第17講高等數(shù)學(xué)(十七)(新版)39981

1、精品文檔精品文檔(三)例題【例1-4- l qQ判別級數(shù)、n 1qQ而級數(shù)、n =41發(fā)散np-級數(shù)，p=1的情形，根據(jù)比較審斂法的極限形式知此級數(shù)發(fā)散1一sin的收斂性。n1【解】級數(shù)工sin1為正項級數(shù)，因為.Isin【例1-4-2】判別級數(shù)的收斂性所給級數(shù)為正項級數(shù)，因為JLDC!LK1U根據(jù)比值審斂法知所給級數(shù)發(fā)散,二1人【例1-4-3】判別級數(shù)工二的收斂性n1n【解】所給級數(shù)為正項級數(shù)，因為lim-TuL=lim-=0L1111fmj-FCcy荏時tooM根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂。【例1-4-4】數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列有界是該級數(shù)收斂的(A)充分條件。(B)必要條件。(C)充分必要

2、條件。(D)既非充分又非必要條件?！窘狻堪磾?shù)項級數(shù)收斂的定義，級數(shù)收斂即級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，而部分和數(shù)列有界是部分和數(shù)列有極限的必要條件，故選(B)。注意對正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界是級數(shù)收斂的充分必要條件，而對一般的非正項級數(shù)來說，部分和數(shù)列有界僅是級數(shù)收斂的必要條件，而不是充分條件。【例1-4-5】級數(shù)I11I-a,十.應(yīng)百日的收斂性是(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)無法判定11【解】按萊布尼茲判別法知，級數(shù)收斂；級數(shù)是p-級數(shù)p=的情形，p收斂JM=1fil=1K=I若它I%4I收斂,則七十與之代都收斂奸=1n=In=gII(C)若正項級數(shù)X%發(fā)散*則%土制=12)(D

3、)若級數(shù)Sx收斂，且12)，則級數(shù)也收斂rt=l=I【解】因為玄(小+/=W(W+瑤+24%),又I叼$所H=|ff=1El以Za網(wǎng)也收斂，故應(yīng)選(a)口二、嘉級數(shù)泰勒級數(shù)(一)事級數(shù)的概念和性質(zhì)i.嘉級數(shù)的概念qQqQanan(xx0)n稱為嘉級數(shù)，令t=xx0,可化為anantnn0n=02 ,嘉級數(shù)的收斂性qQqQ若級數(shù)ananxn當(dāng)x=x0(x0=0)時收斂，則對適合x|x0的一切x,級數(shù)aanxn發(fā)散。nOn=03 .嘉級數(shù)的收斂半徑及其求法若嘉級數(shù)9anxn在某些點收斂，在某些點發(fā)散，則必存在唯一的正數(shù)R,使當(dāng)xR時，級數(shù)絕對nO收斂，當(dāng)|xAR時，級數(shù)發(fā)散。這個R稱為塞級數(shù)的收斂

4、半徑；若事級數(shù)只在x=0處收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0;若嘉級數(shù)對一切x都收斂，則規(guī)定收斂半徑R=+ocqQ對事級數(shù)一anxn若n旦limII=p（或limj舄|二?）a/*則它的收斂半徑當(dāng)口0時+8,當(dāng)e=0時。，當(dāng)二十00時4 ,嘉級數(shù)的性質(zhì)qQ（-若嘉級數(shù)-anxn的收斂半徑為R,則稱開區(qū)間（-R,R）為嘉級數(shù)的收斂區(qū)間，n0根據(jù)嘉級數(shù)在x=R處的收斂情況，可以決定嘉級數(shù)的收斂域（即收斂點的全體）是四個區(qū)間:R,R）、-R,R）、（-R,R、-R,R之一。事級數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）嘉級數(shù)ananxn的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)；nOqQ（2）嘉級數(shù)Zanxn的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項

5、求導(dǎo)、逐項積分公式n=0080S（H）= （X。） =n Zn/lm-QihXit = D逐項求導(dǎo)、逐項積分后所得到的事級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑(二)泰勒級數(shù)1 .泰勒級數(shù)的概念1右f(x)在點X0處具有各階導(dǎo)數(shù)，則帚級數(shù)工一f(x0)(x-x0)稱為函數(shù)f(x)在點X0處ngn!1的泰勒級數(shù)，特別當(dāng)X0=0時，級數(shù)12f(xo)(0)n稱為函數(shù)f(a)的麥克勞林級數(shù)。nwn!2 .函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件設(shè)函數(shù)f(x)在點xo的某鄰域U(X。)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)(即f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x)本身)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(其中x=x。+日(x-xo),01)3 .常用函數(shù)的嘉級數(shù)展開式(I)葉=1+工+J7*+(-+0)U,曾+11+1(2) S也mW-狗工3t受工5卜十(I尸+)+(8工+8)(3) 8SJT=1可/+苗上4+(_1)圮(一818)(4) InU+1)=H