高數(shù)中七種積分的注記

1、高等數(shù)學(xué)中幾種積分的注記摘要：高等數(shù)學(xué)課程中出現(xiàn)了多種積分形式，本文從積分概念、積分實際意義、計算公式等幾個方面，用列表的形式加以總結(jié)、梳理、區(qū)分。關(guān)鍵字：定積分,二重積分,三重積分,曲線積分,曲面積分高等數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了多種積分，以及他們的計算方法。如果不及時總結(jié)梳理所學(xué)的知識，往往會混淆概念，對公式一知半解，猶如走入了迷宮，滿頭霧水。做起題目不知從何下手。下面我們就定積分，二重積分，三重積分，第一類曲線、曲面積分，第二類曲線、曲面積分，從定義、實際意義、計算方法幾個方面進行總結(jié)梳理。1積分定義上述幾種積分的概念都可以劃分為四步：“大化小、常代變、近似和、取極限”。因此定積分、二重積分、三重

2、積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分可以概括為如下的定義1，第二類曲線積分、第二類曲面積分可以概括為如下的定義2定義1 設(shè)為一有界幾何體，f (M)是上的有界函數(shù)，把任意劃分成n部分 (同時也表示第i部分的度量)，令 = max的直徑，Mi為上任意取定的一點，作和式。如果當(dāng)0時，總存在，則稱此極限為f (M)在幾何體上的積分，記為，即上述概念將前五種積分統(tǒng)一起來，分析如下表：積分類型定義式定積分區(qū)間a,bR二重積分平面區(qū)域DR2三重積分空間區(qū)域R3第一類曲線積分空間(平面)曲線LR3 (R2)()第一類曲面積分空間曲面R3定義2 設(shè)為N維空間中一光滑有向的有界幾何體，且為m維(m<N)，

3、f (M)是上的有界函數(shù)，把任意劃分成n部分 (同時也表示第i部分的度量)，令 = max的直徑，在某m維子空間的投影為(也表示±1·的度量，其中符號有的方向決定)，Mi為上任意取定的一點，作和式。如果當(dāng)0時，總存在，則稱此極限為f (M)在有向幾何體上對該m維空間的第二類積分，記為，即上述概念將后兩種積分統(tǒng)一起來，分析如下表：積分類型定義式第二類曲線積分三維(二維平面)有向光滑曲線LR3 (R2);()第二類曲面積分光滑有向曲面R32上述積分的實際意義為了更直觀地區(qū)分各積分的概念，了解他們之間的聯(lián)系，現(xiàn)將其幾何意義總結(jié)如下表：函數(shù)積分類型幾何意義當(dāng)f 0時定積分由曲線y=

4、f (x),x軸,直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形的面積二重積分以D為底，曲面z=f (x,y)為頂?shù)那斨w的體積三重積分占據(jù)空間密度為f (x,y,z)的幾何體的質(zhì)量第一類曲線積分以f (x,y)為點密度的曲線掛件L的質(zhì)量第一類曲面積分以f (x,y,z)為面密度的曲面掛件的質(zhì)量當(dāng)f = 1時區(qū)間a,b的度量(長度)b - a區(qū)域D的度量(面積)SD區(qū)域的度量(體積)V3各種積分的計算(以直角坐標(biāo)系為例)假設(shè)下面所涉及的函數(shù)都為積分區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則其積分存在。計算積分的整體思想就是數(shù)學(xué)中常用的降維思想，即把重積分轉(zhuǎn)化為定積分。(1)定積分的計算N-L公式：，其中 (2)重積分化為定積分(逐次積分)積分類型積分區(qū)域計算公式二重積分三重積分 (3)曲線與曲面積分化為定積分或重積分積分類型積分區(qū)域計算公式第一類曲線積分第二類曲線積分第一類曲面積分第二類曲面積分±符號有的取向決定參考文獻：1 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)（第六版上下冊）M北京：高等教育出版社，2007.42 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（第四