第二章第14講函數(shù)模型及其應(yīng)用[配套]1

1、第14講 函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱要求考點分布考情風(fēng)向標(biāo)1了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用2013年上海市春季卷考查相似三角形與二次函數(shù)型；2013年陜西卷考查相似三角形與二次函數(shù)型；2014年湖南卷考查指數(shù)函數(shù)型；2014年北京卷考查二次函數(shù)型；2015年上海卷考查二次函數(shù)型；2015年北京卷考查平均變化率；2015年四川卷考查指數(shù)函數(shù)型；2016年四川卷考查指數(shù)函數(shù)型及對數(shù)運算由于概率統(tǒng)計應(yīng)用題及線性規(guī)劃應(yīng)用題的存在，函數(shù)模型應(yīng)

2、用題很少在全國卷中出現(xiàn)，但在其他省份屢見不鮮.復(fù)習(xí)時應(yīng)重點關(guān)注：(1)考查二次函數(shù)模型的建立及最值問題.(2)考查分段函數(shù)模型的建立及最值問題.(3)考查指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、“對勾”型函數(shù)模型的建立及最值問題1常見的幾種函數(shù)模型2三種函數(shù)模型性質(zhì)比較遞增慢x項目yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的單調(diào)性單調(diào)_單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越_相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與_軸接近平行隨n值變化而不同1某一種商品降價 10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價()A10%B9%DC11%D1009%加油時間加油量/升加油時的累計里程/千米2

3、015 年 5 月 1 日1235 0002015 年 5 月 15 日4835 6002(2015 年北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內(nèi)，該車每 100 千米平均耗油量為()BA6 升B8 升C10 升D12 升解析：因為第一次油箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內(nèi)的耗油量，故耗油量 V48 升.而這段時間內(nèi)行駛的里程數(shù)s35 60035 000600 千米.所以這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為486001008 升.故選 B3某計算機集團公司生產(chǎn)某種型號計算機的固定成本為200 萬元

4、，生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為 3000 元，每臺計算機的售價為 5000 元.則：C2000.3x(xN*)(1)總成本 C(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為_；(2)單位成本 P(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為_；P200 x0.3(xN*)(3)銷售收入 R(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為_；R0.5x(xN*)(4)利潤 L(單位：萬元)關(guān)于總產(chǎn)量 x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系式為_.L0.2x200(xN*) ，h40 x，Sx(404在如圖 2-14-1 所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則

5、其邊長 x 為_m.圖 2-14-1解析：設(shè)矩形的高為h，有40h40 x40 x)x240 x(x20)2400，即當(dāng)邊長 x 為 20 m 時，矩形的面積最大.20考點1 正比例、反比例和一次函數(shù)類的實際問題例1：(1)某電信公司推出兩種手機收費方式：A 種方式是月租 20 元，B 種方式是月租 0 元.一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間 t( 單位：分鐘) 與打出電話費 s( 單位：元) 的函數(shù)關(guān)系如圖2-14-2，當(dāng)打出電話 150 分鐘時，這兩種方式電話費相差()A10 元C30 元B20 元D40 元圖 2-14-2答案：A(2)(2014 年廣東廣州測試)做一個體積為 32 m3 、高

6、為 2 m的無蓋長方體的紙盒，用紙面積最小為()A64 m2C32 m2B48 m2D16 m2答案：B【規(guī)律方法】對勾函數(shù)f(x)x(a0)是正比例與反比例ax函數(shù)的綜合題型，解決這類問題首先考慮基本不等式，當(dāng)基本不等式中等號不成立時要利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，當(dāng)然也可以利用導(dǎo)數(shù)求最值.考點2二次函數(shù)類的實際應(yīng)用題例2：如圖 2-14-3，某校有一塊形如直角三角形 ABC 的空地，其中角 B 為直角，AB 長 40 m，BC 長 50 m.現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且 B 為矩形的一個頂點，求該健身房的最大占地面積.圖 2-14-3【規(guī)律方法】二次函數(shù)是我們比較熟悉的函數(shù)

7、模型，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值.解決實際中的優(yōu)化問題時，一定要分析自變量的取值范圍.利用配方法求最值時，一定要注意對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系：若對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)，可在對稱軸處取一最值，在離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取另一最值；若對稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值在區(qū)間的端點處取得.另外在實際的問題中，還要考慮自變量為整數(shù)的問題.【互動探究】1某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖2-14-4，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長 x，y 應(yīng)為()圖 2-14-4Ax15，y12Cx14，y10Bx12，y15Dx1

8、0，y14答案：A考點3分段函數(shù)類的實際問題例3：某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果 40 天內(nèi)全部銷售完.公司對銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖 2-14-5，其中圖(1)(一條折線)、圖(2)(一條拋物線的一部分)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系，圖(3)是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系.圖 2-14-5(1)分別寫出國外市場的日銷售量 f(t)(單位：t)與上市時間 t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量 g(t)(單位：t)與上市時間 t 的關(guān)系；(2) 國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等 于630

9、0 萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由.由 F(t)在(30,40上是減函數(shù)，得 F(t)F(30)6300.故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和可以恰好等于 6300 萬元，為上市后的第 30 天.【規(guī)律方法】分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起.要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.第(1)問就是根據(jù)圖(1)和圖(2)所給的數(shù)據(jù)，運用待定系數(shù)法求出各圖象中的解析式；第(2)問先求得總利潤的函數(shù)關(guān)系式，再將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解.【互動探究】2某市居民自來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過 4噸時，每噸

10、為 1.80 元，當(dāng)用水超過 4 噸時，超過部分每噸為3.00 元.某月甲、乙兩戶共交水費 y 元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為 5x,3x(單位：噸).(1)求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)；(2)若甲、乙兩戶該月共交水費 26.4 元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費.解：(1)當(dāng)甲的用水量不超過 4 噸時，即 5x4，則乙的用水量也不超過 4 噸，y1.8(5x3x)14.4x；當(dāng)甲的用水量超過 4 噸，乙的用水量不超過 4 噸，即 3x4，且 5x4 時，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過 4 噸，即 3x4 時，則 5x4，y241.83(3x4)(5x

11、4)24x9.6(2)由于 yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，令 24x9.6264，解得 x15甲戶用水量為 5x5157.5(噸)，付費 S141835317.70(元)；乙戶用水量為 3x31545(噸)，付費 S24180.538.70(元).難點突破指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例題：(1)(2015 年四川)某食品的保鮮時間 y(單位：小時)與儲藏溫度 x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系 yekxb(e2718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b 為常數(shù)).若該食品在 0 的保鮮時間是192 小時，在 22 的保鮮時間是 48 小時，則該食品在 33 的保鮮時間是(A16 小時C24 小時)(導(dǎo)學(xué)號 58340034)B20 小時D21 小時答案：C(2)(2014 年湖南)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為 p，第二年的增長率為 q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()答案：D1解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字).(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，建模時一定要注意定義域；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論