平方差與完全平方專題(含答案)

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)：(a+b)(a-b尸a 2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a 2-ab+b2)=a 3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3 b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運用公式：位置變化，(X4y *刁攸/2_y2 符號變化，J咒x j_y2=x 2_y2 指數(shù)變化，(X24y2 02_y2/4_丫422 系數(shù)變化，(2a4b j2a-b/a _b換式變化，Ixy z m |xy- z m22 xy - z m=x2y2- z m z m=x2y2-(z2 zm zm rm=x2y2 -z2 -2zm-n2增項

2、變化， x-y z x-y-z22 x-y -z2: x-y x-y-z222=x-xy 云y y -z222=x -2xy y -z22 連用公式變化，(x jx-y jx +y)二y寸x2 y244女-y 逆用公式變化，(x-y J-(x+y-z )=1 x-y z ;rix y-z I1 x-y z - x y-z =2x -2y 2z=-4xy 4xz例 1.已知 a +b = 2, ab = 1,求 a2 +b2的值。解：(a +b)2 = a2 +2ab +b2，a2 + b2 =(a+b)2 _2ab222a+b=2, ab=1a +b =2 _2x1 = 2例 2.已知 a+b

3、=8, ab=2,求(a b)2 的值。解：(a b)2 = a2 2ab b2 (a - b)2 = a2 - 2ab b222. .2. .2，(a+b) (ab) =4ab ，(a+b) 4ab = (ab)22a+b=8, ab=2，(a b)2 =82 4父 2 =56例 3:計算 19992-2000 X 1998R解析1此題中 2000=1999+1, 1998=1999-1 ,正好符合平方差公式。解：19992-2000 X 1998 =1999 2- (1999+1) X ( 1999-1 ) =199 92- ( 19992-1 2) =19992-199 9 2+1 =1

4、例 4：已知 a+b=2, ab=1,求 a2+b2和(a-b) 2 的值。R解析1此題可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b) 2-2ab=4-2=2(a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5:已知 x-y=2 , y-z=2 , x+z=14。求 x2-z 2 的值。R解析1此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、v、z的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即可。解：因為 x-y=2 , y-z=2 ,將兩式相加得 x-z=4 ,所以 x2-z 2= (x+z) (x-z)=14 X 4=56。例 6:判斷(2+1) ( 22+

5、1) (24+1)(22°48+1) +1的個位數(shù)字是幾?R解析1此題直接計算是不可能計算出一個數(shù)字的答案,故有一定的規(guī)律可循。 觀察到1= (2-1 )和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：(2+1) (22+1) ( 24+1)(22048+1 ) +1(2-1 ) ( 22+1) (24+1)(22048+1 ) +1文案大全4096=21024=16因為當(dāng)一個數(shù)的個位數(shù)字是6的時候，這個數(shù)的任意正整數(shù)哥的個位數(shù)字都是6,所以上式的個位數(shù)字必為6。例7.運用公式簡便計算(1) 1032(2) 1982解：(1) 1032T10043，=1002母父100父3+32 =10000槍00前=

6、10609(2) 1982: 200-2 2 幺002-2 2 0 0 2 22 =40000-800 4 =39204例8 .計算(1) 044b與c jaab與C)(2)(3xy_2 j3x_y%)解：(1)原式 Ra-3c y+4b ，a-3c y4bx a-3c j-f 4b 沁2-6acyc2-16b2(2)原式=l3xn；y-2 Il3x- y-2 1-9x2- y 2-4y 4 =9x2-y2 4y-4例9.解下列各式(1)已知 a24b2=13, ab=6,求(aW2, (abj 的值。(2)已知(aW2q,(a-bj=4,求 a2+b2, ab 的值。2a2 b2(3)已知a

7、(a1 *a 4產(chǎn)，求三萬b- -ab的值。(4)已知x=3 ,求x4+A的值。 xx分析：在公式(aW jd他242ab中，如果把a(bǔ)卅，a2+b2和ab分別看作是一個整體，則公 式中有三個未知數(shù)，知道了兩個就可以求出第三個。22解：(1) a 為=13, ab=6.(a坨)=a2+b22abM342><6=25(a4)=a2+b2-2ab=13-26=1(2) (ab 2寸，(a42wa2abW2=7a2-2ab 地2N值得 2 (a2W2 產(chǎn)1,即 a2 +b2 =11 得 4 ab=3,即 ab =4(3)由 a(a-1 y(a2-bj=2得 a-b=222a+b1 2212

8、 12,-ab=5(a +b 2ab )=5(ab)=v(H)=2，11-r_ C 1O 1(4)由 x =3 ,得.x =9 即 x +-22=9 x +-2=11 xxxx214141, x =121 即 x + +2=121x + =119xxx例10.四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1, 一定是平方數(shù)嗎？為什么?2分析：由于1 2 3 4 1 =25=5223 4 5 1=121 =11_ _234 5 6 1 =361 =19得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,都是平方數(shù)。n n 1 n 2 n 3 1-|n n 3 I1 n 1 n 2 11解：設(shè)n, n+1, n技，n+3是四個連續(xù)

9、自然數(shù)n2+3n)2(n2+3n1W n/n jfn/n+2 戶n n2+3n) n是整數(shù)，n2, 3n都是整數(shù),n 2+3nM 一定是整數(shù)2.(n +3n貨屬一個平方數(shù):四個連續(xù)整數(shù)的積與 1的和必是一個完全平方數(shù)。例 11.計算 (1)(x24+1 2(2) (3rnnpj解：(1)(x2b 2#2 招(小,2空 x2 (我y+2x21+2(By1=x*%2x&x22x432=x -2x 3x -2x 12222222(2) (3m+n-p 3m)4n 4(-p3mn9 3m(-p J+2 n (-p/m% +p 為mn-6mp_2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣©地y 2

10、qaWytc 2叱 j罐(aW Jc+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc4c2 2222222=a 4b +c 42abbcac即(a+b+c)=a 4b +c 42ab+2bc+2ac幾個數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用：這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈, 準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運用公式打下基礎(chǔ)，同時能提高學(xué)生的觀察能力。ccccc 2c 2.例 1.計算：(5x +3y 5x2 3y )解：原式=(5x ) (3y ) = 25x 9y(二)、連用：連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例 2.

11、計算：(1 a (a+1'a2+1'(a4+1)解：原式二1 a2 1 a2 1 a4=1-a4 1 a4=1 .a8例 3.計算：(3x+2y 5z + 113x+2y 5z 1)解：原式=I 2y -5z 3x 1 II 2y 5z - 3x 1 22=2y -5z 3x 1= 4y2 - 9x2 25z2 - 20yz -6x -1三、逆用：學(xué)習(xí)公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出 公式的逆向形式，并運用其解決問題。22例 4.計算：(5a 十 7b8c) (5a - 7b + 8c)解：原式=I 5a 7b - 8ci5a - 7b 8c U

12、5a 7b - 8c)i5a - 7b 8c 1-10a 14b-16c-140ab -160ac四、變用：題目變形后運用公式解題。例 5.計算：(x+y2z jx 十 y 十6z)解：原式=L x y 2z)-4z" x y 2z i 4z 122=x y 2z i (4z 222_=x y - 12z 2xy 4xz 4yz五、活用：把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形 或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：.22.21. a b)： - 2ab = a b22 . 22. a - b I - 2ab = a b22223. a b a -b =

13、2a b224. a b j ia - b = 4ab靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例 6.已知 ab=4, ab = 5,求 a2+b2的值。解：a2+b2 =(a bf+2ab=42+2V5=26.、，22例 7.計算:(a+b + c d)+(b+c+da)解：原式=Rb+c)+(a d+ 6b +c)(ad= 2kb+cj +(a -d 2 _2_2_2_2=2a2 2b2 2c2 2d2 4bc - 4ad例 8.已知實數(shù) x、v、z 滿足 x + y=5, z2 = xy + y9,那么 x + 2y+3z=()解：由兩個完全平方公式得：

14、ab = N«a+bj -(a-bj】4從而 z2 = 152 -(x-yfl+y-9425 125-2y y -944 -y2 6y - 9=- y2 _ 6y 92 - y -3 z2 +(y-3j =0 z = 0, y = 3 x =2 x 2y 3z = 2 2 3 0 = 8三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題(一)、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”.例 1 計算(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個因式中“-5 ”相同，“2x2”符號相反，因而“-5 ”是公式(a+b)( a- b)= a2- b2 中的a,而“ 2x2”則是公式中的b.解：原式=(-5-2

15、x2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4 x4 .例 2 計算(-a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a, “4b”就是公式中的 b；若將題目變形為(4b-a2)2時，則“ 4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)(二)、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計算(2 x+y- z+5)(2 x-y+z+5).分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“ 5”兩項同號,“y”、“ z”兩項異號，因而，可運用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式.解：原式=(2x+5)+( y-z) (2

16、x+5)-( y- z)=(2x+5)2-( y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2.例 4 計算(a-1) 2(a2+a+1)2( a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展開，運算十分繁冗，但注意逆用哥的運算法則,則可利用乘法公式，使運算簡便.解：原式=(a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1) 2=(a3-1)( a6+a3+1) 2=(a9-1) 2=a18-2 a9+1例 5 計算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1).分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(2-1),則可運用公式,使問題化繁為簡.解：原式=(2-1)(2+1)(22+

17、1)(2 4+1)(2 8+1)=(2=(22-1)(24-1)(2(28-1 )2+1)(2 4+1)(2 8+1)4+1)(2 8+1)(28+1)=216-1(三)、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2,可推廣得到：22 . 22(a+b+c) =a+b +c +2ab+2ac+2bc.可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍.例 6 計算(2 x+y-3) 2解：原式二(2x)2+y2+(-3) 2+2 2x y+2 . 2x(-3)+2 y(-3) ,22=4x +y +9+4xy -12 x-6 y.(四)、注意公式的變換，靈活

18、運用變形公式例 7 (1)已知 x+y=10, x3+y3=100,求 x2+y2 的值；(2) 已知：x+2y=7, xy=6,求(x-2y)2 的值.分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y) 3-3 xy(x+y) , (x+y) 2-( x-y)2=4xy,問題則十分簡單.解：(1) . x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),將已知條件代入得100=103-3 xy 10,xy=30故 x2+y2=( x+y) 2-2 xy=102-2 x 30=40.(2)( x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8 x

19、6=1.例 8 計算(a+b+c) 2+( a+b- c) 2+( a- b+c)+( b- a+c)2.分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b) 2+( a- b) 2=2( a2+b2),因而問題容易解決.解：原式=(a+b)+c2+( a+b)- c 2+ c+( a-b) 2+c-( a- b) 2=2( a+b) 2+c2+2 c2+(a-b)2=2(a+b) 2+( a- b) 2+4 c22. 22=4 a +4b +4c(五)、注意乘法公式的逆運用例 9 計算(a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2.分析：若按完全平方公式展開，再相

20、減，運算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運算簡 便得多.解：原式=(a-2 b+3c)+( a+2b-3 c)( a-2 b+3c)-( a+2b-3 c)=2 a(-4 b+6c)=-8 ab+12ac.例 10 計算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2則運分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式,算更為簡便.解：原式=(2 a+3b) 2+2(2 a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b)22=(2 a+3b)+(4 a-5 b)=(6 a-2 b) 2=36a2-24 ab+4b2.四、怎樣熟練運用公式：（一）

21、、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方.明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式.（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母 a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式.理解了字母含義 的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式.如計算（x+2y3z） 2,若視x+2y為公式中的a, 3z為b,則就可用（a b） 2=a22ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式

22、計算，此時要根據(jù)公式特 征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點.常見的幾種變化是：1、位置變化 如（3x+5y） （ 5y 3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了.2、符號變化 如（2m-7n） （2m-7n）變?yōu)椋?m+7n） （2m-7n）后就可用平方差公 式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如 98X 102, 992, 912等分別變?yōu)椋?100 2） （100+2）, （1001） 2, （90+1） 后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數(shù)變化 如（4m+n） （2mi- n）變?yōu)? （2m+- ） （2mi- 口）后即可用平方差公式2444進(jìn)行計算了.5

23、、項數(shù)變化 如（x+3y+2z） （x3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z 2z） （x3y+4z+2z）后再適 當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了.（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂嬎愀啽?如計算(a2+1) 2- (a21) 2,若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計算，則非常簡便.即原式 =(a2+1) (a21) 2= (a41) 2=a8-2a4+1.對數(shù)學(xué)公式只會順向(從左到右)運用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向(從右到左)運用.如計算(1) (1)(1J)(1 )(1 2)，若分別算出各因式的值后再行22342921

24、02相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯.若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題.即原式=(11) (1+1) (11) (1+1) XX (1 1)(1+工)22331010="3x2x，-x Ax 11 = 2x11 = 11.2233101021020有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= (a+b) 22ab, a2+b2= (a b) 2+2ab等.用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效.如已知 m+n=7, mn=- 18,求 m2+n2, m2mn+ n2的值.面對這樣的問題就可用上述變式來解，

25、 22.2_2即 m+n = (m+n) -2mn=7 -2X ( 18) =49+36=85,m2 mn+ n2= (m+n) 23mn=72 3x ( 18) =103.下列各題，難不倒你吧？ ！1、若 a+1 =5,求(1)a2+J2,(2) (a 1 ) 2 的值. aaa2、求(2+1) ( 22+1) ( 24+1) ( 28+1 ) (216+1 ) ( 232+1 ) ( 264+1) +1 的末位數(shù)字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2. 6)五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式：(a+b)(a b)=a2 b2, (a ± b尸a 2± 2a

26、b+b2,(a ± b)(a 2± ab+ b2)=a3± b3.第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用.例1計算(2)(2xy)(2x -y).解(1)原式二金-"2廣一黯.i 二) I 乙 J 278(2)原式=(v) 2x( y) + 2x=y 24x2.第二層次逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用.例2計算1998 2 1998 - 3994+ 19972;解 原式=19982 2 1998 1997 + 19972 =(1998 1997) 2=1原式=1-T撲用卜司I周卜硼蝴H斕1324810911 112 * 2 *

27、3 * 3 * 9 * T * W * 10 = 20第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有 時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式.例 3 化簡：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1.分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“2-1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1=(2 2 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1=2，例 4 計算：(2x -3y- 1)( -2x-3y + 5)分析仔

28、細(xì)觀察，易見兩個因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符.于是可創(chuàng)造 條件一“拆”數(shù)：1=23, 5=2+3,使用公式巧解.解原式=(2x 3y3+ 2)( 2x 3y + 3+2)二(2 3y) + (2x 3)(2 3y) - (2x 3)=(2 - 3y) 2- (2x 3)2=9y24x2+12x12y 5.第四層次變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2+ b2=(a + b)2 2ab, a3+b3=(a + b)3 3ab(a + b)等，則求解十分簡單、明快.例 5 已知 a+b=9, ab=14,求 2a2+2b2 和 a3+b3的值.解： , a

29、+b=9, ab=14, . 2a2 + 2b2=2(a + b)22ab=2(9 22 14)=106 ,a3+ b3=(a + b)3 3ab(a + b)=9 33 - 14 - 9=351第五層次綜合后用：將(a + b) =a + 2ab + b和(a b) =a 2ab+ b綜合，可得(a + b)2+ (a b) 2=2(a 2 + b2); (a + b) 2 (a b) 2=4ab ；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例 6 計算：(2x + y z + 5)(2x y+ z + 5).解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)- - (2x+y-z

30、+5)-(2x-y+z+5)=(2x + 5)2 (y z) 2=4x2+ 20x+ 25 y2+ 2yz z2六、正確認(rèn)識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩種(三個)乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b尸a 2-b2、完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 ； (a-b) 2=a2-2ab+b 2,可以運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè) a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識乘法公式。如圖1,兩個矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為(a+b)(a-b),通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b2；

31、圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+b) 2與(a-b) 2,通過面積的計算方法，即可得到兩個完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2o2、乘法公式的使用技巧:提出負(fù)號：對于含負(fù)號較多的因式，通常先提出負(fù)號，以避免負(fù)號多帶來的麻煩。例1、 運用乘法公式計算:，、一一，一、 一22-(3x) 2=1-9x2.(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1)解：(1) (-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1(2) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1)2= 4m (x-1/2)(

32、x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x+4m+1.改變順序：運用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式 的特征更加明顯.例2、 運用乘法公式計算:(2) (x1/2)(x2+1/4)(x+1/2)./、1 1斛：(1) (3a-4b )(-1b a )=(- 1b+ 1a )(- (1a1b )( 1b a )； 3 443b - -a )43)( 43a)( 43a)=(產(chǎn) 3a )( 4b+ 3a 網(wǎng)-a 1692+1/4)=(x 2-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16.逆用公式將哥的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公

33、式，得a2-b2 = (a+b)(a-b),逆用積的乘方公式，得anbn=(ab) n,等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、計算：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5)2 ;(2) (a-1/2) 2(a 2+1/4) 2(a+1/2) 2解：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5)2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x- 10=10x.(2) (a-1/2) 2(a 2+1/4) 2(a+1/2) 2=(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2) (a+1/2) (

34、a2+1/4) 2=(a 2-1/4 ) (a 2+1/4) 2 =(a 4-1/16 ) 2 =a8-a 4/8+1/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計算。計算：(1) (x+y+1)(1-x-y);(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2-(x+y) 2解：(1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1 =1-(x 2+2xy+y2)= 1-x 2-2xy-y 2.(2) (2x+y-z

35、+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) =(2x+5) 2-(y-z) 2 =(4x 2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)=4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項式乘 多項式，運算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將 其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一.先分組，再用公式例 1.計算：(a-

36、b+c-d)(a-b-c-d)簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式(a-b+c-d)運用加法交換律和結(jié)合律變形為(叱-d)+(a + c)；將另一個整式( bc d)變形為(bd) (a+c),則從其中找出了特點， 從而利用平方差公式即 可將其展開。解：原式=1(_b _ d) (a c) .11 -b - d . a c .1二(-b - d)2 - (a c)22222二b2 2bd - d2 -a2 -2ac -c2二.先提公因式，再用公式例2.計算:y r 8x+H4x -、4)2出來，變?yōu)?4x簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)

37、成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系， 若將第一個多項式中各項提公因數(shù) 則可利用乘法公式。解：原式=2 4x + - ( 4x -<4 人4>2 y32x -83 .先分項，再用公式例 3.計算：(2x+3y+2'j(2x3y+6)簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成4與-2的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式二«2x 4) -(2 - 3y) I1 2x 42 - 3y 1= (2x+4)2 -(2-

38、3y f22= 4x2 16x 12 12y -9y24 .先整體展開，再用公式l(a - 2b) 11,再將例 4.計算：(a +2b)(a 2b+1)簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個整式分成兩部分，即第一個整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式=(a 2b) (a -2b) ll=(a 2b)(a -2b) (a 2b)2. 2=a -4b a 2b五.先補(bǔ)項，再用公式例 5.計算：3 +(38 +1)(34 + 1)(32 + 1)(3+ 1)簡析：由觀察整式(3+1),不難發(fā)現(xiàn)，若先補(bǔ)上一項(3-1),則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運算變得簡便易行。解

39、：原式=3( 381)(341)(321)(3 F")23 (381)(341)(321)(32 -1)32(381)(341)(34 - 1)323 . (381)(38 -1)232六.先用公式，再展方例6.計算:簡析：第一個整式 J-2 |可表示為12 -由簡單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡即可。11K 1)<1 + wA1-wJ_ 314253 -119 _ 11223344101020七.乘法公式交替用例 7.計算：(x+z)(x2 - 2xz+z2)(x-z)(x2 +2xz + z2)簡析：利用乘法交換律，把第一個整式和第四個整式結(jié)合在一起，把第二個整式與第三個整式結(jié)合，則可利用乘法公式展開。解：原式=|(x z)(x2 - 2xz - z2) ll(x2 -2xz - z2)(x -z)-l(x z)(x - z)2 ,H(x - z)2(x - z)=(x z)3(x-z)3-(x z)(x -z)