《兩個計數(shù)原理》教案新人教B版選修

1、數(shù)學(xué)： 1.1 兩個計數(shù)原理教案（新人教 B 版選修 2-3 ）1 1 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理課標(biāo)要求：知識與技能：理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；情感、態(tài)度與價值觀：引導(dǎo)學(xué)生形成" 自主學(xué)習(xí)" 與 " 合作學(xué)習(xí) " 等良好的學(xué)習(xí)方式教學(xué)重點：分類計數(shù)原理（ 加法原理） 與分步計數(shù)原理（ 乘法原理 ）教學(xué)難點：分類計數(shù)原理（ 加法原理） 與分步計數(shù)原理（ 乘法原理） 的準(zhǔn)確理解授課類型：新授課課時安排：2 課時教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：引入課題先

2、看下面的問題：從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長，有多少種不同的選法？把我們的同學(xué)排成一排，共有多少種不同的排法？要解決這些問題，就要運用有關(guān)排列、組合知識. 排列組合是一種重要的數(shù)學(xué)計數(shù)方法. 總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理. 這節(jié)課，我們從具體例子出發(fā)來學(xué)習(xí)這兩個原理.1 分類加法計數(shù)原理（ 1）提出問題問題1.1 ：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？問題1.2 ：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車. 如果一天中火車有3 班，汽車有2 班

3、 . 那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？（ 2）發(fā)現(xiàn)新知分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1 類方案中有種不同的方法，在第2 類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.（ 3）知識應(yīng)用例 1. 在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B 兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，具體情況如下：A 大學(xué)B 大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析：由于這名同學(xué)在A , B 兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由于兩所大學(xué)沒有

4、共同的強(qiáng)項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件解：這名同學(xué)可以選擇A , B 兩所大學(xué)中的一所在A 大學(xué)中有5 種專業(yè)選擇方法，在 B 大學(xué)中有4 種專業(yè)選擇方法又由于沒有一個強(qiáng)項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+4=9（種）.變式：若還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué). 那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1 類方案中有種不同的方法，在第2 類方案中有種不同的方法，在第3 類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同

5、方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情，有n 類辦法，在第1 類辦法中有種不同的方法，在第2 類辦法中有種不同的方法 在第 n 類辦法中有種不同的方法. 那么完成這件事共有種不同的方法.理解分類加法計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理針對的是" 分類 " 問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.2 分步乘法計數(shù)原理（ 1）提出問題問題 2.1 ：用前 6 個大寫英文字母和1-9 九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以 ,. ， ,. 的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？用列舉法可以列出所有可

6、能的號碼：我們還可以這樣來思考：由于前6 個英文字母中的任意一個都能與9 個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6X9 = 54個不同的號碼.探究：你能說說這個問題的特征嗎？（ 2）發(fā)現(xiàn)新知分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2 類方案中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法.（ 3）知識應(yīng)用例 2. 設(shè)某班有男生30 名，女生24 名 . 現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟第l 步選男生第 2 步選女生解：第 1 步，從 30 名男生中選出1 人，有 30

7、種不同選擇；第 2 步，從 24 名女生中選出1 人，有 24 種不同選擇根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有30 X 24 =720種不同的選法探究：如果完成一件事需要三個步驟，做第1 步有種不同的方法，做第2 步有種不同的方法，做第3 步有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情需要個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情，需要分成n 個步驟，做第1 步有種不同的方法，做第2 步有種不同的方法 做第 n 步有種不同的方法 . 那么完成這件事共有種不同的方法.理解分步乘法計數(shù)原理：分步計數(shù)原理針對的是" 分步 " 問

8、題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事.3理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是 “分類"問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是" 分步 " 問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.3

9、綜合應(yīng)用例 3. 書架的第1 層放有 4 本不同的計算機(jī)書，第2 層放有 3本不同的文藝書，第3 層放 2 本不同的體育書.從書架上任取1 本書，有多少種不同的取法？從書架的第1、 2、 3 層各取 1 本書，有多少種不同的取法？從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【分析】要完成的事是" 取一本書" ，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應(yīng)用分類計數(shù)原理.要完成的事是" 從書架的第1、 2、 3 層中各取一本書" ，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2 、 3 層都取后，才能完成這件事，因此是

10、分步問題，應(yīng)用分步計數(shù)原理.要完成的事是" 取 2 本不同學(xué)科的書"，先要考慮的是取哪兩個學(xué)科的書，如取計算機(jī)和文藝書各1 本，再要考慮取1本計算機(jī)書或取1 本文藝書都只完成了這件事的一部分，應(yīng)用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應(yīng)運用分類計數(shù)原理.解： (1) 從書架上任取1 本書，有3類方法：第1 類方法是從第 1 層取 1 本計算機(jī)書，有4 種方法；第2 類方法是從第3 層取 1 本文藝書，有3 種方法；第3 類方法是從第3 層取 1 本體育書，有2 種方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=4+3+2=9;( 2 )從

11、書架的第1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成3個步驟完成：第1 步從第 1 層取 1 本計算機(jī)書，有4 種方法；第2 步從第 2 層取 1 本文藝書，有3 種方法；第4 步從第 3 層取 1 本體育書，有2 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=4X 3X2=24 .( 3)。例 4. 要從甲、乙、丙3 幅不同的畫中選出2 幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從 3 幅畫中選出2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1 步，從 3 幅畫中選1 幅掛在左邊墻上，有3 種選法；第2 步，從剩下的2 幅畫中選1 幅掛在右邊墻上，有2 種選法

12、根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3X 2=6 .6 種掛法可以表示如下：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是" 分類 " 問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是" 分步 " 問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事練習(xí)1填空：( 1 )一件工作可以用2 種方法完成，有5 人只會用第1種方法完成，另有4 人只會用第2 種方法完成，從中選出l人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是；( 2 )從 A 村去

13、B 村的道路有3 條，從 B 村去 C 村的道路有2條，從A村經(jīng)B的路線有一條.2現(xiàn)有高一年級的學(xué)生3 名，高二年級的學(xué)生5 名，高三年級的學(xué)生4 名 ( 1 )從中任選1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去C 村，不同( 2 )從 3個年級的學(xué)生中各選1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？3在例1 中，如果數(shù)學(xué)也是A 大學(xué)的強(qiáng)項專業(yè)，則A 大學(xué)共有 6 個專業(yè)可以選擇，B 大學(xué)共有4 個專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有6 + 4 = 10(種).這種算法有什么問題？例 5. 給程序模塊命名，需要用3 個字符，其中首字符要求用字母AG或U

14、Z ,后兩個要求用數(shù)字19.問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第1 步，選首字符；第2 步，選中間字符；第3 步，選最后一個字符而首字符又可以分為兩類解：先計算首字符的選法由分類加法計數(shù)原理，首字符共有7 + 6 = 13種選法再計算可能的不同程序名稱由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有13X 9X9 = = 1053個不同的名稱，即最多可以給1053 個程序命名例6.核糖核酸（RNA分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個 RNA 分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)總共有 4 種不同的堿基，分別用A,C,G

15、,U 表示在一個RNA 分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)假設(shè)有一類RNA分子由 100 個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA 分子？分析：用圖1. 1 一 2 來表示由100 個堿基組成的長鏈，這時我們共有100 個位置，每個位置都可以從A , C , G , U 中任選一個來占據(jù)解： 100 個堿基組成的長鏈共有100 個位置，如圖1 . 1 一2 所示從左到右依次在每一個位置中，從A , C , G , U 中任選一個填人，每個位置有4 種填充方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，長度為100 的所有可能的不同RNA 分子數(shù)目有（個）例 7. 電子

16、元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有O 或 1 兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8 個二進(jìn)制位構(gòu)成問：(1 )一個字節(jié)(8 位)最多可以表示多少個不同的字符？(2 )計算機(jī)漢字國標(biāo)碼(GB 碼)包含了6 763 個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？分析：由于每個字節(jié)有8 個二進(jìn)制位，每一位上的值都有0,1 兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因

17、此可以用分步乘法計數(shù)原理求解本題解： (1 )用圖 1.1 一 3 來表示一個字節(jié)圖 1 . 1 一 3一個字節(jié)共有8 位，每位上有2 種選擇根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示2X2X2X2X2X2X2X2二28 =256 個不同的字符；( 2)由(1 )知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763 個，我們就考慮用2 個字節(jié)能夠表示多少個字符前一個字節(jié)有256 種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有256 種表示方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2 個字節(jié)可以表示256X 256 = 65536個不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個數(shù)6763所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用2 個字節(jié)表

18、示例 8. 計算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成如圖1.1 一 4，它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？圖 1.1 一 4分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A 點；第 2 步是從 A 點執(zhí)行到結(jié)束而第1 步可由子模塊1 或子模塊2 或子模塊3 來完成；第 2 步可由子模塊4 或子模塊5 來完成

19、因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1 或子模塊2 或子模塊3 中的子路徑共有18 + 45 + 28 = 91（條）;子模塊 4 或子模塊5 中的子路徑共有38 + 43 = 81（條）.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有91X81 = 7 371 （條）.在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊這樣，他可以先分別單獨測試5 個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常總共需要的測試次數(shù)為18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.再測試各個模塊之間的信息交流

20、是否正常，只需要測試程序第 1 步中的各個子模塊和第2 步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為3X2=6 .如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72 + 6=178 （次）.顯然， 178 與 7371 的差距是非常大的你看出了程序員是如何實現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎？例 9. 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3 個不重復(fù)的英文字母和3 個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3 個字母必須合成一組出現(xiàn)， 3 個數(shù)字也

21、必須合成一組出現(xiàn)那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為2 類，即字母組合在左和字母組合在右確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6 個步驟解：將汽車牌照分為2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右字母組合在左時，分6 個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字：第 1 步，從 26 個字母中選1 個，放在首位，有26 種選法；第2 步，從剩下的25 個字母中選1 個，放在第2 位，有25種選法；第3 步，從剩下的24 個字母中選1 個，放在第3 位，有24種選法；第 4 步，從 10 個數(shù)字中選1 個，放在第4 位，有 10 種選法；第5 步，從剩下的9 個數(shù)字中選1 個，放在

22、第5 位，有9 種選法；第6 步，從剩下的8 個字母中選1 個，放在第6 位，有8 種選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26 X25X24X 10X9X8=11 232 000 （個）同理，字母組合在右的牌照也有11232 000 個所以，共能給11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個）輛汽車上牌照用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析 需要分類還是需要分步分類要做到" 不重不漏" 分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)分步要做到"步驟完整" 完成了所有

23、步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)練習(xí)1乘積展開后共有多少項？2某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到9 之間的一個數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？3從5 名同學(xué)中選出正、副組長各1 名，有多少種不同的選法？4某商場有6 個門，如果某人從其中的任意一個門進(jìn)人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進(jìn)出商場的方式？鞏固練習(xí)：書本第9 頁 練習(xí) 1 ， 2， 3 習(xí)題 1. 11 ， 2課外作業(yè)：第12 頁 習(xí)題 1. 1 3 ,

24、 4 , 5例 1. 一螞蟻沿著長方體的棱, 從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？解：從總體上看，如，螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成, 所以 ,第一類，ml =1X2 = 2條第二類，m2 =1X2 = 2條第三類，m3 =1X2 = 2條所以，根據(jù)加法原理,從頂點A到頂點C1最近路線共有N = 2 + 2 + 2= 6條例2 . 如圖, 要給地圖A、 B、 C、D 四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種, 允許同一種顏色使用多次, 但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色, 不同的涂色方案有多少種？解 : 按地圖A、 B、 C、 D 四個區(qū)域依次分四步完成

25、,第一步,m1 =3種,第二步,m2 =2種,第三步,m3 =1種,第四步,m4 =1種,所以根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 X2 X1X1=6變式1,如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種, 允許同一種顏色使用多次, 但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色, 不同的涂色方案有多少種？2 若顏色是2 種， 4 種， 5 種又會什么樣的結(jié)果呢？75600 有多少個正約數(shù)?有多少個奇約數(shù)?解：由于 75600=24X33X 52X7（1） 75600 的每個約數(shù)都可以寫成的形式, 其中 ,于是 , 要確定75600的一個約數(shù), 可分四步完成, 即分別在各自的范

26、圍內(nèi)任取一個值, 這樣有 5 種取法 , 有 4 種取法 , 有 3 種取法 , 有 2 種取法 , 根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個數(shù)為5X4X3X2=120 個.鞏固練習(xí)：1. 如圖 , 從甲地到乙地有2 條路可通, 從乙地到丙地有3 條路可通 ; 從甲地到丁地有4 條路可通, 從丁地到丙地有2 條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？2. 書架上放有3 本不同的數(shù)學(xué)書，5 本不同的語文書，6本不同的英語書（ 1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（ 2） 若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（ 3） 若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？3. 如圖一 , 要給 , , , 四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種, 允許同一種顏色使用多次, 但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色 , 則不同涂色方法種數(shù)為（）A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若變?yōu)閳D二, 圖三呢 ?5. 五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？6（2007 年重慶卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（C ）A 5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分課外作業(yè)：第10 頁 習(xí)題