解直角三角形的方法點(diǎn)拔(含答案)-

1、解直角三角形的方法點(diǎn)拔解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，計(jì)算直角三角形未知的邊長(zhǎng)、角的大小和面積等。首先要明確解直角三角形的依據(jù)和思路：在直角三角形中，我們是用三條邊的比來(lái)表述銳角三角函數(shù)的定義。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)上揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，它是解直角三角形的基礎(chǔ)。每個(gè)邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形的思路，實(shí)際上就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過(guò)解方程來(lái)求解。典型例題例1.如圖，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的長(zhǎng)。思路1：所求AB是的斜邊，但在中只知一個(gè)

2、銳角A等于，暫不可解。而在中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解入手。解法1：在中，因，且，AE1故在中，由，得在中，由，得思路2：觀察圖形可知，CD、DE分別是和斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。解法2：同解法1得在中，由，得在中，由，得點(diǎn)拔：本題是由幾個(gè)直角三角形組合而成的圖形，這樣的問(wèn)題，可先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，因而在解直角三角形時(shí)經(jīng)常要用到。例2.如圖，在中，AD是BC邊上的中線。（1）若，求AD的長(zhǎng)。（2）若，求證：分析：（1）由A

3、D是BC邊上的中線，只知DC一條邊長(zhǎng)，僅此無(wú)法直接在中求解AD。而在中，由已知BC邊和可以先求出AC，從而使可解。（2）和分別為和中的銳角，且都以直角邊AC為對(duì)邊，抓住圖形的這個(gè)特征，根據(jù)銳角三角函數(shù)可以證明解：（1）在中，在中，（2）證明：在中，由，得在中，由，得故，又因BC2DC，故點(diǎn)拔：在解直角三角形的問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的圖形，如圖2，它是含有兩個(gè)直角三角形的圖形。隨著D點(diǎn)在BC邊上位置的變化，會(huì)引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)出許多不同的解直角三角形問(wèn)題。例3.如圖，在中，AD是的平分線。（1）若，求（2）在（1）的條件下，若BD4，求.分析：在（1）中已知AD是的

4、平分線，又知AB、BD這兩條線段的比為，應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，就能把已知條件集中轉(zhuǎn)化到中，先求出即可求得。解：（1）由AD是的平分線，得，即在中，由，得，（2）由，得由，得。又點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，從而找到解決問(wèn)題的突破口。例4.如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，BD1，求AB。分析：已知的角告訴我們，和都是特殊的直角三角形，抓住這個(gè)特點(diǎn)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程求解解：在中，設(shè)，由，可知，得，在中，由，BD1，得得點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量

5、關(guān)系布列方程，還要熟練地掌握特殊銳角的三角函數(shù)值，以使解答過(guò)程的表述簡(jiǎn)便。針對(duì)性訓(xùn)練1在ABC中，C=90°，那么下列邊角之間關(guān)系中不正確的是（ ）Ac=a·cosB Ba=b·cotB Cb=a·cotA Da=c·sinA2如圖，在RtABC中，C=90°，BC=4，AC=3，CDAB于D，設(shè)ACD=，則cos的值為（ ）A B C D3若斜坡AB的坡角為56°19，坡度i=3：2，則有（ ） Asin56°19=1.5 Bcos56°19=1.5Ctan56°19=1.5 Dcot56&#

6、176;19°=1.54等腰三角形頂角A為120°，底邊上的高AD=3，則該三角形的周長(zhǎng)是（ ）A12+3 B9+6 C18 D12+65邊長(zhǎng)為2的菱形，一個(gè)內(nèi)角為120°，則較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為（ ）A2 B C2 D16在RtABC中，C=90°，已知a、A求a的關(guān)系式為_(kāi)；已知a、b，求A的關(guān)系式為_(kāi)7在ABC中，C=90°，BC：CA=4：5，那么sinA=_8在離大樓15m的地面上看大樓頂部仰角為65°，則大樓高約_m（精確到1m）9一個(gè)斜坡的坡度是1：3，高度是5m，則他從坡底到坡頂部所走的路程大約是_m（精確到0.1m）10

7、在ABC中，C=90°，sinA=，AB=15，則AC=_11如圖（1）和（2），根據(jù)圖中所示的條件解這兩個(gè)直角三角形12如圖，水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形，壩頂寬6m，壩高24m，斜坡AB的坡角為45°，斜坡CD的坡度i=1：2，則壩底AD的長(zhǎng)為多少米？13某直升飛機(jī)于空中A處觀測(cè)到地平面控制點(diǎn)C的俯角為30°，若飛機(jī)的航向不變，繼續(xù)向前飛行1000m至B處時(shí)，觀測(cè)地平面控制點(diǎn)C的俯角為45°，問(wèn)飛機(jī)再向前飛行多少米時(shí)與地平面控制點(diǎn)C的距離最近？（結(jié)果保留根號(hào)）14如圖，在山頂上有一座電視塔，為了測(cè)量山高，在地面上引一條基線EDC，測(cè)得C=45°，

8、CD=50m，BDE=30°，已知電視塔AB=250m，求山高BE（精確到1米）15.在中，D、F分別在AC、BC上，且，求AC。 參考答案1A 點(diǎn)撥cosB=，c=2A 點(diǎn)撥直角三角形ABC的斜邊顯然等于5，cosB=cos=3C 點(diǎn)撥坡度等于坡角的正切4D 點(diǎn)撥因?yàn)轫斀菫?20°，所以底角為30°，腰長(zhǎng)為6，底邊長(zhǎng)6，所以周長(zhǎng)為12+65A6a=c·sinA，tanA=7解：設(shè)BC=4m，AC=5m，所以AB=m，sinA=832 點(diǎn)撥樓高為15×tan65°=15×2.144532（米）915.8 點(diǎn)撥這個(gè)坡的高度是5

9、米，所以寬度為15米，因此從坡度到坡頂部所走的路程大約15.8米109 點(diǎn)撥sinA=，且AB=15，所以BC=12，根據(jù)勾股定理得AC=911解：如圖（1）b=4×4tan60°=4，a=8，另一個(gè)角為30°；（2）c=10，sin=，=30°，=90-=60°12解：過(guò)B作BEAD于點(diǎn)E，過(guò)C作CFAD于點(diǎn)F 顯然四邊形BCFE是矩形，且BC=EF=6，BE=CF=24 在直角三角形ABE中 AE=BE×cot45°=24×1=24 在直角三角形CDF中 CF：DF=1：2，所以DF=48 AD=AE+EF+DF=24+6+48=78（米）13解：如圖作CDAB于點(diǎn)D，根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：AB=1000m， 設(shè)CD=x，在直角三角形BCD中，CBD=45°，所以BD=CD=x 又在直角三角形ACD中，A=30° 所以tan30°= ，即=，解得：x= 飛機(jī)再向前飛行米時(shí)與地平面控制點(diǎn)C的距離最近14解：在直角三角形BDE中，BDE=30°，設(shè)BE=x米 tan30°=，即=，所以DE=x 又因?yàn)樵谥苯侨切蜛CE中，C=45° 所以A