中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)對(duì)稱(chēng)的知識(shí)與思想方法-精品文檔

1、中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)對(duì)稱(chēng)的知識(shí)與思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)中,對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象豐富多彩,在高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課堂教育教學(xué)過(guò)程中,利用這些知識(shí),教會(huì)學(xué)生欣賞對(duì)稱(chēng)美,培養(yǎng)對(duì)稱(chēng)意識(shí),能很好地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,培育學(xué)生的數(shù)學(xué)美感,從而更好地促進(jìn)學(xué)生的理解進(jìn)程,提升學(xué)生的對(duì)稱(chēng)思想意識(shí)與創(chuàng)新思維水平.一、什么是對(duì)稱(chēng)“對(duì)稱(chēng)一詞來(lái)源于希臘語(yǔ),原義為“和諧、“美觀,泛指物體的局部與局部、以及局部與整體間的位置的般配與和諧在數(shù)學(xué)上,對(duì)稱(chēng)美一般指物體在量和量的關(guān)系上存在的一種直觀的和諧,狹義地看,通常指的是幾何、代數(shù)上的對(duì)稱(chēng)；廣義地看,還包括有對(duì)偶、勻稱(chēng)等方面的意義.形式和內(nèi)容上的對(duì)稱(chēng)性,廣泛地存在于現(xiàn)實(shí)世界的各類(lèi)事物中,有周期、節(jié)奏和旋

2、律等形式的時(shí)間對(duì)稱(chēng),也有各種幾何形式的空間對(duì)稱(chēng),還有與時(shí)空等內(nèi)容無(wú)甚關(guān)聯(lián)的復(fù)雜對(duì)稱(chēng)在數(shù)學(xué)中,對(duì)稱(chēng)是數(shù)學(xué)美的一種表現(xiàn)形式.數(shù)學(xué)美和對(duì)稱(chēng)緊密相連,許多根本概念都以對(duì)稱(chēng)的形式表達(dá)著數(shù)學(xué)美,如奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)、左極限與右極限、復(fù)數(shù)與共軻復(fù)數(shù),正弦與余弦、正切與余切、正割與余割等；許多根本運(yùn)算也表達(dá)著對(duì)稱(chēng)美,如加與減、乘與除、乘方與開(kāi)方、函數(shù)與反函數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等等.二、中學(xué)數(shù)學(xué)中與對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的知識(shí)內(nèi)容作為中學(xué)數(shù)學(xué)的主要工具,集合、邏輯、不等式、平面向量等知識(shí)中有許多與對(duì)稱(chēng)性相關(guān)的內(nèi)容,如A?奐B?圳B?奐A;pAq=pVq,pVq=pAq；aa等等,此外,不等式中還有許

3、多對(duì)稱(chēng)輪換式.在函數(shù)中,對(duì)稱(chēng)性是非常突出的一個(gè)根本特征,不僅表達(dá)在直觀的函數(shù)圖象上,而且也表達(dá)在代數(shù)形式方面,例如：(1)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)+f(2a-x)=2b時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱(chēng)；(2)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)+f(-x)=0時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)；(3)當(dāng)且僅當(dāng)f(a+x)=f(a-x)時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)；(4)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=f(-x)時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；(5)解析式分別為y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的兩函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,b)成中央對(duì)稱(chēng)；(6)解析式分別為y=f(x)與y=f(2a-x)的

4、兩函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱(chēng)；(7)解析式分別為y=f(x)與a-x=f(a-y)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱(chēng)；(8)解析式分別為y=f(x)與x-a=f(y+a)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱(chēng);(9)解析式分別為y=f(x)的圖像與x=f(y)的兩函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱(chēng).對(duì)稱(chēng)性也是三角函數(shù)圖像最為突出的特征,正、余弦函數(shù)的圖象既是中央對(duì)稱(chēng)圖形,又是軸對(duì)稱(chēng)圖形,有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱(chēng)中央與無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸,這樣的對(duì)稱(chēng)性即使是圓也無(wú)法具備,我們可以把正弦函數(shù)y=sinx的所有對(duì)稱(chēng)中央表為(k兀,0)(kGZ),把所有對(duì)稱(chēng)軸方程表為x=k兀+兀/2(kGZ),把正切函數(shù)y=tanx

5、的所有對(duì)稱(chēng)中央表為(k兀/2,0)(kZ).數(shù)列作為一類(lèi)特殊的函數(shù),往往以周期、節(jié)奏和旋律等形式表達(dá)對(duì)稱(chēng)性,在等差數(shù)列求和公式證實(shí)中我們還利用了對(duì)偶的性質(zhì).最值得一提的是菲波那契數(shù)列,在這個(gè)數(shù)列中,前后項(xiàng)之比的極限恰等于黃金分割數(shù).黃金分割是一個(gè)神奇的比例,我們對(duì)于許多事物的直觀上的美感正是建立在各局部之間的協(xié)調(diào)的比例關(guān)系上.對(duì)稱(chēng)通常指的是局部與局部間的關(guān)系,但黃金分割數(shù)讓我們熟悉到,對(duì)稱(chēng)的概念還具有和諧勻稱(chēng)這些涵義.數(shù)列中的對(duì)稱(chēng)性有著各種奇異的表現(xiàn),例如,我們可以將哥德巴赫猜測(cè)理解為一個(gè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的存在性證實(shí)問(wèn)題：對(duì)任何一個(gè)不小于3的自然數(shù)n,必存在兩個(gè)不同的素?cái)?shù)p、q,使得p-n=n-q.直

6、觀意義上的幾何圖形的對(duì)稱(chēng)無(wú)處不在,而且豐富多彩,例如,正六面體各個(gè)面的中央可構(gòu)成正八面體的頂點(diǎn)；球是一種最為簡(jiǎn)潔美麗的幾何體,有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱(chēng)面、無(wú)窮多條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中央等等.在解決立體幾何問(wèn)題時(shí),如果圖形是對(duì)稱(chēng)的,就應(yīng)關(guān)注圖形的對(duì)稱(chēng)面如例1;如果問(wèn)題隱含有對(duì)稱(chēng),就應(yīng)通過(guò)添補(bǔ)輔助元素將對(duì)稱(chēng)性顯現(xiàn)出來(lái),例如,證實(shí)線面垂直判定定理時(shí),我們就利用了鏡面對(duì)稱(chēng)的原理.例1:如圖,在四棱錐B'-ABCD中,BB垂直于正方形ABCD所在的平面,BB=AB=1過(guò)點(diǎn)B作垂直于B'D的截面BMPN求/MPN勺大小.排列、組合以及概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)中也有許多對(duì)稱(chēng)內(nèi)容,例如,二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性,楊輝三角

7、是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的數(shù)陣；等可能事件和正態(tài)分布也有對(duì)稱(chēng)的涵義.在這些知識(shí)中,對(duì)稱(chēng)更多地表達(dá)為一種解決問(wèn)題的方法.例2:8個(gè)人排成一列購(gòu)動(dòng)車(chē)票,其中,甲比乙先買(mǎi)到車(chē)票的排法有多少種分析：甲站在乙之前,與乙站在甲之前是等可能的,有對(duì)稱(chēng)性,故排法種數(shù)是8個(gè)人全排列種數(shù)的二分之一.解析幾何融幾何與代數(shù)的對(duì)稱(chēng)于一體,對(duì)稱(chēng)的特征更為突出,例如：1點(diǎn)a,b關(guān)于點(diǎn)x,y的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是2x-a,ay-b;2點(diǎn)a,b關(guān)于直線y=±x+c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是土b-c,士a+c；(3)在方程f(x,y)=0中,假設(shè)以-x替換,方程沒(méi)有改變,那么其所表示的圖像y關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；假設(shè)以-y替換y,方程沒(méi)有改變,那么其所表示的圖像

8、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).三、關(guān)于對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)稱(chēng)是一種思想,連貫于數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單化、統(tǒng)一化思想,可以讓人們更好地理解和領(lǐng)悟存在于宇宙世界中的秩序、美和完善.在古代中國(guó),人們以“太極圖譜對(duì)宇宙間普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律進(jìn)行直觀詮釋,是對(duì)自然規(guī)律進(jìn)行概括而產(chǎn)生的一種思想認(rèn)識(shí)；在數(shù)學(xué)理論開(kāi)展的過(guò)程中,數(shù)學(xué)家們對(duì)對(duì)稱(chēng)美的一貫追求,也是一種促以引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)思維不斷促進(jìn)數(shù)學(xué)理論走向完善的美學(xué)思想.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,對(duì)稱(chēng)是一種方法與策略,比方,當(dāng)我們覺(jué)察到問(wèn)題中的圖形具有對(duì)稱(chēng)性時(shí),就要進(jìn)一步考察圖形的對(duì)稱(chēng)軸(如例3)；當(dāng)我們意識(shí)到問(wèn)題內(nèi)部可能隱含有對(duì)稱(chēng)時(shí),就需要將對(duì)稱(chēng)的元素進(jìn)一步明確下來(lái)(如例4)；當(dāng)問(wèn)題呈現(xiàn)明

9、顯的對(duì)稱(chēng)特征時(shí),就要充分利用對(duì)稱(chēng)作為解決問(wèn)題的重要條件(如例5、6);在博弈與游戲中,雙方輪番出招必有先后,著眼對(duì)稱(chēng)往往就能簡(jiǎn)易地找到出其不意的制勝策略(如例7).例3:拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,3)與B(4,3),其頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為6,求拋物線的解析式.例4:在某條河岸同一側(cè)有兩個(gè)村莊A和B,問(wèn)如何在河上找一個(gè)位置修建橋梁M使從村莊A和B到達(dá)橋梁M的路程之和最短?例5:姐弟二人同在某個(gè)單位工作,姐姐從家里走到單位需要用20分鐘,弟弟只需要用16分鐘,假設(shè)現(xiàn)在姐姐比弟弟早2分鐘動(dòng)身,問(wèn)過(guò)多少時(shí)間弟弟能追上姐姐分析：假設(shè)姐弟同時(shí)出發(fā),那么姐姐比弟弟晚到4分鐘,現(xiàn)姐姐早出發(fā)2分鐘,將比弟弟晚到2分鐘,按對(duì)稱(chēng)性,弟弟與姐姐同時(shí)到達(dá)全程之中點(diǎn),此時(shí)弟弟恰用了8分鐘.例6:解方程x4+4x3+6x2+4x+1=0.分析：方程的系數(shù)1、4、6、4、1呈對(duì)稱(chēng),假設(shè)在方程兩邊同除以x2,那么可將方程化為以x+為未知數(shù)的一元二次方程.例7:甲乙二人輪著在一張圓桌面上進(jìn)行擺硬幣游戲,規(guī)定：每次每人只能擺一枚5分的硬幣,硬幣擺上后不能互相重疊,不能超出桌子的邊緣,經(jīng)過(guò)充分屢次輪流擺放后,無(wú)法在桌面擺下硬幣的就輸給對(duì)方,證實(shí)：先擺的那一個(gè)人總是可以勝出證實(shí)：制勝策略是：先擺的那個(gè)人將第一個(gè)硬幣擺在圓心處,在后擺者將硬幣擺在任何其它位置時(shí),先擺的那一個(gè)可將硬幣擺在與其對(duì)稱(chēng)的位置,因此,最后