15之動(dòng)量守恒

1、物理另說(shuō) 15 動(dòng)量守恒從最近樓里的問(wèn)題看，目前很多同學(xué)在面臨著動(dòng)量守恒的時(shí)候，都會(huì)有一定的理 解難度。而物理學(xué)習(xí)最重要的，就是對(duì)概念知識(shí)的理解，話說(shuō)理論理論，就是必 須要理解的論。大叔考慮到動(dòng)量的學(xué)習(xí)，基本上已經(jīng)是高中物理主要部分的尾聲，既然很多同學(xué) 已經(jīng)接觸它，不如就從教材以外的角度來(lái)理解，那么咱們就提前把幾個(gè)月后大叔才另說(shuō)的動(dòng)量守恒有關(guān)知識(shí)，穿越到現(xiàn)在，呈現(xiàn)于此。另說(shuō)的 10電磁感應(yīng)還沒(méi)有正式推出，就跳躍到另說(shuō) 15 了，先就穿越一 下吧。原來(lái)如此來(lái)自整體思路、系統(tǒng)觀點(diǎn)、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)、牛頓第三定律的動(dòng)量守恒先說(shuō)一通廢話，一方面，介紹一下建議學(xué)習(xí)方法，另一方面，也是對(duì)動(dòng)量守恒的引見(jiàn)：大家學(xué)物理

2、有一段時(shí)間了，有沒(méi)有感覺(jué)到：物理學(xué)的很多理論和公式，其實(shí)在形式表達(dá)上，只是之前理論公式的數(shù)學(xué)或者邏輯上的簡(jiǎn)單變形，一目了然的簡(jiǎn)單；而在內(nèi)在涵義上，這種變化和創(chuàng)造，卻誕生了全新的概念。所以，很多知識(shí)，如果我們單純從這個(gè)知識(shí)點(diǎn)自身來(lái)孤立理解和掌握它，確實(shí)有難度，不容 易掌握好，這也不能歸結(jié)為大家學(xué)習(xí)不努力不勤奮；但是，如果我們能夠利用自己已經(jīng)掌握的知識(shí)來(lái)詮釋新概念的話，那么，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：掌握它，非常簡(jiǎn)單把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起。這就是大叔一直希望大家明白的學(xué)習(xí)方法。具體來(lái)說(shuō)：用橫向縱向聯(lián)系的方式，可以把不熟悉的知識(shí)變成非常熟悉知識(shí)的有機(jī)組合； 能夠使自己的知識(shí)體系扎實(shí)緊密、牢不可破。體系化的知識(shí)結(jié)構(gòu)，

3、一旦在你的大腦中建立 起來(lái)之后，物理各種大小考試，將非常簡(jiǎn)單和容易，不需要刻意記憶公式定理題型，也不需要考前苦苦復(fù)習(xí)折磨自己；考試的時(shí)候，調(diào)用和組合自己的知識(shí)，將非常輕松，即使是遇見(jiàn)了從未見(jiàn)過(guò)的全新問(wèn)題，在你扎實(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)面前，也很容易找到思路與突破點(diǎn)。智商平平的大叔本人，當(dāng)年就是這樣的學(xué)習(xí)方法。效果：以前，物理成績(jī)從來(lái)沒(méi)有在學(xué)校哪個(gè)同學(xué)后面過(guò)；現(xiàn)在，在完全脫離物理學(xué)習(xí)近 20 年以后，面對(duì)高中物理，也可以在沒(méi)有任何教材或參考書的情況下，把 YY 物理這個(gè)樓立在這里。呃，似乎有打廣告的嫌疑，趕緊打住。以上，就是大叔要強(qiáng)調(diào)的物理學(xué)習(xí)方法，也希望大家能在平時(shí)盡快真正建立起各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的緊密聯(lián)系性

4、結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，即使不打算將來(lái)從事物理，也完全可以現(xiàn)在起，在一兩個(gè)學(xué)期內(nèi)把自己打造為物理學(xué)霸，為你不久后人生第一個(gè)重要節(jié)點(diǎn)的順利通過(guò)，增加一臂之力。不過(guò)，副作用是誰(shuí)要是幾十年后也總忘不了物理，可別怪大叔哦。至少你還可以給今后的弟弟妹妹們隨便輔導(dǎo)輔導(dǎo)什么的，哈哈。我們的學(xué)習(xí)方法是系統(tǒng)化的，今天要講的動(dòng)量守恒，即是其他知識(shí)的演變，而它自身也非常強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)化觀點(diǎn)。好吧，具體開講。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，以下主要是針對(duì)高中物理所涉及的動(dòng)量關(guān)系，平動(dòng)方式，不涉及旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。一、整體思路與系統(tǒng)觀點(diǎn)1、整體思路回顧我們?cè)陟o力分析中、在連接體運(yùn)動(dòng)分析中，都曾經(jīng)用過(guò)一個(gè)方法整體法。整體法具有很直接的效果，只要不

5、涉及到整體內(nèi)部的各個(gè)部分之間的關(guān)系，那么就可以把全部物體，當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的受力與運(yùn)動(dòng)情況，可以直接用牛頓有關(guān)定律來(lái)解決。比如，大家在高一時(shí)候常見(jiàn)的：一個(gè)傾斜角 、質(zhì)量 M 粗糙斜面放置于水平粗糙地面，斜面上有一質(zhì)量 m 的木塊靜止，各表面間摩擦系數(shù) ，重力加速度 g，求斜面與地面之間摩擦力。如圖 15-01：這個(gè)問(wèn)題，別看給了若干條件，其實(shí)，一句話就可以：把斜面和木塊作為一個(gè)整體來(lái)看，水平方向無(wú)其他外力，所以地面對(duì)斜面的摩擦力一定為 0。上邊是靜止的，然后咱們來(lái)說(shuō)說(shuō)運(yùn)動(dòng)的。再比如，如圖 15-02最簡(jiǎn)單的連接體問(wèn)題：光滑水平面上，兩物塊質(zhì)量分別 M、m，以 水平繩相連，水平外力F 作用

6、在 M 上，拉動(dòng)它們運(yùn)動(dòng)，求它們的加速度？這個(gè)問(wèn)題也用整體法，兩者一起運(yùn)動(dòng)加速度相等，把兩者看作一個(gè)整體，則 a=F/（M+m）。以上兩個(gè)極簡(jiǎn)單的例，可以看到只要能夠把多個(gè)物體當(dāng)作一個(gè)整體，那么分析推算起來(lái)， 就非常直接、干脆，一步到位這就是整體思路的好處。物理的解題效率，不在于你的計(jì)算解方程能力如何，往往就在于你的思路如何，一個(gè)好的思路，效率是別人的若干倍。2、系統(tǒng)觀點(diǎn)與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)：水平光滑地面上用壓縮的彈簧連接著的兩個(gè)物塊，一旦釋放，它們彼此將在彈力下分開，但是它們整體的質(zhì)心，將保持原位；一個(gè)靜止的炸彈爆炸了，無(wú)數(shù)碎塊高速飛向四面八方，但是這些碎塊整體上，質(zhì)心仍然是靜止于原來(lái)炸彈重心所在的位

7、置；節(jié)日慶典豎直射上夜空炸開的禮花，整體上質(zhì)心仍然是一個(gè)豎直上拋運(yùn)動(dòng)，各個(gè)方向飛散開來(lái)的火花，在任何時(shí)刻， 只要沒(méi)有落地，都處于同一個(gè)不斷勻速擴(kuò)張的球面上；例子還有很多很多，都可以把整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。這是整體法，也就是系統(tǒng)法。1） 系統(tǒng)觀點(diǎn)系統(tǒng)觀點(diǎn)，其實(shí)就是整體思路的推廣，就是把涉及到的一切東西，都當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)分析。所以在物理中，又有一個(gè)分支，就是專門用整體思路來(lái)分析物體運(yùn)動(dòng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)學(xué)。為了適合中學(xué)階段的物理，大叔這里就把質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的原理簡(jiǎn)化后運(yùn)用在這里。簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的原理，就是把整個(gè)系統(tǒng)的受力和運(yùn)動(dòng)，當(dāng)作這個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心的受力和運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，把各個(gè)部分亂七八糟的受

8、力和運(yùn)動(dòng)，歸結(jié)到一個(gè)點(diǎn)來(lái)做整體分析。那么這個(gè)點(diǎn)，就是整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心，一切來(lái)自于系統(tǒng)以外的受力都可以平行移動(dòng)到這個(gè)點(diǎn)上來(lái)，最后得到的系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)情況的結(jié)論。而這個(gè)整體，也完全可以通用一切我們所掌握的牛一、牛二、牛三等等對(duì)其質(zhì)心來(lái)進(jìn)行分析。廣義的整體思路任何多個(gè)物體之間，都可以作為整體來(lái)進(jìn)行分析，不需要連接在一起，不論距離遠(yuǎn)近，或者是否運(yùn)動(dòng)怎么運(yùn)動(dòng)，都沒(méi)有問(wèn)題。整體思路、系統(tǒng)思路的核心，就是“合并”的邏輯思想：既然任何物體都是由無(wú)數(shù)的分子原子以及更深層次的物質(zhì)微粒組成的，可以化整為零；那么反過(guò)來(lái)，我們也同樣可以把任何多 個(gè)物體，當(dāng)作一個(gè)整體化零為整。我們所認(rèn)識(shí)的物質(zhì)世界，只有大小多少的區(qū)別，沒(méi)有本

9、質(zhì)結(jié)構(gòu)的區(qū)別，比如：原子的結(jié)構(gòu)，與宇宙星系的結(jié)構(gòu)，并沒(méi)有太大差別。而有的時(shí)候，我們要以整體來(lái)分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)受力規(guī)律，就需要確定物體的質(zhì)心在哪里，才能夠描述質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，因此，這里要利用整體法來(lái)分析物體的運(yùn)動(dòng)，還需要首先明確系統(tǒng)整體的質(zhì)心位置。2）系統(tǒng)的質(zhì)心位置及質(zhì)心的速度質(zhì)心位置 質(zhì)心，通常就是我們所指的重心，就是整個(gè)物體（系統(tǒng)）的質(zhì)量中心，以這個(gè)質(zhì)量中心為對(duì)稱中心，物體整體平衡。A 對(duì)于一個(gè)物體（質(zhì)點(diǎn)）來(lái)說(shuō)，它的質(zhì)心就是這個(gè)質(zhì)點(diǎn)；B 對(duì)于兩個(gè)質(zhì)量分別為 m1、m2 的物體（質(zhì)點(diǎn)）來(lái)說(shuō)，它們的質(zhì)心，位于兩者的連線上，質(zhì)心位置到兩者的距離，與兩者的質(zhì)量成反比，如圖 15-03即：m1X1=m2X2

10、這個(gè)公式，在很多問(wèn)題中都出現(xiàn)過(guò)，比如雙星系統(tǒng)、比如杠桿原理（力矩平衡），而實(shí)際上，計(jì)算質(zhì)心的一個(gè)主要工具，就是力矩平衡原理。C 對(duì)于兩個(gè)以上，不在一個(gè)直線上的多個(gè)物體（質(zhì)點(diǎn)）來(lái)說(shuō)，它們的質(zhì)心，可以用計(jì)算重心的方式來(lái)求取，如力矩平衡等方式。D 對(duì)于立體空間內(nèi)多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心，同樣采用求重心的方式來(lái)求?。ǜ咧胁恍栌?jì)算，略）質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度，也就是以系統(tǒng)全部質(zhì)量集中于質(zhì)心的時(shí)候，質(zhì)心“代表”整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)速度V，由于系統(tǒng)整體動(dòng)量mv 是所有部分的動(dòng)量的矢量和，所以質(zhì)心的速度，也就是 V=系統(tǒng)整體動(dòng)量/整體質(zhì)量。以上介紹質(zhì)心位置的計(jì)算，作為高中來(lái)說(shuō)，不用掌握太多，現(xiàn)在階段，只需要知道兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) 的系統(tǒng)

11、整體質(zhì)心關(guān)式 m1X1=m2X2 就可以，它，也暗示著我們的動(dòng)量守恒。我們來(lái)看看，不受外力的兩物體系統(tǒng)，其質(zhì)心位置就始終滿足：m1X1 =m2 X2這里的 X1、X2 是距離，如果以質(zhì)心為原點(diǎn)，規(guī)定正方向的話，應(yīng)該是 m1X1 = m2X2，用微元思路，在任意一個(gè)極短的時(shí)間t 內(nèi)，兩邊分別位移X1、X2，如果有 m1X1=m2X2 成立，我們說(shuō)質(zhì)心沒(méi)有變化，也就是質(zhì)心守恒了。根據(jù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，如果上式兩邊同時(shí)變?yōu)樵瓉?lái)的 1/t，則等號(hào)必然成立。那么，也就是 m1X1/t= m2X2/t應(yīng)用微元思想，t 很短的時(shí)候，X/t=瞬時(shí)速度 V，即m1V1 = m2V2也就是我們所說(shuō)的動(dòng)量守恒。從這個(gè)角

12、度上來(lái)理解，動(dòng)量守恒，就是質(zhì)心守恒過(guò)程的任何一個(gè)瞬間。3）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)：多物體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，以整個(gè)系統(tǒng)的角度來(lái)說(shuō)，就是它們質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。完全符合一切運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律。以最常見(jiàn)的兩個(gè)物體的受力運(yùn)動(dòng)來(lái)看：A 整體不受外力的情況：不論兩者是否相連，只要兩個(gè)物體整體不受外力，則兩物體的質(zhì)心保持原有的靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)“系統(tǒng)的整體慣性定律”，例如，光滑水平面上，如果把兩個(gè)用壓縮或者拉伸的彈簧連接彼此的物體，突然釋放，那么無(wú)論彈簧使兩個(gè)物體彼此如何往復(fù)振動(dòng)，整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心，將保持原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變：如果原來(lái)它們是靜止的，整個(gè)系統(tǒng)質(zhì)心就將靜止不動(dòng)；如果它們?cè)瓉?lái)是以一定速度運(yùn)動(dòng)的，那么松開彈簧后，整個(gè)系統(tǒng)質(zhì)心也將保

13、持原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度不變；甚至如果把它們豎直上拋的過(guò)程中松開彈簧，即使兩個(gè)物體再怎樣加速減速往復(fù)振動(dòng)，它們的質(zhì)心仍然保持原來(lái)的豎直上拋運(yùn)動(dòng)軌跡。B 整體受到外力各種變速運(yùn)動(dòng)如果系統(tǒng)受到恒定的外力（包括各個(gè)部分受到的系統(tǒng)以外的力，全部都可以作為系統(tǒng)整體受到的外力作用于系統(tǒng)質(zhì)心），則系統(tǒng)整體將做勻變速運(yùn)動(dòng)，服從牛二定律。例如：如圖 15-04A 和 B 兩個(gè)物體，質(zhì)量分別為 50 公斤和 75 公斤，坐標(biāo)分別為原點(diǎn) O 和 B（500，500）。不考慮任何摩擦和阻力，那么現(xiàn)在：如 A 受力 50000 牛向 y 軸正方向，B 受力 150000 牛向 x 軸正方向，求 1 秒后質(zhì)心 C 的位置。（注意

14、哦，AB 之間并沒(méi)有繩子什么的連著的，也就是 A 受力與 B 無(wú)關(guān)）解 1，我們就用傳統(tǒng)思路，單個(gè)分析它們：A 的加速度 a1=50000/50=1000，由靜止開始沿 y 軸向上勻加速；B 的加速度 a2=150000/75=2019，由靜止開始沿 x 軸向右勻加速。 則 1 秒后，A 的位置是 A（0，500）；B 向右勻加速 1 秒，水平位移是x2=a2*t*t/2=1000，坐標(biāo) B（1500，500）；C 則重新計(jì)算新的質(zhì)心位置，可以得到是 C（900，500）。解 2：如果用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)來(lái)整體分析：則根據(jù)“m1X1=m2X2”，按照反比關(guān)系，它們的質(zhì)心在 C 點(diǎn)（3 00，300），如

15、果按照整體系統(tǒng)觀點(diǎn)，我們可以說(shuō)A 和 B 這個(gè)整體，就是一個(gè)質(zhì)量是 M=m1+m2=125 公斤，位于 C 點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) C。把所有外力歸結(jié)到這個(gè)質(zhì)心，則 C 受到的力為向 y 軸正方向的 F1=50000 牛和向 x 軸正方向F2=150000 牛，合力為F=5000 010 牛，與 x 軸夾角 的正切 tan =1/3。則整體質(zhì)心加速度為 a=5000010/125=40010，1 秒后沿此方向位移為 S=att/2=20010，換算到坐標(biāo)，即（Xo+S*cos ，yo+S* sin ），即（300+600。300+2 00）=（900，500）。從數(shù)學(xué)比較上邊兩個(gè)思路，其實(shí)僅僅是在表達(dá)式上的

16、小學(xué)數(shù)學(xué)變形（乘法分配律），前者是分別計(jì)算運(yùn)動(dòng)情況以后再換算質(zhì)心；后者是直接把力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系落實(shí)到質(zhì)心上，再直接計(jì)算 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況。因此兩者必然是等價(jià)的。但在物理原理上，就是整體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與傳統(tǒng)思路的概念的不同。所以說(shuō)，很多物理新概念，其實(shí)就是把原來(lái)的概念的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單變形而已。系統(tǒng)整體分析的實(shí)質(zhì)，就是用質(zhì)心來(lái)代表系統(tǒng)內(nèi)所有的物體。這個(gè)例子告訴我們，即使是在兩個(gè)物體之間沒(méi)有任何實(shí)際聯(lián)系的情況下，仍然可以把它們作為一個(gè)整體，統(tǒng)一到質(zhì)心上來(lái)考慮，也就是說(shuō)，以整體的系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看問(wèn)題，心有多大， 舞臺(tái)就有多大。C 兩個(gè)大的系統(tǒng)彼此之間的作用力與反作用力，同樣服從系統(tǒng)的牛三定律。例如，一群物體 A 和另一群物

17、體 B，就系統(tǒng)整體上來(lái)看，也同樣可以當(dāng)作一個(gè)整體 A 和另一個(gè)整體 B 的相互作用，按照牛三來(lái)解釋?？偟貋?lái)說(shuō)：物質(zhì)世界在原理上無(wú)大小之分，多個(gè)物體組成的系統(tǒng)和某一個(gè)物體是一樣的，受力與運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全一致。對(duì)于一個(gè)單獨(dú)的物體，按照這個(gè)物體的質(zhì)心來(lái)分析這個(gè)物體的受力 與運(yùn)動(dòng)情況；那么，對(duì)于一個(gè)包含若干個(gè)物體的系統(tǒng)整體來(lái)說(shuō)，它也同樣可以當(dāng)作一個(gè)物體，以系統(tǒng)的整體質(zhì)心，來(lái)進(jìn)行受力和運(yùn)動(dòng)的分析。對(duì)于高中階段來(lái)說(shuō)，一般不涉及更為復(fù)雜的群體的彼此作用情況等（上邊的 C 項(xiàng)），但是，為了知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整，我們?nèi)匀恍枰肋@里面的特殊內(nèi)涵。那么，復(fù)雜的就不多說(shuō)，我們就來(lái)說(shuō)說(shuō)最簡(jiǎn)單的：系統(tǒng)整體的牛頓第一定律動(dòng)量守恒：

18、二、動(dòng)量守恒針對(duì)系統(tǒng)的牛頓第一定律：1、什么是動(dòng)量守恒作為 YY 物理另說(shuō)，咱不說(shuō)教材上的定義。換個(gè)說(shuō)法：系統(tǒng)受到合外力為零的時(shí)候，其質(zhì)心將保持原有靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這個(gè)可以叫做 “質(zhì)心慣性定律”，也就是說(shuō)，系統(tǒng)質(zhì)心的速度不變，對(duì)于一個(gè)總質(zhì)量 M=m 的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)， 這就是m v 不變，也就是我們所說(shuō)的動(dòng)量守恒。注意：所謂“系統(tǒng)受到合外力=0”，并非“無(wú)外力施加于這個(gè)系統(tǒng)中”，而是可以是系統(tǒng)內(nèi)的各個(gè)部分受到不同的力，而這些力如果平移到系統(tǒng)質(zhì)心后，合力為零。所以，在理解掌握了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)觀點(diǎn)之后，我們可以說(shuō)，動(dòng)量守恒，就是系統(tǒng)的質(zhì)心慣 性原理，也就是系統(tǒng)的牛頓第一定律。這個(gè)動(dòng)量守恒，其實(shí)很

19、簡(jiǎn)單吧。本質(zhì)上，只需要我們把若干個(gè)物體，當(dāng)作一個(gè)物體（系統(tǒng)），就會(huì)發(fā)現(xiàn)，動(dòng)量守恒，它就是牛頓第一定律前面在介紹系統(tǒng)質(zhì)心計(jì)算的時(shí)候，已經(jīng)說(shuō)的比較清楚了啊。既然把原理介紹了一番，那么大叔就上個(gè)題來(lái)做一說(shuō)明吧：如圖 15-05（2019安徽）如圖所示，質(zhì)量 M=2kg 的滑塊套在光滑的水平軌道上，質(zhì)量 m=1kg 的小球通過(guò)長(zhǎng) L=0.5m 的輕質(zhì)細(xì)桿與滑塊上的光滑軸 O 連接，小球和輕桿可在豎直平面內(nèi)繞 O 軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開始輕桿處于水平狀態(tài)，現(xiàn)給小球一個(gè)豎直向上的初速度 v0=4m/s，g 取 10m/s2（1）若鎖定滑塊，試求小球通過(guò)最高點(diǎn) P 時(shí)對(duì)輕桿的作用力大小和方向（2）若解除對(duì)滑塊的鎖定

20、，試求小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大?。?）在滿足 （2）的條件下，試求小球擊中滑塊右側(cè)軌道位置點(diǎn)與小球起始位置點(diǎn)間的距離這是安徽 2019 年壓軸題， 前兩問(wèn)都比較基礎(chǔ)，送分的，不多說(shuō)了，用能量關(guān)系，向心力公 式、最簡(jiǎn)單的動(dòng)量守恒直套公式就可以解決。這里不多講了，大家可以用來(lái)練習(xí)練習(xí)手感。關(guān)鍵是第三問(wèn)，傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)思路是這樣的：設(shè)小球擊中滑塊右側(cè)軌道的位置點(diǎn)與小球起始點(diǎn)的距離為 s1，滑塊向左移動(dòng)的距離為 s2，任意時(shí)刻小球的水平速度大小為 v3，滑塊的速度大小為 V由系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，得 mv3-MV'=0兩邊同乘以t，得 mv3t-MV't=0對(duì)任意時(shí)刻微小間隔t 都成立，

21、累積相加后，有ms1-M s2=0， 又 s1+s2=2L解得 s12/ 3 米中間使用了微元法，需要具有一定的數(shù)學(xué)處理技巧，確實(shí)不愧是壓軸。而如果咱們用質(zhì)心守恒思路呢，那就簡(jiǎn)單了：球和桿的質(zhì)心 C 在開始時(shí)候球的位置的右邊桿長(zhǎng)的 2L/ 3 處，無(wú)外力，質(zhì)心守恒，整個(gè)系統(tǒng)質(zhì)心水平速度始終=0，最后球在右邊落地，系統(tǒng)質(zhì)心位置永遠(yuǎn)不變。但此時(shí)球在質(zhì)心右側(cè) 2L/3 處，則所求的過(guò)程前后的位置差，由幾何知識(shí)，就是4L/ 3=2 / 3 米。物理問(wèn)題，主要是思路問(wèn)題，有了好的思路，那么這個(gè)高考“壓軸題”，也不過(guò)就一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)題的難度。2、關(guān)于牛頓幾個(gè)定律與動(dòng)量守恒質(zhì)心守恒關(guān)系： 大叔以前說(shuō)過(guò)，動(dòng)量守

22、恒，它又可以理解為牛頓第三定律；大叔再干脆這么說(shuō)牛頓第一定律，在本質(zhì)上，就是牛頓第三定律的整體系統(tǒng)化。作用力與反作用力，就是只包含這兩個(gè)物體的系統(tǒng)的內(nèi)力，內(nèi)力不改變整體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以整體保持慣性不變。最后大叔順帶提一句，牛頓第一定律，其實(shí)就是牛頓第二定律在外力為零的情況下的特例，而牛頓第三定律，本質(zhì)上，就是系統(tǒng)整體的牛頓第一定律，也是動(dòng)量守恒的瞬間形式（下一 節(jié)解釋），所以啊，什么牛頓三大定律以及動(dòng)量守恒，那都變成了牛頓第二定律在不同情況下的表現(xiàn)形式了。那這些物理關(guān)系，理清楚他們之間的結(jié)構(gòu)，歸結(jié)起來(lái)就是牛二一句話，還有什么需要去背去記憶的呢？。學(xué)習(xí)物理其實(shí)很簡(jiǎn)單，由此可見(jiàn)啊。3、關(guān)于沖量1）我

23、們來(lái)看看，作為動(dòng)量的另外一個(gè)表達(dá)形式?jīng)_量 ，它是什么？從定義 =P 看，沖量是動(dòng)量的改變量；從表達(dá)式（“沖量定理”） =Ft 看，沖量，就是力的時(shí)間積累。從類比概念動(dòng)能定理 W=FS 的對(duì)應(yīng)看，能量、動(dòng)能是力的空間位移積累 F*S，而動(dòng)量、沖量，是力的時(shí)間積累 F*t。而時(shí)間空間，就是我們這個(gè)世界的構(gòu)成方式。以前的物理教材，把動(dòng)量沖量放在動(dòng)能機(jī)械能之后，彼此參照學(xué)習(xí)，覺(jué)得當(dāng)年教材的設(shè)計(jì)比較好。大叔真不明白現(xiàn)在為何要把動(dòng)量放在最后來(lái)學(xué)。2） 從牛頓第三定律的理解。按牛頓第三定律，兩個(gè)物體 A、B 相互作用，則彼此對(duì)于對(duì)方的作用力與反作用力關(guān)系，是大小相等、方向相反的，即 F=負(fù) F，這個(gè)大家非常

24、熟悉?，F(xiàn)在，我們把這個(gè)等式兩邊同時(shí)乘以時(shí)間t，那就是 F*t=負(fù) F*t。換句話說(shuō)，兩個(gè)物體之間，如果有t 的相互作用，那么，由于時(shí)間t 是公平的，作用力與反作用力是等大反向的，所以兩個(gè)物體彼此給予對(duì)方的沖量 Ft 與 Ft 是大小相等、方向相反的。我們把絕對(duì)值用 P 來(lái)簡(jiǎn)稱，那么 A 與 B 相互作用，一個(gè)增加了 P 的動(dòng)量，另外一個(gè)減少了 P 的動(dòng)量，在整個(gè)過(guò)程始末，A、B 兩個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)，總動(dòng)量沒(méi)有任何變 化這就是動(dòng)量守恒了。動(dòng)量守恒，最典型的特征，就是速度的改變量與質(zhì)量反比，其實(shí)從沖量的角度來(lái)理解，彼此給予的沖量大小相等，所以兩者動(dòng)量的改變大小相等，于是速度的改變就與質(zhì)量反比了啊。

25、作用力與反作用力是互相的，因此，它們同等時(shí)間內(nèi)的積累沖量，在本質(zhì)上，當(dāng)然同樣 也是互相的。從這個(gè)角度上說(shuō)兩個(gè)物體的動(dòng)量守恒，就是一個(gè)物體增加了多少動(dòng)量，另一個(gè)物體就減少了同樣多的動(dòng)量（所以系統(tǒng)整體的動(dòng)量沒(méi)有改變）。我們?cè)谟?jì)算動(dòng)量守恒問(wèn) 題的時(shí)候，完全可以在具體計(jì)算中直接這樣“拆借”動(dòng)量，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。（經(jīng)濟(jì)術(shù)語(yǔ)“拆借”在這里的意思被大叔挪用成：彼此沖量，就是部分動(dòng)量從一個(gè)物體上轉(zhuǎn) 移“拆借”到另一個(gè)物體上）動(dòng)量守恒，同時(shí)也可以這樣理解：對(duì)于同樣大小的彼此沖量來(lái)說(shuō)，物體速度的改變量，與其質(zhì)量成反比。作用力與反作用力，是系統(tǒng)的內(nèi)力；同樣滴，沖量，就是大系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)量的互相“拆借”

26、。在一個(gè)過(guò)程中，一個(gè)物體不受外力，則保持原有速度不變牛頓第一定律；一個(gè)系統(tǒng)不受外力，則保持原有質(zhì)心質(zhì)量×速度的積不變也就是動(dòng)量不變。動(dòng)量守恒定律。一般，系統(tǒng)的總質(zhì)量不變，所以，也就可以說(shuō)：一個(gè)系統(tǒng)不受外力，則保持系統(tǒng)整體（質(zhì)心）原有速度不變動(dòng)量守恒定律也是牛頓第一定律現(xiàn)在大家明白，動(dòng)量守恒，其實(shí)，就是高一力學(xué)最基礎(chǔ)、最簡(jiǎn)單的牛頓第一定律慣性定律。那么，動(dòng)量守恒，還有什么難度呢？三、各種形式的動(dòng)量守恒問(wèn)題：動(dòng)量守恒，對(duì)于前提條件非常之簡(jiǎn)單，只需要系統(tǒng)被分析的方向上外力=0，那么就一定動(dòng)量 守恒，哪怕是過(guò)程長(zhǎng)達(dá)億萬(wàn)年，或者是系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)部分彼此之間存在著各種各樣的摩擦力、 彈力、引力、斥

27、力，那都沒(méi)有問(wèn)題，動(dòng)量守恒依舊通用。相比之下，我們學(xué)過(guò)的機(jī)械能守恒就只能甘拜下風(fēng)。即使是由于所考慮的對(duì)象由于受到外力而不能直接使用動(dòng)量守恒，那么很簡(jiǎn)單擴(kuò)大系統(tǒng) 范圍，把那個(gè)施力物也包括在系統(tǒng)中，那么外力就變成了內(nèi)力，動(dòng)量守恒就又可以采用了。所以說(shuō)，動(dòng)量守恒是物理中非常便利有效解決困難的重要工具，動(dòng)量守恒，不僅不難，而且 還非常管用。一般的來(lái)說(shuō)，基礎(chǔ)性的問(wèn)題主要包括：1、人船模型通常是這樣的問(wèn)題，人 m 在長(zhǎng)度 L 船頭，船 M 在水中靜止，水平方向無(wú)任何其他外力。然后人從船頭走到船尾，問(wèn)人和船各自對(duì)地運(yùn)動(dòng)的距離大小 X1、X2。如圖 15-06這類問(wèn)題，是動(dòng)量守恒的一個(gè)基本難度問(wèn)題， 解 1：

28、一般情況下，解決問(wèn)題的關(guān)鍵，就是一個(gè)：動(dòng)量守恒在任何時(shí)間段內(nèi)都成立，即使用微元思路，微小的時(shí)間t 內(nèi)，也一樣。于是，在人、船相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中的任何瞬間，即 mV1=-MV2，兩邊同時(shí)乘以t，得到 mV1t=-MV2t，即 ms1=-Ms2，由于運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，每一個(gè)瞬間動(dòng)量守恒，則整個(gè)過(guò)程都守恒，即 mS1=-MS2，把方向相反的位移 S1、S2 改為距離 X1X2，即 mX1=MX2而整個(gè)過(guò)程，人相對(duì)船運(yùn)動(dòng)了 L，則 X1+X2=L，這個(gè)方程組最簡(jiǎn)單，不用代入計(jì)算，直接由比例知識(shí)，如 m/M=X2/X1，則（m+M）/M=（X1+X2）/X1，就可得到 X1=ML/（M+m），X2=mL/（M

29、+m）。解 2：如果用質(zhì)心原理來(lái)解決：水平方向，人和船的系統(tǒng)質(zhì)心位置 C，有 AC/BC=M/m。無(wú)外力，質(zhì)心守恒，C 點(diǎn)不變。而 B 為船中點(diǎn)，所以最后 AC=AC，BC=BC，由幾何知識(shí)可以直接得到：人的位移 X1=2AC=2*（L/2）*M /（M+m）=ML/（M+m），同樣船的位移 X2=2BC=mL/（M+m）。質(zhì)心思路，避免了微元的推導(dǎo)，避免了正負(fù)符號(hào)的糾結(jié)，把物理問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何比例問(wèn)題，特別是在要求計(jì)算變化前后的位置的問(wèn)題中，思路上相對(duì)直接動(dòng)量守恒更為簡(jiǎn) 單。把人船模型豎起來(lái)同樣的例：靜止在空中 h 高度的熱氣球在釋放一個(gè)鉛塊后開始上升，熱氣球質(zhì)量 M（不包含鉛塊），

30、鉛塊質(zhì)量 m，求鉛塊落地時(shí)候氣球的高度 H。用質(zhì)心原理，在落地前系統(tǒng)豎直方向合力為 0，質(zhì)心恒定靜止。則最后鉛塊下落的高度 h 與氣球上升高度h 的比，與其質(zhì)量比成反比，所以h=mh/M，則 H=h+h=（M+m）h/M。2、滑塊木板問(wèn)題滑塊木板問(wèn)題，是在高一的時(shí)候就已經(jīng)接觸的問(wèn)題。對(duì)于此類問(wèn)題，通用的思路：是先計(jì)算出兩者之間的摩擦力，進(jìn)而得到各自的加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的等時(shí)性，結(jié)合各自的加速度，得到各自的運(yùn)動(dòng)情況。把運(yùn)動(dòng)情況兩相對(duì)比，就OK。此類問(wèn)題也同樣可以用動(dòng)量守恒來(lái)處理，滑塊的初始動(dòng)量，就等于整個(gè)過(guò)程中任何時(shí)刻的系 統(tǒng)動(dòng)量，當(dāng)然也包括末狀態(tài)時(shí)候的動(dòng)量。這樣就可以直接得到末狀態(tài)時(shí)候的速

31、度關(guān)系，然后結(jié)合能量轉(zhuǎn)化關(guān)系與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系，也同樣可以完成解答。兩種思路的比較，實(shí)際上本質(zhì)沒(méi)有區(qū)別，動(dòng)量關(guān)系其實(shí)就已經(jīng)是包含了涉及到時(shí)間的運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算在內(nèi)，沖量 Ft=m*a*t=mV，所以 at=V，動(dòng)量關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)的涉及時(shí)間因子公式是一致的，只是數(shù)學(xué)變形而已。所以，在處理此類問(wèn)題的時(shí)候，由于動(dòng)量就是力的時(shí)間積累，所以如果要列方程組，那么動(dòng)量關(guān)系和含時(shí)間因子運(yùn)動(dòng)學(xué)等式，是一回事，沒(méi)有必要重復(fù)列方程這一點(diǎn)，需要注意，否則，就會(huì)出現(xiàn)方程組無(wú)解的問(wèn)題。解決滑塊木板問(wèn)題的基本思路：一般來(lái)說(shuō)，幾乎所有的類似問(wèn)題（碰撞、穿入穿出、分離、相對(duì)滑動(dòng)和摩擦、傳送帶等），都可以從以下三個(gè)方面建立方程：1）能

32、量關(guān)系或者含位移因子的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系2）動(dòng)量或者含時(shí)間因子的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系3）以及位移幾何關(guān)系等列出方程組。但是一定要清楚的是，上述三方面，每一個(gè)方面內(nèi)部都是等價(jià)的，都只需要建立一個(gè)方程，否則就是重復(fù)建立無(wú)效等價(jià)方程，耽誤時(shí)間甚至導(dǎo)致無(wú)解。從思路上說(shuō)，就是利用動(dòng)量時(shí)間關(guān)系，確定各物體速度改變的彼此比例關(guān)系；然后用能量空間關(guān)系，確定該速度對(duì)應(yīng)的能量的總值（可以理解為速度的平方和關(guān)系）；再利用物理過(guò)程中必然存在的幾何位置知識(shí)確定相對(duì)位移關(guān)系。最后聯(lián)立，確定答案。不論上述的動(dòng)量關(guān)系還是能量關(guān)系，在進(jìn)行最初思考的時(shí)候，建議盡量?jī)?yōu)先從整體上、宏觀上來(lái)處理物理關(guān)系，只有確實(shí)整體上無(wú)法解決的問(wèn)題，才需要在具體的物理

33、過(guò)程中建立等式。這樣做的好處是：能夠盡可能地以最簡(jiǎn)便、最高效率途徑解決問(wèn)題，而不是苦苦在細(xì)節(jié)中糾結(jié)和折磨自己的計(jì)算能力。其實(shí)不止是在涉及動(dòng)量問(wèn)題的時(shí)候如此，在物理的大綜合題面前，我們都應(yīng)該保持良好的偷懶習(xí)慣，先從整體宏觀思考，掌握問(wèn)題的整體架構(gòu)。不要著急地一來(lái)就陷入細(xì)枝末節(jié)的錯(cuò)綜復(fù)雜中浪費(fèi)時(shí)間。只有在把整體方面分析完之后，才再來(lái)用細(xì)節(jié)的條件補(bǔ)充。這個(gè)習(xí)慣很偷懶，可是，很聰明。總結(jié)：“位移與質(zhì)量、受力的關(guān)系” + “時(shí)間與質(zhì)量、受力的關(guān)系” + “空間位置的幾何關(guān)系”。從這三個(gè)方面（或者其中兩個(gè)方面就夠了）一起來(lái)就可以解決此類問(wèn)題。大叔專門把這類問(wèn)題的解決思路，重復(fù)地說(shuō)了這幾遍，就是希望大家能夠

34、理解清楚這個(gè) 最基本套路。按照此思路，此類問(wèn)題，將幾乎只剩下數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題了。關(guān)于計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題：說(shuō)到對(duì)于動(dòng)量能量“雙守恒”條件下的始末速度的計(jì)算，其實(shí)一般就是一個(gè)解二元二次方程組的問(wèn)題。這是數(shù)學(xué)問(wèn)題，大叔在這里也順便提一下基本技巧： 雖然咱們知道，理論上，有幾個(gè)獨(dú)立的方程式，就可以通過(guò)聯(lián)立方程組的辦法，解出這么多個(gè)未知數(shù)。但是就高次方程組來(lái)說(shuō)，手工計(jì)算，難于登天；即使是最基本的二元二次方 程組，如果采用“硬算”的方法，沒(méi)有幾篇草稿紙、不花費(fèi)幾十分鐘，是無(wú)法得到一個(gè)只有兩個(gè)未知數(shù)的方程組答案的。就中學(xué)涉及的初等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，面對(duì)動(dòng)量能量雙守恒問(wèn)題（常見(jiàn)于“完全彈性碰撞”等問(wèn) 題），需要采用的“移項(xiàng)平

35、方差”計(jì)算技巧：A 把動(dòng)量關(guān)系、能量關(guān)系式子等號(hào)兩邊移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，把能量關(guān)系速度的平方和變成方便降次的平方差關(guān)系；B 把 A 得到的能量關(guān)系等式，直接利用“平方差”技巧，降次；C 把 A 得到的動(dòng)量關(guān)系移項(xiàng)等式，與 B 得到的平方差降次后的等式聯(lián)立，計(jì)算求結(jié)果。例如：2 小球完全彈性正碰的速度公式推導(dǎo)：如圖 15-07好啦，物理另說(shuō)，數(shù)學(xué)就不多講了。大家只要知道基本方法就好，畢竟，大叔認(rèn)為，純粹考驗(yàn)計(jì)算能力的物理題，不是有物理價(jià)值的好題。3、有關(guān)雙星問(wèn)題。雙星問(wèn)題是我們?cè)趯W(xué)習(xí)萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)時(shí)所接觸到的一類特殊模型。兩個(gè)質(zhì)量分別為M、m 的天體，以相等的角速度，圍繞著它們的質(zhì)心進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)

36、。雙星問(wèn)題的本質(zhì)，就是質(zhì)心守恒：由于彼此引力是作用力與反作用力，大小相等，也就是各自圓周運(yùn)動(dòng)的向心力相等， 即 MR =mr ，1）角速度兩邊約掉一次，得到 MR =mr ，再帶上表示運(yùn)動(dòng)方向相反的正負(fù)號(hào)，也就是MV=-mv，即系統(tǒng)動(dòng)量守恒。2）再約掉一次角速度：MR=mr，所以圓周半徑就必然與質(zhì)量成反比。而這個(gè)關(guān)系，又恰好就是質(zhì)心等式。所以雙星系統(tǒng)，不受外力下，能夠穩(wěn)定地以質(zhì)心為中心進(jìn)行運(yùn)轉(zhuǎn)。從另外一個(gè)方面講，雙星系統(tǒng)在任何時(shí)候，兩星球的動(dòng)量大小相等方向相反。四、動(dòng)量與動(dòng)能對(duì)比：動(dòng)量與動(dòng)能，是反映物體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象這樣一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，前者是力對(duì)時(shí)間的積累，后者是力對(duì)空間的積累。而實(shí)際上，什么是

37、運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)就是承載質(zhì)量的物體體現(xiàn)在時(shí)間和空間上的變化。通過(guò)上面的介紹，大家應(yīng)對(duì)于動(dòng)量有了一些新的認(rèn)識(shí)，而不要局限在書上的枯燥定義。動(dòng)量 就是這種東西。而為了更深入地認(rèn)識(shí)它，還可以把它與具有類似特征的動(dòng)能（能量）進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)比：能量體現(xiàn)的是一種“多少”的關(guān)系，沒(méi)有方向性，也就不會(huì)互相抵消。類似于有彈性的“彈 簧”，作為力的空間積累，能量只需要一點(diǎn)點(diǎn)有限空間，就可以在時(shí)間上長(zhǎng)期保持。能量是蘊(yùn)涵在物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系中的“柔和”的關(guān)系，能量守恒，是物體間相互作用效果的儲(chǔ)存方式。動(dòng)量體現(xiàn)的是一種“平衡”的關(guān)系，有方向性，相反的動(dòng)量，會(huì)互相削弱甚至抵消。從性子 上，類似于剛性杠桿。作為力的時(shí)間積累，非零的動(dòng)

38、量需要足夠大的空間，才可以長(zhǎng)期保持 下去。動(dòng)量是實(shí)時(shí)表現(xiàn)在物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中的，屬于“剛性”的關(guān)系。動(dòng)量守恒，體現(xiàn)的是相互作用，是作用效果的傳遞方式。內(nèi)力和外力都可以增加系統(tǒng)的能量，而內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量。另外，需要指出的是，動(dòng) 量守恒，只在慣性系中成立，在非慣性系中，由于需要引入慣性力，那么系統(tǒng)就受到外力了，得用動(dòng)量定理來(lái)處理。最后還是得強(qiáng)調(diào)一句最基本的：任何碰撞、相互摩擦等等一切相互作用的過(guò)程，即使機(jī)械 能大量消耗，都不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)量有絲毫改變。這一點(diǎn)，請(qǐng)千萬(wàn)不要和動(dòng)能劃等號(hào)！這也就是在物理問(wèn)題中，動(dòng)量比能量關(guān)系優(yōu)越的地方。解決問(wèn)題的時(shí)候，采用計(jì)算動(dòng)能要必須考慮過(guò)程中的消耗，而采用動(dòng)量計(jì)算

39、根本就不用管那些。動(dòng)量，就是這么簡(jiǎn)單和直接。五、動(dòng)量守恒的解題。1、（2019山東）如圖 15-08 所示，光滑水平軌道上放置長(zhǎng)板 A（上表面粗糙）和滑塊 C，滑塊 B 置于 A 的左端，三者質(zhì)量分別 為 mA=2kg、mB=1kg、mC=2kg開始時(shí) C 靜止，A、B 一起以 v0=5m/s 的速度勻速向右運(yùn)動(dòng)，A 與 C 發(fā)生碰撞（時(shí)間極短）后 C 向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間 A、B 再次達(dá)到共同速度一起向右運(yùn)動(dòng)，且恰好不再與 C 碰撞求 A 與 C 發(fā)生碰撞后瞬間 A 的速度大小分析：此問(wèn)題，一來(lái)就考慮三者全部整體以及整個(gè)過(guò)程：開始的動(dòng)量，就等于最后的總動(dòng)量，就能夠得到最后三者的共同速度 V

40、（條件中的最后“恰好不再與 C 碰撞”的含義就是最后大家速 度相等）。解：開始，碰 C、最后同速，全部過(guò)程始終動(dòng)量守恒，設(shè)所求為 Va，最后同速于 V，則有：開始總動(dòng)量=碰 C 總動(dòng)量=最后總動(dòng)量，從頭到尾動(dòng)量守恒拉通。即（mA+mB）Vo=mB*Vo+mA*Va+mC*V=（mA+mB+mC）V。代入條件，直接得到 Va=2m/s 為所求?？磥?lái)，只要思路合適，涉及動(dòng)量守恒的題確實(shí)能夠很輕松啊。 例 2如圖 15-09 所示，在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板 B 和 C重物 A（視為質(zhì)點(diǎn)）位于 B 的右端，A、B、C 的質(zhì)量相等現(xiàn) A 和 B 以同一速度滑向靜止的 C，B 與 C 發(fā)生正碰碰

41、后 B 和 C 粘在一起運(yùn)動(dòng)，A 在 C 上滑行，A 與 C 有摩擦力已知 A 滑到 C 的右端而未掉下試問(wèn)：從 B、C 發(fā)生正碰到 A 剛移動(dòng)到 C 右端期間，C 所走過(guò)的距離是 C 板長(zhǎng)度的多少倍？解：根據(jù)動(dòng)量守恒關(guān)系，B、C 發(fā)生正碰后，相連，質(zhì)量為 2 倍，則速度為初速一半，而 A 的速度仍然是初速，最后速度同為初速 2/3，到最后，A 的速度由 Vo 變成 2Vo/3，B+ C 的速度由Vo/2 變成 2Vo/3。由動(dòng)能定理，動(dòng)能與速度平方正比，與質(zhì)量正比。所以，A 的動(dòng)能改變了Ek1=5Eo/9，而B+C 的動(dòng)能改變了Ek2=7Eo/18，兩者受到摩擦力相等，則位移比為Ek1/Ek2=10/7，則所求倍數(shù)=7/（10-7）=7/3 倍。此問(wèn)題，就是動(dòng)量守恒與動(dòng)能定理的結(jié)合。 例 3 如圖 15-10（2019浙江）圖中滑塊和小球的質(zhì)量均為 m，滑塊可