高等數(shù)學(xué)中有理分式定積分解法總結(jié)

1、由十個(gè)例題掌握有理分式定積解法【摘要】 當(dāng)被積函數(shù)為兩多項(xiàng)式的商的有理函數(shù)時(shí)，解法各種各樣、不易掌握，在此由易到難將其解法進(jìn)行整理、總結(jié) 【關(guān)鍵詞】 有理分式 真分式 假分式 多項(xiàng)式除法 拆項(xiàng)法 湊微分法 定積分 兩個(gè)多項(xiàng)式的商稱為有理函數(shù)，又稱為有理分式，我們總假定分子多項(xiàng)式 與分母多項(xiàng)式之間無(wú)公因式，當(dāng)分子多項(xiàng)式的次數(shù)小與分母多項(xiàng)式，稱有理式為真分式，否則稱為假分式.1.對(duì)于假分式的積分：利用多項(xiàng)式除法，總可將其化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式.例1.2 總結(jié)：解被積函數(shù)為假分式的有理函數(shù)時(shí)，用多項(xiàng)式出發(fā)將其化簡(jiǎn)為多項(xiàng)式和真分式之和的形式，然后進(jìn)行積分.對(duì)于一些常見(jiàn)函數(shù)積分進(jìn)行記憶，有

2、助于提高解題速度，例如：對(duì)于真分式，若分母可分解為兩個(gè)多項(xiàng)式乘積=，且，無(wú)公因式，則可拆分成兩個(gè)真分式之和：，上述過(guò)程稱為把真分式化為兩個(gè)部分分式之和.若或再分解為兩個(gè)沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式乘積，則最后有理函數(shù)分解式中出現(xiàn)多項(xiàng)式、等三類函數(shù)，則多項(xiàng)式的積分容易求的2.先舉例，有類型一、類型二、類型三，以此為基礎(chǔ)求解較復(fù)雜的真分式積分2.1 類型一 例 總結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的形式，將其進(jìn)行化簡(jiǎn)，使被積函數(shù)為簡(jiǎn)單冪函數(shù)，然后利用常見(jiàn)積分公式進(jìn)行運(yùn)算2.2 類型二 例 解 令,則，有總結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)形如時(shí)，將其用換元法轉(zhuǎn)換為，再按照后者解法求解2.3 類型三 3. 以前面的幾種簡(jiǎn)單類型為基礎(chǔ)，現(xiàn)在來(lái)討論較為復(fù)雜的有理真分式的積分 總結(jié)：假分式分母可以因式分解，將被積函數(shù)化為部分分式之和的形式，然后用基本積分公式進(jìn)行運(yùn)算. 例3.2 總結(jié)：遇到被積函數(shù)是復(fù)雜的有理函數(shù)，用拆分法將其分解為自己熟悉的函數(shù)，靈活變換. 例3.3 總結(jié)：此題能夠得出一個(gè)重要結(jié)論，分母因式分解要求為各個(gè)因式之間無(wú)公約數(shù)，以此為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行因式分解，拆項(xiàng)除此之外，常見(jiàn)的還有，可化為有理函數(shù)的積分.例如利用三角函數(shù)的萬(wàn)能公式，將被積函數(shù)中含有三角函數(shù)的分式函數(shù)，例：.例如被積函數(shù)中含有時(shí)用換元法將根號(hào)去掉，例：，. 雖然形式各種各樣,但只要