統(tǒng)計概率知識點

1、第二章：統(tǒng)計1、抽樣方法：簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為口。N2、總體分布的估計：一表二圖：頻率分布表一一數(shù)據(jù)詳實頻率分布直方圖一一分布直觀頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計：平均數(shù)：X=X1x2X3xn;n取值為X1,X2，,Xn的頻率分別為Pl,P2

2、,，Pn,則其平均數(shù)為XiPl+*2P2+XnPn；注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。方差與標準差：一組樣本數(shù)據(jù)Xi ,X2, ,xnn2-12I萬差：s=-£(Xi-x)；nr標準差：S =,n2：(xi - x)n i4注：方差與標準差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標準差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。線性回歸方程變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系;制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系線性回歸方程：y=bx+a(最小二乘法)注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(X,y)0第三章：概率1、隨機事件及其概率：事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示;必然事件、不可能事件、

3、隨機事件的特點；隨機事件A的概率：P(A)=m,0<P(A)<1.n2、古典概型：基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果;古典概型的特點:所有的基本事件只有有限個；每個基本事件都是等可能發(fā)生古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件A發(fā)生的概率p(a)=-.n3、幾何概型：幾何概型的特點：所有的基本事件是無限個；每個基本事件都是等可能發(fā)生。幾何概型概率計算公式：P(A)=d的測度；D的測度其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；如果事件Ai，A2,An任意兩個

4、都是互斥事件，則稱事件Ai，A2,，An彼此互斥。如果事件A,B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A,B發(fā)生的概率的和,即：P(AB)=P(A)P(B)如果事件Ai,A2,，An彼此互斥，則有：對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。事件A的對立事件記作A對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。專題六：排列組合與二項式定理1、基本計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理：(分類相加)做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有mi種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有N=m1+m2+一十mn種不同的方法.分

5、步乘法計數(shù)原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n個步驟，做第一個步驟有D種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有N=m|Mm2MMmn種不同的方法.2、排列與組合排列定義：一般地,從n個不同的元素中任取m(mwn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的一個排列.組合定義：一般地,從n個不同的元素中任取m(mwn)個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的一個組合.排列數(shù)：從n個不同的元素中任取m(mwn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的排列數(shù)，記作Am.組合數(shù)：從n個

6、不同的元素中任取m(mwn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的組合數(shù)，記作cm.(5)排列數(shù)公式：A：=nn-1n-2jin-m1Am一Ann=n!,規(guī)定0!=1.組合數(shù)公式:町二訕-1仙-2廠(”21)或非二m!cm=c；規(guī)定c：=1.排列與組合的區(qū)別：排列有順序、組合無順序.排列與組合的聯(lián)系：Am=cmAm.即排列就是先組合再全排列Cm唳=nm喘H(mA)排列與組合的兩個性質(zhì)性質(zhì)排歹uA%=Anm+mAm“；組合cn=cm+cm(10)解排列組合問題的方法特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條

7、件的位置的要求，再考慮其他位置）.間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.有序問題組合法.選取問題先選后排法.至多至少問題間接法.相同元素分組可采用隔板法.分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n!.3、二項式定理二項展開公式：

8、（a+b）n=C：an+Cnan_1b+C2an,b2+用+C；a*brIHCnbnnN.二項展開式的通項公式：Tr*=C：an"br（0Er<n,r=N,n=N+）.主要用途是求指定的項.項的系數(shù)與二項式系數(shù)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù).如在（ax+b）n的展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)為C：,第r+1項的系數(shù)為C：anbr；而（x十1）n的展開式中的系數(shù)等于二項式系數(shù)；二項式系數(shù)一定為正，而x項的系數(shù)不一定為正.（1+xn的展開式：（1+xn=C0xn+Cnxn，+C；xTi+Cnx0,若令x =1 ,則有(1

9、+1n=2n=C0+Cn+C2+C1.二項式奇數(shù)項系數(shù)的和等于二項式偶數(shù)項系數(shù)的和.即Cn0+C：+=C：+C；+=2n二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即 Cm =c（2）增減性與最大值：當£叱1時，二項式系數(shù)C；的值逐漸增大，當2n mn-；n 1時,cn的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項（第r 一 2-+12n項）的二項式系數(shù)Cn2取得最大值.當n為奇數(shù)時,n 1n：1中間兩項（第等和等+ 1項)的二項式系數(shù)Cn=Cn相等并同時取最大值.系數(shù)最大項的求法一.A _ A設(shè)第r項的系數(shù)Ar最大，由不等式組ArArAr -

10、 A可確定r.賦值法若(ax b)n : a0 a1x a2x2 . anxn,貝4設(shè) f (x) =(ax+b)n.有: aO = f (0);Za0a1a2. an = f(1)；a2 -a3. ( -1)nan = f (-1)； a0 a2 a4 a6 二f(1) f(-1).2；f(1)-f(-1) .21、基本概念互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件.如果事件AB、C,其中任何兩個都是互斥事件，則說事件ABC彼此互斥.當A、B是互斥事件時，那么事件A+B發(fā)生(即AB中有一個發(fā)生)的概率，等于事件AB分別發(fā)生的概率的和，即P(AB=PAPB對立事件：其中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件.事件

11、A的對立事件通常記著A.對立事件的概率和等于1.P(A)-1-P(A).特別提醒：“互斥事件”與“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件，因此，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，(即其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響).這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.當A、B是相互獨立事件時，那么事件AB發(fā)生(即AB同時發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的積.即P(AB)=P(A)P(

12、B)._若A、B兩事件相互獨立，則A與B、A與日A與B也都是相互獨立的.獨立重復(fù)試驗一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗.獨立重復(fù)試驗的概率公式如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個試驗恰好發(fā)生k次的概率條件概率：對任意事件A和事件B,在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A),讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.公式:P(B A)=P(AB)P(A),P(A) 0.2、離散型隨機變量隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量常用字母X,YJ尸等表示.離散型隨機變量：對于隨機變

13、量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出若X是隨機變量，Y=aX+b（a,b是常數(shù)）則Y也是隨機變量.并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）.3、離散型隨機變量的分布列概率分布（分布歹U）設(shè)離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,，xi,，xn,X的每一個值xi（i=1,2,.,n

14、）的概率P（X=為）=pi,則稱親為隨機變量X的概率分布，簡稱X的分布列.n性質(zhì)：pi0,i=1,2,.n;2pi=1.i1兩點分布如果隨機變量X的分布列為01則稱X服從兩點分布二項分布并稱p = P(X =1)為成功概率.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是其中k=0,1,2,.,n,q=1p,于是得到隨機變量X的概率分布如下:01kn我們稱這樣的隨機變量X服從二項分布，記作XBn,p),并稱p為成功概率.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有三點：對立性：即一次試驗中事件發(fā)生與否二者必居其一；重復(fù)性：即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次；等概

15、率性：在每次試驗中事件發(fā)生的概率均相等注：二項分布的模型是有放回抽樣；二項分布中的參數(shù)是p,k,n.超幾何分布般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事k n -k件X=k發(fā)生的概率為P(X=k) = CM-CN(k = 0,1,2,川,m)，于是得到隨機變量 X的概率分布如下:其中m =min(M ,n, n< N,M<N,n,M,NN .我們稱這樣的隨機變量 X的分布列為超幾01何分布列，且稱隨機變量X服從超幾何分布注：超幾何分布的模型是不放回抽樣;超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n.其意義分別是總體中的個體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量.4、離散型隨機變

16、量的均值與方差離散型隨機變量的均值E(X)=XiPi+x2P2+II1+Xp+|+XnPn為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.性質(zhì)：|E(aX+b)=aE(X)+b.若X服從兩點分布，則E(X)=p.若X-B(n,p),貝(JE(X)=np.離散型隨機變量的方差nD(X)=£(xi-E(X)2pi為離散型隨機變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根JD(X)為隨i1機變量X的標準差.它反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.D(X)越小，X的穩(wěn)定性越高，波動越小，取值越集中；D(X)越大，X的穩(wěn)定性越差，波動越大，取值越分散性質(zhì)

17、：D(aX+b)=a2D(X).若X服從兩點分布，則D(X)=p(1P).若XB(n,p),則D(X)=np(1P).5、正態(tài)分布正態(tài)變量概率密度曲線函數(shù)表達式：f (x )=,xw R ,其中七。是參數(shù),且二-0, -二；二.記叫N( 2).戀下圖:專題八：統(tǒng)計案例1、回歸分析回歸直線方程？ = a &=0.5ni 1,、Xi yi - nx y其中'、x -x y -y、xi -x、a=y-bx相關(guān)系數(shù)：rxxi -x yi - yi 1''xii12、獨立性檢驗假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的值域分另為xi,X2和yi,yz,其樣本頻數(shù)2><2列聯(lián)