三次函數(shù)切線專題

1、三次函數(shù)切線問(wèn)題一、過(guò)三次函數(shù)上一點(diǎn)的切線問(wèn)題。3 一 2設(shè)點(diǎn)P為二次函數(shù)f (x) = ax +bx +cx+d(a # 0)圖象上任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P一定有直線與 y=f(x)的圖象相切。若點(diǎn) P為三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切線；若點(diǎn) P不是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則過(guò)點(diǎn) P有兩條不同的切線。證明 設(shè)P(x1，yj 過(guò)點(diǎn)P的切線可以分為兩類。1、 P 為切點(diǎn)k1 = f /(x1) = 3ax12 + 2bx1 + c ,2切線萬(wàn)程為：y-y1 = (3axi2bxi c)(x - x1)P不是切點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y = f(x)圖象的切線，切于另一點(diǎn)Q ( x2, y2)33.2

2、,2y2 - y1ax2 -ax1bx2 -bx1cx2 -cx1k2 =x2 - Xix2 - x122二 ax2ax1x2 ax1 bx1bx2 c又丫 k2 = f/(x2) =3ax2 +2bx2+c(1)222ax 2ax1 x2ax1 bx1 bx2 c = 3ax22bx2c即 (x2 -x1)(2x2 x1 -)=0 a1x2 二 一二 x12b八、一代入(1)式2a得 k2 = 3 axi4bxc4a討論：當(dāng)k1 =k2時(shí),2 一321b/口3axi +2bx+c = ax1 十一bx1 一一十c,信 x二42 4a3a，b當(dāng)xi =一時(shí)，兩切線重合，所以過(guò)點(diǎn)P有且只有一條切

3、線。3ar b當(dāng)x # 一時(shí)，ki k2 ,所以過(guò)點(diǎn)P有兩條不同的切線。3a其切線方程為：y - yi =(3axi2 2bxi c)(x - xi)y - yi = (3 axi 2 bx1 - b c)(x - x1)42 4a由上可得下面結(jié)論:過(guò)三次函數(shù)f(x) =ax3 +bx2 +cx+d (a # 0)上異于對(duì)稱中心的任一點(diǎn)Pi(x1，yi)作y = f (x)圖象的切線，切于另一點(diǎn)P2(x2，y2),過(guò)P2(x2,y2)作y = f (x)圖象的切線切于 P3(x3,y3),如此繼續(xù)，得到點(diǎn)列_ .1bP4(X4,y4)- Pn(Xn, yn )-,則Xn書= Xn ，且當(dāng)hT

4、+如時(shí)，點(diǎn)趨近二次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心。2 2a證明：設(shè)過(guò)Pn(Xn，yn)與y = f(X)圖象切于點(diǎn)PnXn書，丫口書)的切線為PnPn ,yn1-yn -2-2k = = aXn 1aXn .Xn aXnbXn 1 bXn C/2又 k = f (Xn 1)= 3aXn 12bXn 1 c22aXnXn aXnb bXn c = 3aXn 1 2bXn 1 cb、_即(Xn 1 -Xn)(2Xn 1 , Xn , -)= 0.1bXn 1 - - Xn -a設(shè)xn4+九=一口(xn +入)則九=223a，b, r ,1人，二 數(shù)列Xn十7是公比為-萬(wàn)的等比數(shù)列，22abb1 nJXn =

5、-丁 (X1)()3a3a22aXn 1o即 lim Xnn )二二3a(2)過(guò)三次函數(shù)外一點(diǎn)的切線問(wèn)題。設(shè)點(diǎn)P(Xo, y0)為三次函數(shù)f (x) = aX3 +bX2 +cX + d(a00)圖象外，則過(guò)點(diǎn)P一定有直線與y = f (x)圖象相切。4 b(1)若Xo =,則過(guò)點(diǎn)P恰有一條切線；3abb(2)若xo # ,且g(xo)g()>0,則過(guò)點(diǎn)P恰有一條切線； 3a3a一 4b . b .(3)右Xo豐一，且g(Xo)g(-)=0,則過(guò)點(diǎn)P有兩條不同的切線;3a3ab , 、 ， b、 一(4)右Xo # 一丁，且g(Xo)g(-) <o,則過(guò)點(diǎn)P有三條不同的切線。 3a

6、3a其中 g(x)=y0 - f(x) f/(x)(x -Xo).證明 設(shè)過(guò)點(diǎn)P作直線與y = f(x)圖象相切于點(diǎn) Q(x1,y1),則切線方程為y - y1 =(3ax12 2bxi c)(x-x1),把點(diǎn)P( Xo, yo)代入得： 322axi +(b3ax0)X1 2bxoX1 + yodcxo = 0 ,設(shè) g(x) =2ax3 (b -3ax0)x2 -2bx0x y0 d cx0.g/(x)=6ax2 2(b-3ax0)x-2bx0,22.-： =4(b -3axo)48abxo = 4(3ax° b),b令 g (x) =0，則 x =Xo, x = .3a因?yàn)間(

7、x)=0恰有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y = g(x)與x軸只相交一次，即 y = g(x)在r上為單調(diào)bbb 函數(shù)或兩極值同萬(wàn)，所以 x0 =-，或x0豐一，且g(x0)g(-)>0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P恰有一條切線。 3a3a3ag(x) =0有兩個(gè)不同實(shí)根的充要條件是曲線y = g(x)與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以b 1 , 、 ， b、x0 # -一，且g(x0)g ()=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P有兩條不同的切線。3a3ag(x) =0有三個(gè)不同實(shí)根的充要條件是曲線y = g(x)與X軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即 y = g(x)有一個(gè)極大值，b , 、 ， b、一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào)。所以x0手一，

8、且g(x0)g() <0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P有三條不同的切線。3a3a例題講解：例1、已知函數(shù)y=x3x,求過(guò)點(diǎn)A(1,。)的切線方程。1 3 a 2例 2、(2010 湖北又?jǐn)?shù))設(shè)函數(shù) f(x) = x - x +bx+c ,其中 a>0,曲線 y = f(x)在點(diǎn) p(0, f(0) 32處的切線方程為y=1(I)確定b、c的值。(n)設(shè)曲線y = f(x)在點(diǎn)(x1，f(x1)及(x2, f(x2)處的切線都過(guò)點(diǎn)(0,2)證明：當(dāng)x #x2時(shí),f '(x1)=f '(x2)(m)若過(guò)點(diǎn)(0,2)可作曲線y = f(x)的三條不同切線，求 a的取值范圍。例 3、已知函數(shù)

9、f (x) = lx3+ax2+bx ,且 f'(一1) =0 3(1)試用含a的代數(shù)式表示b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；令 a = 1,設(shè)函數(shù) f(x)在 x1,x2(x1 <x?)處取得極值,記點(diǎn) M ( x1，f(x1)，n(x2, f 依)，P(m, f(m),x1 <m <x2，請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線f (x)在點(diǎn)P處的切線與線段 MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題：(I)若對(duì)任意的m W(x1，x2),線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；(II)若存在點(diǎn)Q(n ,f(n), x <n< m,使得線段PQ與曲線f

10、(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出 m的取值 范圍(不必給出求解過(guò)程)三次函數(shù)切線作業(yè)1、曲線y=x3+3x在點(diǎn)P(2,14)處的切線方程是。2、已知曲線C： f (x) =x3 x+2 ,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的曲線C的切線方程是。3、已知曲線C： f (x) =x33x2+2x+a的一條切線方程為y=2x,則實(shí)數(shù)a的值等于4、已知函數(shù)f (x尸ax3 4bx2 _3x在x =里處取得極值。(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(n)求證：對(duì)于區(qū)間1, 1上任意兩個(gè)自變量的值 xi,x2,都有了儼尸的卜上；(出)若過(guò)點(diǎn) A (1, m) (mw2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù) m的取值范

11、圍. 3.一 25、已知函數(shù).f(x)=2x +ax與g(x)=bx +cx的圖象都過(guò)點(diǎn)P(2, 0),且在點(diǎn)P處有公共切線.求f(x)和g(x)的表達(dá)式及在點(diǎn) P處的公切線方程；_ mg(x)，一, 、(2)設(shè)F(x) =-+ln(x 1),其中m<0,求F(x)的單調(diào)區(qū)間.8x三次函數(shù)切線問(wèn)題參考答案例 1、解：f '(x )=3x2 -1 ,若A是切點(diǎn)，則切線方程為y -0 =2(x-1戶y =2x -2J21 1,則切線方程為x+4y1=0。若 A不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為（t，f 9，則切線方程為y（t31）=e21）（xt）,將A（1,0代入得_ 3_ 2_ 3_ 2222t

12、-3t+12t A-t+1=(t_1卜(2t + 1)=0 ,所以切點(diǎn)為小結(jié)：求切線方程步驟，先判斷點(diǎn)是否在曲線上，如不在曲線上，則參照第二小步設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，若在曲線 上，討論已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若為切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)可直接求得斜率。例2、（ ）山）加+4郎 /（O）-c * /*（x） = x' -wtb t 孑*又由曲線y /（外在點(diǎn)P（Q, /（0）處的切找方程為¥ = 1,超八0） = I,八0） = 0 .放54Q 一 I（H）+ /匕）=片廠皿,由于點(diǎn)«J。）她的切戊方程為k/。卜八球M7）,而點(diǎn)g力在切鰻上.所以2-s二,（T）,化面得+即，活足的方程為3；乙】

13、o.3232下面用反證法w明假設(shè)/ a）=/晶于曲線丫二/（工）在點(diǎn)（3J5）及（勺,/（x3）處的切線都過(guò)點(diǎn)Ot 2 *則P（列尊式成工Xf -叫=Xf - 0X1( J)由(3)得覆 + 叼=(7.由Q)-(2)得+ XjXj +x； = a2(4)*4'Zxf -k/=氏 + rm = a -x:(a-x:) = xf -ix： + J =(司+： Jfe* 4才”i(4)出=f.比付與=.七科工所以(8)=/心)（in）由n，知，過(guò)點(diǎn)o. 2）可作'1=）的：條切稅*等處于方程2一/ =/（OT）2 101有三個(gè)相異的實(shí)根，即等仰于方程石產(chǎn)-t2t4=0行三個(gè)相異的實(shí)祗

14、女g=5/-4=+Lg'（）=2r'一口f = 2f（F=）.由于故有322t('XT0)*(o.g)<73尊母）*60一gZ極大值1極小值24r由gQ）的單調(diào)性知:要使g=0有三個(gè)相異的實(shí)根.當(dāng)且僅當(dāng)1 /->2出.24，。的取值范圍是（26,母）例3、解法一：2(I )依題息，得 f (x) =x +2ax +b由 f '()=1 2a b =0#b =2a -1.1 32從而 f (x) =_x +ax +(2a1)x,故f'(x) =(x+1)(x+2a1). 3令 f '(x) =0,得x = 1或x =1 -2a.當(dāng) a&

15、gt;1 時(shí)，1 -2a <-1當(dāng)x變化時(shí)，f '(x)與f (x)的變化情況如下表：x(0° ,1 - 2 a)(1-2a,-1)（-1尸）f'(x)+一+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（血,1一2a）和（1,收），單調(diào)減區(qū)間為（12a,1）。當(dāng)a=1時(shí)，12a = 1此時(shí)有f'（x） >0恒成立，且僅在x = 1處f'（x）=0 ,故函數(shù)f （x）的單調(diào)增區(qū)間為R 當(dāng)a<1時(shí)，12a >T同理可得，函數(shù) f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（嗎1）和（1 2a,）,單調(diào)減區(qū)間為(-1,1 -2a)綜上：

16、當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(/2a)和(1，也)，單調(diào)減區(qū)間為(1-2a,-1)；當(dāng)a =1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 R；當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(_叫_1)和(12a,+g),單調(diào)減區(qū)間為(1,12a).1 322(n)由 a = 1 得 f(x)= x -x -3x 令 f(x)=x 2x-3 = 0 得 x = 1必=3 3由(1)得f (x)增區(qū)間為(_叫_1)和(3,+w),單調(diào)減區(qū)間為(_1,3),所以函數(shù)f (x)在處處=1,x2 = 35 一 一取得極值，故 M( -1,-)N (3,-9)o觀察f(x)的圖象，有如下現(xiàn)象：當(dāng)m從-1

17、(不含-1)變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線f (x)在點(diǎn)P處切線的斜率f(x)之差Kmp- f '(m)的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。線段MP與曲線是否有異于 H, P的公共點(diǎn)與Kmp - f'(m)的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián);Kmp f '(m)=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿足 Kmp f '(m)的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線f (x)在點(diǎn)P(m, f(m)處的切線斜率f'(m) = m22m 3 ；線段MP的斜率Kmp = m 4m53當(dāng) Kmp f '(m)=0 時(shí)，解得 m = 1或m=22 2直線MP的方程為y

18、 =(m _4m_5x + m -dm 3322,m -4m -5 m -4m. 令 g(x) = f(x)-(x)33當(dāng)m=2時(shí)，g'(x)=x22x在(1,2)上只有一個(gè)零點(diǎn)x=0,可判斷f(x)函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減，又g(1) = g(2) =0,所以g(x)在(1,2)上沒(méi)有零點(diǎn)，即線段MP與曲線f (x)沒(méi)有異于M, P的公共點(diǎn)。當(dāng) m2,31時(shí)，g(0)二一中 0 g=-(m-2)2，。所以存在mW (0,2】使彳導(dǎo)g(6)=0即當(dāng)mw(2,3 時(shí),MP與曲線f(x)有異于M,P的公共點(diǎn) 綜上，t的最小值為2.(2)類似(1)于中的觀察，可得

19、 m的取值范圍為(1,3解法二：(1)同解法一.132一一2(2)由 a = 一1 得 f (x) = x -x 3x ,令 f '(x) =x 2x3 = 0 ,得 x1 =1,x2 =33由(1)得的f(x)單調(diào)增區(qū)間為(q_1)和(3,+/)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3),所以函數(shù)在處取得極值。故,522m -4m -5 m -4my 二x -33M( -1,3).N(3, -9)(I )直線MP的方程為22.m -4m-5m -4m由3|132y 二 - x -x3得 x3 -3x2 -(m2線段MP與曲線y =x3-3x2-4m 4)x -m 4m =0f (x)有異于M,P的公共

20、點(diǎn)等價(jià)于上述方程在 (1,m)上有根，即函數(shù) g(x) =x3 -3x2 _(m2 -4m +4)x -m2 +4m在(-1,m)上有零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有三個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn).又g(1)=g(m) =0 .因此，g(x)在(-1,m)上有零點(diǎn)等價(jià)于g(x)在(-1,m)內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，即g'(x) =3x2 6x (m2 -4m+4) =0在(1,m)內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.36 12( m2 -4m -4) >022等價(jià)于 3( ) (m 一4m 4) 0 3m2 -6m 一(m2 -4m +4) >0m >1J1 T

21、 :二 m :二 5即 m . 2或 m ：二-1，解得 2 :二 m :二 5Jm 1又因?yàn)?<mW3,所以m的取值范圍為(2,3) 從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.作業(yè)：1、解：由f'(x) =3x2+3,得f'(-2)書，所以所求的切線方程為 y+14 = 15(x + 2),即y = 15x+16 。2、錯(cuò)解：由f'(x)=3x21,得k = f'(1)=2,所以所求的切線方程為y 2=2(x1),即y = 2x。'錯(cuò)因剖析：此處所求的切線只說(shuō)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，而沒(méi)說(shuō)P點(diǎn)一定是切點(diǎn)，于是切線的斜率k與f (1)不一定相等。正解：設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (1,

22、 2)的直線與曲線 C相切于點(diǎn)(x0,y0),則由f'(x) = 3x21,得在點(diǎn)(x0,y°)處的'.、 一 2.一 2、斜率 k = f (xo) =3xo 1 ,有在點(diǎn)(xo, yo)處的切線的方程為 y y0=(3xo 1)(x x0)。又因?yàn)辄c(diǎn)(xo, yo)與點(diǎn)P (1, 2)均在曲線C上， 3I yo x0 - x0 232有42,消去 yo 得 xo xo = (3xo 1)(1 xo ) ,2 - yo = (3xo - 1)(1 - xo )1 .一 1斛付xo =1或x0 =，于是k = 2或一，19所以所求切線方程為丫=2*或丫=x+。4432

23、23、設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),則yo= %-3xo+2x0 + a ,又 2 = 3x° 6x0+ 2 ,y°=2xO 得 x0= o或 2。32再消去yo倚a = -xo +3x0 ,于倚a = 0或4。4、( I)f '(x )=3ax2 +2bx 二，依題意 f '(尸'(1 尸。，3a +2b 3=o 即3,3a -2b-3 = o 解得 a=1, b=o. 3 f (x )=x -3x(II) . . f (x )=x3 -3xf '(x J=3x2 -3 =3(x 十。一1 ),當(dāng)一1<x<1時(shí)，f' (x

24、)<o ,故f(x)在區(qū)間1, 1上為減函數(shù)， fmax (x 尸 f ( )=2 , fmin (x )= f(1 尸-2對(duì)于區(qū)間 1,1上任意兩個(gè)自變量的值Xi,Xz,| f (Xi)-f (x2fmax (xfm, (x |) = 4 8分(III) f' (x)=3x2 3=3(x+1)(x 1),.曲線方程為y=x3 3x, .點(diǎn)A (1, m)不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M (xo, y。)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足yo = x3 -3xo. 2因f (xo) =3(Xo -1),故切線的斜率為3(x2 1) = x3-3x°-mXo -1整理得 2x3 -3x2 m 3 = o. 過(guò)點(diǎn)