2022年(新課標)高考數(shù)學(xué)題型全歸納正余弦定理在實際生活中的應(yīng)用典型例題

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -正、余弦定理在實際生活中的應(yīng)用正、余弦定理在測量、航海、物理、幾何、天體運行等方面的應(yīng)用非常廣泛，解這類應(yīng)用題需要我們吃透題意，對專業(yè)名詞、術(shù)語要能正確懂得，能將實際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題.求解此類問題的大致步驟為： （ 1）精確懂得題意，分清已知與所求，精確懂得應(yīng)用題中的有關(guān)名稱、術(shù)語，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等；（ 2）依據(jù)題意畫出圖形；（ 3）將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關(guān)學(xué)問建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解，演算過程要簡練，運算要精確，最終作答.1.測量中正、余弦定理

2、的應(yīng)用例 1 某觀測站 C 在目標南偏西 25 方向， 從動身有一條南偏東 35 走向的大路， 在 C 處測得大路上與 C 相距 31 千米的處有一人正沿此大路向走去，走 20 千米到達，此時測得 CD 距離為 21 千米，求此人所在處距仍有多少千米？分析：依據(jù)已知作出示意圖，分析已知及所求，解CBD ，求角 .再解ABC ，求出 AC ，再求出 AB ，從而求出AD （即為所求）.解：由圖知，BD 2CADBC260.CD 2312202北21223A東cosB2BCBD1232312031，253521CD 2021sin B31.ACBCsin B2431B在ABC 中，sin A.由余

3、弦定理，得BC 2AC 2AB 22 ACABcos A .即 312AB 22422AB24 cos 60.整理，得AB224 AB3850 ，解得 AB35 或 AB11（舍） .故 ADABBD15 （千米） .答：此人所在處距仍有15 千米 .評注：正、余弦定理的應(yīng)用中，示意圖起著關(guān)鍵的作用，“形”可為“數(shù)”指引方向，因此，只有正確作出示意圖，方能合理應(yīng)用正、余弦定理.2.航海中正、余弦定理的應(yīng)用例 2在海岸處，發(fā)覺北偏東45 方向，距為31海里的處有一艘走私船，在處北偏西75精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - -

4、- - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -方向，距為2 海里的 C 處的緝私船奉命以103 海里 / 小時的速度追截走私船.此時走私船正以10 海里 / 小時的速度從處向北偏東30 方向逃跑，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時間？分析：留意到最快追上走私船，且兩船所用時間相等，D可畫出示意圖，需求CD 的方位角及由C 到所需的航行時間 .解 ： 設(shè) 緝 私 船 追 上 走 私 船 所 需 時 間 為 小 時 ， 就 有30CD103t ， BD10t .CB7545在 ABC中，AB31，AC2，A22BAC4575120 ，依據(jù)余弦

5、定理可得BC3122 2 31cos1206 .依據(jù)正弦定理可得sinABC3AC sin120222BC62.ABC45 ，易知 CB 方向與正北方向垂直，從而CBD9030120 .sinBCDBD sinCBD10tsin1201在 BCD 中，依據(jù)正弦定理可得：CD103t2 ， BCD30 ，BDC30 ，BDBC6 ，就有 10tt60.2456，10小時14.7 分鐘 .所以緝私船沿北偏東600 方向，需 14.7 分鐘才能追上走私船.評注：仔細分析問題的構(gòu)成，三角形中邊角關(guān)系的分析，可為解題的方向供應(yīng)依據(jù).明確方位角是應(yīng)用的前提，此題邊角關(guān)系較復(fù)雜要留意正余弦定理的聯(lián)用.3.航

6、測中正、余弦定理的應(yīng)用例 3飛機的航線和山頂在同一個鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔20250 m，速度為180 km/h ，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫樯巾數(shù)暮０胃叨龋ň_到m ） .18 30' ，經(jīng)過 120 秒后又看到山頂?shù)母┙菫?1，求分析：第一依據(jù)題意畫出圖形，如圖，這樣可在ABM 和 RtBMD 中解出山頂?shù)胶骄€的距精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -離，然后再依據(jù)航線的海拔高度求得山頂?shù)暮０胃叨?解：設(shè)飛行員的兩次觀測

7、點依次為和，山頂為M ，山頂?shù)街本€的距離為MD .ABDM如圖，在 ABM中，由已知，得A18 30' ，AB180ABM99，1206AMB62 30' .又6060BM依據(jù)正弦定理，可得（ km ） ,6sin1830'sin 62 30'，MD進而求得6sin1830'sin 81sin 62 30'， MD2120 （ m） ,可得山頂?shù)暮０胃叨葹?0250212018130（ m） .評注：解題中要仔細分析與問題有關(guān)的三角形，正確運用正、余弦定理有序地解相關(guān)的三角形，從而得到問題的答案.4.炮兵觀測中正、余弦定理的應(yīng)用例4我炮兵陣位置于

8、地面處，兩觀看所分別位于地面點C 和處，已知CD6000 米，ACD45 ，ADC75 ，目標顯現(xiàn)于地面點處時，測得BCD30 ，BDC15（如圖），求炮兵陣地到目標的距離（結(jié)果保留根號）.分析：依據(jù)題意畫出圖形，如圖，題中的四點、 C 、可構(gòu)成四個三角形.要求 AB 的長，由于ADB751590，只需知道AD 和 BD 的長，這樣可挑選在ACD 和BCD 中應(yīng)用定理求解 .解：在 ACD 中，CAD180ACDADC60 ，CD6000，ACD45 ，AAD依據(jù)正弦定理有CD sin 452CD sin 603，C4575D同理，在 BCD 中，CBD180BCDBDC135 ，3015精選

9、名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -CD6000，BCD30 ，BD依據(jù)正弦定理有CD sin 302 CDsin1352.又在ABD 中，ADBADCBDC90 ，ABAD 2BD 221 CD42 CD100042依據(jù)勾股定理有：所以炮兵陣地到目標的距離為100042 米.326.評注：應(yīng)用正、余弦定理求解問題時，要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而此類問題又可歸結(jié)為解斜三角形問題，因此，解題的關(guān)鍵是正確尋求邊、角關(guān)系，方能正確求解.5.下料中

10、正余弦定理的應(yīng)用例 5已知扇形鐵板的半徑為，圓心角為 60 ，要從中截取一個面積最大的矩形，應(yīng)怎樣劃線？分析：要使截取矩形面積最大，必需使矩形的四個頂點都在扇形的邊界上，即為扇形的內(nèi)接矩形，如下列圖.BBPQPQDxNOOx MN A（ 1）E（2M）A解：在圖（ 1）中 ,在 AB 上取一點，過作PNOA 于 N ，過作 PQPN 交 OB 于 Q ，再過Q 作 QMOA 于 M .OPPQ設(shè)AOPx ，PNRsin x .在 POQ 中，由正弦定理， 得 sin18060 sin60x .23PQR sin60x3.SPNPQ23 R2 sin x sin60x 3 R2cos2x60 c

11、os60于是333 R2 11 3 R2326.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -當 cos2x60 1 即 x30 時， S 取得最大值3 R26.在圖（ 2）中，取AB 中點 C ，連結(jié) OC ，在 AB 上取一點，過作PQ / OC 交 OB 于 Q ，過作 PNPQ 交 AB 于 N ， 過 Q 作 QMPQ 交 CA 于 M ，連結(jié) MN 得矩形 MNPQ ，設(shè)POCx ，就PDRsin x .在 POQRR中，由正弦定理得：sin18030 sin30x ， PQ S2R sin302PD PQx .4R2 sin xsin30x2R2cos2x30 cos30（當.2 R2 1cos30 23 R2x15 時取“”） .當 x1532R時， S 取得最大值23 R223 R26，作AOP30，按圖（ 1）劃線所截得的矩形面積最大.評注：此題屬于探干脆問題，需要我們自己尋求參數(shù)，建立目標函數(shù)，這需要有扎實的基本