隨機(jī)過程作業(yè)

1、要求：前六個(gè)題每人選3個(gè)，第7題到第14題每人任選1個(gè)。第三章Poisson過程1、設(shè)是強(qiáng)度為的Poisson過程，令，其中L>0為常數(shù)，求的一維分布，均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。2、設(shè)是強(qiáng)度為的Poisson過程，證明對(duì)于任意的，3、設(shè)有兩個(gè)相互獨(dú)立，強(qiáng)度分別為的Poisson過程，證明在過程中兩個(gè)相鄰事件間，過程出現(xiàn)k個(gè)事件的概率為4、設(shè)復(fù)合Poisson過程，證明也是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。5、對(duì)于齊次泊松過程，計(jì)算的聯(lián)合分布。6、產(chǎn)生一個(gè)泊松隨機(jī)變量。設(shè)隨機(jī)變量列服從（0，1）上的的均勻分布，且相互獨(dú)立：若,證明服從參數(shù)為的指數(shù)分布；若定義為滿足下式之值：，其中利用證明服從均值為的泊松分布。7

2、、考慮一個(gè)從底層起動(dòng)上升的電梯。以記在第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。設(shè)相互獨(dú)立，且是均值為的泊松變量。在第層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率在第層離開電梯。=1，令為第層離開電梯的人數(shù)。求；的分布是什么？的聯(lián)合分布是什么？8、考慮一個(gè)具有個(gè)面的骰子，且假定每擲一次只呈現(xiàn)其一面，第面以概率出現(xiàn)，。給定數(shù)，以記直到第面出現(xiàn)次時(shí)所需擲次數(shù)，。令,于是是對(duì)某個(gè),第面出現(xiàn)次時(shí)所需擲次數(shù).的分布是什么?諸獨(dú)立嗎?設(shè)拋擲是在參數(shù)為=1的泊松過程所產(chǎn)生的隨機(jī)來到時(shí)刻進(jìn)行的。以記直到第面出現(xiàn)次所需要時(shí)間，令， 的分布是什么?諸獨(dú)立嗎?導(dǎo)出的表達(dá)式。用導(dǎo)出的表達(dá)式。9、個(gè)體按照參數(shù)為的泊松過程進(jìn)入系統(tǒng)。每個(gè)來到的個(gè)體相互獨(dú)立地

3、經(jīng)歷系統(tǒng)的狀態(tài)。以記一個(gè)體來到后經(jīng)過時(shí)間處于狀態(tài)的概率。以記在時(shí)刻處于狀態(tài)的個(gè)體數(shù)。證明相互獨(dú)立且服從均值為一個(gè)體從進(jìn)入系統(tǒng)到時(shí)止處于狀態(tài)的時(shí)間。10、證明非齊次泊松過程的增量服從均值為的泊松分布。11、一個(gè)二維泊松過程是在平面上隨機(jī)發(fā)生的事件構(gòu)成的過程，使得（i）對(duì)于任一面積為的區(qū)域，其中的事件數(shù)服從均值為的泊松分布；（ii）不相交的區(qū)域中的事件數(shù)是相互獨(dú)立的。對(duì)此過程，考慮平面上任意一點(diǎn)，以記它與最近的事件間的距離，此處的距離是指通常的歐氏距離。證明 ；。12、設(shè)是復(fù)合泊松過程，計(jì)算。13、對(duì)一個(gè)條件泊松過程：（a） 解釋為什么條件泊松過程有平穩(wěn)增量但無獨(dú)立增量。（b） 在已知,即過程直到時(shí)的歷史資料條件下，計(jì)算的條件分布，并且證明它只依賴于。解釋為什么會(huì)是這樣的。（c） 在已知=的條件下，計(jì)算之后第一個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻的條件分布。（d） 計(jì)算（e） 以表示來到間隔，它們獨(dú)立嗎？它們同分布嗎？14、考慮一個(gè)條件泊松過程，其中服從參數(shù)為與