用面積法證明幾何題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上編號(hào) 學(xué)士學(xué)位論文用面積法證明幾何題學(xué)生姓名： 阿娜爾古麗·約麥爾 學(xué) 號(hào)： 系 部： 數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2008- 3班 指導(dǎo)教師： 迪麗拜爾老師 完成日期：2013 年 5 月 3 日專心-專注-專業(yè)摘要面積是幾何學(xué)的起源，它是幾何中的重要內(nèi)容。面積法是利用圖形的面積關(guān)系建立一個(gè)或幾個(gè)面積的關(guān)系式通過(guò)推理演算，以達(dá)到題目的一種方法。而且面積法也是數(shù)學(xué)解題中的重要方法。用面積法解幾何題時(shí)常常需要將三角形面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比。有些問(wèn)題用面積法來(lái)解決，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果。通過(guò)對(duì)三角形的面積公式的了解，為證

2、明幾何題打下基礎(chǔ)；整理了三角形面積公式證明幾何題的幾種分類和一些典型例題，描述了三角形，四邊形等面積公式證明幾何題的方法。用面積法證幾何題不僅提供了一種證題的方法，而且還是一種經(jīng)常用到的解題技巧，能夠起到事半功倍的效果。關(guān)鍵詞：面積法 ；證明題；求比值 ；線段 目錄引言面積法是指從三角形，四邊形等的面積出發(fā)，利用幾何圖形中的邊，角與面積之間的關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)手段來(lái)完成幾何中的推理過(guò)程。用面積比來(lái)證明幾何問(wèn)題比較廣泛使用的，利用傳統(tǒng)的方法解決一些幾何問(wèn)題甚至有些復(fù)雜的難題，但利用面積比解決一些幾何問(wèn)題，可以使你認(rèn)為比較難解，甚至感覺無(wú)從下手的問(wèn)題都能夠輕易得到證明。1.面積法證幾何題常用的性質(zhì)：等

3、（同）底，等（同）高的兩個(gè)三角形的面。例題1：求證：等腰三角形兩腰上的高相等。已知：如圖1，中，,分別是上的高。求證： 證明：為的高,又:兩個(gè)三角形等（同）底（高），則它們面積的比等于其高（底）的比。例題2：如圖2，為內(nèi)任意一點(diǎn)，三邊，的高分別為，且到，的距離分別為，。求證：分析：連接,容易看出，分別是兩個(gè)等底三角形的高之比，于是可將之比轉(zhuǎn)化為面積之比，使命題得證。證明：因?yàn)?那么 又因?yàn)椋?同理，因此，:證明三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì).例題3：如圖3，已知是的角平分線求證：分析：如果用面積法通過(guò)等底同高三角形面積相等，及共角定理就很容易得證。證明：如圖 又因與互補(bǔ)，既得 2.常用定理等底三角形面

4、積之比等于其高之比；等高三角形面積之比等于其底之比。例題4：如圖4，直角梯形中, 求：解： , , 相似三角形面積的比等于相似比的平方。例題5：如圖所示，在中，DEBC, 求：解： DEBC , 若兩個(gè)三角形有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形面積之比等于夾此角兩邊乘積之比。例題6：已知如圖6，是的邊上的兩點(diǎn)，。求證：。證明：，而（AQ 是兩個(gè)三角形的公高） （1） 又又。而.。所以得3.應(yīng)用面積法解題的理論依據(jù)1.等積定理：兩個(gè)全等三角形的面積相等。等底，等高的兩個(gè)三角形或四邊形的面積相等。兩個(gè)等積三角形，若它們的底相等，則它們的高相等；若它們的高相等，則它們的底相等。整個(gè)圖形的面積等于其各部分

5、面積之和。2.面積比定理：兩個(gè)三角形面積之比，等于它們的底，高之積得比。等底（高）的兩個(gè)三角形面積之比等于它們的高（底）之比。相似三角形（多邊形）面積之比等于它們對(duì)應(yīng)邊的平方比。3.面積公式： 其中，。是三角形三邊長(zhǎng)，是三角形的高，是三角形內(nèi)切圓的半徑，是三角形的一個(gè)角。應(yīng)用面積法解題一般可不添加或少添輔助線，證法簡(jiǎn)潔，直觀，易于接受和掌握。運(yùn)用三角形面積公式證明某些幾何題，有時(shí)往往比其他方法思路更清晰?，F(xiàn)舉例說(shuō)明如下。3.1證線段相等或不等例7  從的頂點(diǎn)C作C的平分線交AB與D，求證：證明：如圖7,由定理有：但,即所以3.2證明面積成比例數(shù)列問(wèn)題例8  如圖8，已知梯形

6、兩對(duì)角線交與一點(diǎn).求證： 證明：1與2互補(bǔ)，故又因2與3互補(bǔ)，又于, ,3.3證明線段成比例例9：從圓的內(nèi)接四邊形的邊上一點(diǎn)作,且與相交于點(diǎn).求證：證明：如圖，四點(diǎn)共圓，則 又已知共圓，則 有共角定理有： 同理.即有 又又 得 又共邊比例定理知， 3.4.證明三角形面積相等問(wèn)題例10  已知是等腰三角形，是底邊上的任意一點(diǎn)，求證： 證明：易證 即又 3.5證明與圓有關(guān)的比例線段關(guān)系問(wèn)題例11  如圖11，的頂點(diǎn)作外接圓的切線交與.求證：證明：,，與互補(bǔ) , 又 將上面4式相乘有 3.6求線段的比值例12 如圖12，在中，,是的中點(diǎn)，交邊與，求比

7、值 解：在中, , 1=2，又3=4.又共角和共邊比例定理有；總結(jié)在一些難度更大的題目中, 有時(shí)要多次應(yīng)用面積或配合其它代數(shù)技巧和幾何基本知識(shí)才能解決問(wèn)題。有些問(wèn)題用面積法來(lái)解決，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到事半功倍的效果。通過(guò)上面的例題, 可以看出面積與面積、面積與線段的互相轉(zhuǎn)化是面積法解題的重要手段。靈活運(yùn)用知識(shí)要點(diǎn), 巧妙進(jìn)行等積變換是面積法解題的關(guān)解。參考文獻(xiàn)【1】數(shù)學(xué)教學(xué)研究 甘肅省數(shù)學(xué)會(huì) （2527）J【2】 姚高峰, 吳憶明 現(xiàn)代中國(guó)風(fēng)景園林規(guī)劃與旅游開發(fā) 地理學(xué)與國(guó)土研究, 1999 (1) （13- 16）【3】 幾何學(xué) 馬忠林 編 吉林市：吉林人民出版社（）【4】初等幾何變換 左銓如，季素月 編（）【5】初等幾何研究 朱德祥，朱維宗 編（6483）【6】 幾何基礎(chǔ) 傅章秀 北京市：北京師范大學(xué)出版社 （8693，）【7】高中數(shù)學(xué) 選修 叢書主編：王后雄 （13）致謝 在喀什師范學(xué)院的教育下經(jīng)過(guò)五年的學(xué)習(xí)，使我在做人做事各個(gè)方面得到了很大的提高。在老師的指導(dǎo)下我的畢業(yè)論文順利通過(guò)，他幫我批閱了好多次，提供了這方面的資料和很好的意見，非常感謝他的幫助，在