概率密度函數(shù)：- x1(x > 0)f (x) = q eq期望值（平均間隔時間）= q標準差=e=2.71828School of Statistics, Renmin University of China49 2.4.3 指數(shù)分布例假定某醫(yī)院處理兩次急救事故的時間間隔服從=2的指數(shù)分布，求5小時內(nèi)無急救事故的概率。= e-(5

27、2) = e-2.5= .082085A = e- a qA = e-2.5School of Statistics, Renmin University of China50內(nèi)容隨機隨與概率量的分類與概率分布由正態(tài)分布導出的幾個重要分布統(tǒng)計量及其分布School of Statistics, Renmin University of China51 3.1 t分布類似正態(tài)分布的一種對稱分布，通常比正態(tài)分布平坦分散依賴于稱之為自由度的參數(shù)隨自由度增大，分布逐漸趨于正態(tài)分布標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布t (df = 13)t (df = 5)t 分布ztt 分布與標準正態(tài)分布的比較不同自由度的t分布

28、School of Statistics, Renmin University of China52 3.1 t分布用Excel計算概率【TDIST】函數(shù)，可以計算給定值和自由度時分布的概率值語法：TDIST(x,degrees_freedom,tails)利用【TINV】函數(shù)則可以計算給定概率和自由度時的相應(yīng)語法：TINV(probability,degrees_freedom)School of Statistics, Renmin University of China53 3.1 t分布*School of Statistics, Renmin University of China5

29、4P(X>a) in dfDf=4, P(X>2.776)=0.025 3.2 c2分布z = X - m N(0,1)X N(m,s 2 ) ，則設(shè)sY c2(1)令 Y = z2 ，則y 服從自由度為1的c2分布，即nå iv =2y對于n個正態(tài)隨量y，y，y ，則隨量稱12ni=1為具有n個自由度的c2分布，記為v c2(n)School of Statistics, Renmin University of China55 3.2 c2分布特點分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為：E(c

30、2)=n，方差為：D(c2)=2n(n為自由度)的c2分布隨可加性：若U和V為兩個量，Uc2(n1)，Vc2(n2),則U+V這一隨的c2分布量服從自由度為n1+n2School of Statistics, Renmin University of China56 3.2 c2 分布n=1n=4n=10n=20c2School of Statistics, Renmin University of China57 3.2 c2 分布用Excel計算概率【CHIDIST】函數(shù)，計算c2分布右單尾的概率值語法：CHIDIST(x,degrees_freedom) ，其中df為自由度，x,是隨量的

31、取值利用【CHIINV】函數(shù)則可以計算給定右尾概率和自由度時相應(yīng)的反函數(shù)值語法：CHIINV(probability,degrees_freedom)School of Statistics, Renmin University of China58 3.3 F分布設(shè)若U為服從自由度為n1的c2分布，即U c2 (n1)V為服從自由度為n2的c2分布，即Vc2(n2)且U和V相互，則U nF =1Vn2稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為F F (n1, n2 )School of Statistics, Renmin University of China59 3.3 F分布(1,10)

32、(5,10)(10,10)FSchool of Statistics, Renmin University of China60 3.3 F分布用Excel計算概率【FDIST】函數(shù)，計算分布右單尾的概率值語法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)利用【FINV】函數(shù)則可以計算給定單尾概率和自由度時的相應(yīng)F值語法：FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)School of Statistics, Renmin University of China61內(nèi)容隨機隨與概率量的分類與概率分布

33、由正態(tài)分布導出的幾個重要分布統(tǒng)計量及其分布School of Statistics, Renmin University of China62 4.1 參數(shù)和統(tǒng)計量參數(shù)：描述總體特征的概括性數(shù)字度量，是研究者想要了解的總體的某種特征值統(tǒng)計量：描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的一些量，是樣本的函數(shù)PopulationSampleRandom samplingSchool of Statistics, Renmin University of China63Statistic ： xs2Parameter ：md 2 4.1 參數(shù)和統(tǒng)計量School of Statistic

34、s, Renmin University of China64 4.2 抽樣分布容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，樣本統(tǒng)計量的概率分布此時（重復試驗），樣本統(tǒng)計量成為隨量School of Statistics, Renmin University of China65x, p, s4.2.1 樣本統(tǒng)計量的分布均值分布均值和方差N總體分布åå ixxm = 2.5i =1.3.2.10NNåå(x - m)2is 21234=1.25i=1NSchool of Statistics, Renmin University of China664.2.1

35、樣本統(tǒng)計量的分布均值分布現(xiàn)從總體中抽取n2的簡單隨機樣本，在重復抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果為School of Statistics, Renmin University of China67所有可能的n = 2 的樣本（共16個）第一個觀察值第二個觀察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,44.2.1 樣本統(tǒng)計量的分布均值分布計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布P ( x )0.30.20.101.01.5 2.02.53.03.54.0x樣本均值的抽樣分布School of St

36、atistics, Renmin University of China6816個樣本的均值（x）第一個觀察值第二個觀察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.04.2.1 樣本統(tǒng)計量的分布均值分布 樣本均值的分布與總體分布的比較0.3P(x)0.250.20.150.10.05012x34的取值mx= 2.5= 0.625s2xSchool of Statistics, Renmin University of China694.2.1 樣本統(tǒng)計量的分布均值分布= s ns x(n ³ 30) .xmx= mS

37、chool of Statistics, Renmin University of China704.2.1 樣本統(tǒng)計量的分布均值分布School of Statistics, Renmin University of China714.2.1 樣本統(tǒng)計量的分布均值分布抽樣分布與總體分布的關(guān)系大樣本小樣本School of Statistics, Renmin University of China724.2.1 樣本統(tǒng)計量的分布均值分布樣本均值的分布：x - msæö2x Nm N (0，1)¼，x N ç，÷snnèø樣

38、本均值的期望值和方差= s 2E(x ) = ms22xnSchool of Statistics, Renmin University of China734.2.2 樣本統(tǒng)計量的分布比例分布總體(或樣本)中具有某種屬性的總體比例可表示為：與全部總數(shù)之比N0N1p =1- p =或NN樣本比例可表示為：p = n01- p = n1或nnSchool of Statistics, Renmin University of China744.2.2 樣本統(tǒng)計量的分布比例分布當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似，即p N æp , p (1- p ) öç÷ènøSchool of Statistics, Renmin University of China754.2.3 樣本統(tǒng)計量的分布方差分布對于來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，(n -1)