專題117——震驚,史上最全雙曲線二級結(jié)論大全

1、1. PF1 PF22a雙曲線222.標準方程x2y21ab3.PF1d1e1QQ 群 545423319微信公眾號：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落4點P 處的切線PT 平分PF1F2在點P 處的內(nèi)角.5 PT 平分PF1F2在點P 處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H 點的軌跡是以實軸為直徑的圓，除去實軸的兩個端點.6以焦點弦PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.7以焦點半徑PF1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切.8設(shè)P 為雙曲線上一點，則PF1F2的內(nèi)切圓必切于與P 在同側(cè)的頂點.22xy9雙曲線x2y21 (a>0,b>0)的兩個頂點為A1(a,0),A2(a,0) ，與 y 軸平行的直線

2、22ab交雙曲線于P1、 P2時A1P1 與A2P2交點的軌跡方程是x2y21 .a2b22210若P0(x0, y0)在雙曲線x2y21 ( a> 0,b> 0)上，則過P0的雙曲線的切線方程是abx0x2ay0y b21.2 x11 若P0 (x0 ,y0 ) 在雙曲線2aM 為 AB 的kOM kABb22. a2y21 ( a> 0,b> 0)外 ，則過 Po 作雙曲線的兩條切線切b點為P1、 P2，則切點弦P1P2的直線方程是x0xy0y1 .a2 b222xy12 AB 是雙曲線221 ( a> 0,b> 0)的不平行于對稱軸且過原點的弦，ab2

3、213若P0(x0,y0)在雙曲線x2y21 (a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是ab22x0xy0yx0y02222.abab22 xy14若P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線22 1 ( a> 0,b> 0)內(nèi)，則過Po 的弦中點的軌跡方程是ab22x yx0x y0y2222.abab22 xy15 若 PQ 是 雙 曲 線 221 ( b> a > 0) 上 對 中 心 張 直 角 的 弦 ， 則ab11112222 (r1 | OP |,r2 | OQ |) .r1r2a b22xy16 若 雙 曲 線 22 1 ( b>

4、a > 0) 上 中 心 張 直 角 的 弦L 所 在 直 線 方 程 為ab11222aA bBAx By 1 (AB 0) ,則 (1)22 A B ;(2) L 2 22 2 .a b|aA bB |222222222222 a b 217給定雙曲線C1 ： b x a y a b ( a> b> 0) , C2 ： b x a y ( 22 ab) ,ab則 (i) 對C1 上 任 意 給 定 的 點P(x0, y0) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 須 經(jīng) 過C2 上 一 定 點2222ababM ( 22 x0,22 y0).abab(ii) 對 C2上任一點

5、P'(x0', y0') 在C1 上存在唯一的點M ',使得 M '的任一直角弦都經(jīng)過P'點 .22xy18 設(shè)P(x0, y0)為雙曲線221(a>0,b>0)上一點，P1P2為曲線C 的動弦,且弦PP1,abPP2 斜率存在，記為k1, k 2, 則直線P1P2 通過定點M (mx0, my0) (m 1) 的充要條件是1 m b2k1 k22 .1ma22xy19 過雙曲線22 1( a> 0,b> o) 上任一點A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交ab雙曲線于B,C 兩點，則直線BC 有定向且kBCb2x

6、02a y022xyF1， F 2，點P 為雙曲線上任意一點2面 積 為 S F1PF2b cot20雙曲線22 1 ( a> 0,b> o)的左右焦點分別為abF1 PF2， 則 雙 曲 線 的 焦 點 角 形 的a222 b2P( c b cot , cot ) c2c222xy21若 P為雙曲線22 1 ( a> 0,b> 0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦abcaca點 ,PF1F2,PF2 F1，則tan cot (或tan cot ) .1221c a 22 c a 222222雙曲線x2y21 ( a> 0,b> o)的焦半

7、徑公式：F1( c,0) , F2(c,0)abM (x0, y0)在右支上時，|MF1 | ex0 a,| MF2 | ex0 a.當 M(x0,y0)在左支上時，|MF1 |ex0 a,|MF2 |ex0 a.22xy23若雙曲線22 1 ( a> 0,b> 0)的左、右焦點分別為F1、 F2，左準線為L，則當1ab< e2 1 時， 可在雙曲線上求一點P， 使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準線距離d1 與 PF2的比例中項.22xy24 P 為雙曲線22 1( a> 0,b> 0)上任一點,F1,F2為二焦點，A 為雙曲線左支內(nèi)一定ab點，則| AF2 | 2a

8、 | PA| | PF1 |,當且僅當A, F2,P 三點共線且P 在左支時，等號成立.22xy25雙曲線22 1( a> 0,b> 0)上存在兩點關(guān)于直線l ： y k(x x0) 對稱的充要條ab件是x02(aa22 bb22k)22 k 0且 kab26 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.27 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直x asec28 P 是雙曲線y btan條件是e21 2 .1 tana> 0， b> 0)上一點，則點P 對雙曲線兩

9、焦點張直角的充要22 xy29設(shè)A,B 為雙曲線22 k ( a> 0,b> 0， k 0,k 1 )上兩點，其直線AB 與雙曲ab22xy線 x2y2 1 相交于 P,Q ,則 AP BQ.ab2 x30在雙曲線2ab21 中，定長為2m( m 0)的弦中點軌跡方程為2 my22b222221 a sinh t b cosh t ， coth ta2 cosh2 t b2 sinh2t ,coth t ay bxbxay, x 0時 t 0，弦兩端點在兩支上, y 0時 t 0，弦兩端點在同支上31設(shè)S 為雙曲線221ab支 上 移 動 ， 記 |AB|= l ，a> 0,

10、b> 0)的通徑，定長線段L 的兩端點A,B 在雙曲線右M (x0, y0 ) 是 AB 中 點 ， 則 當 l S 時 ， 有(x0)minac2le(c2a2b2,eca);當l S時，有(x0)min2ab4b2 l2 .22 xy32雙曲線221 ( a> 0,b> 0)與直線Ax By C 0 有公共點的充要條件是ab22222Aa Bb C .(x x )2 (y y )233雙曲線(x 2x0)(y 2y0)1( a> 0,b> 0)與直線Ax By C 0有公共點的充ab要條件是A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.2234設(shè)雙曲線x2y2

11、 1 ( a> 0,b> 0)的兩個焦點為F1、 F2,P(異于長軸端點)為雙曲線a2b2上 任 意 一 點 ， 在 PF1F2 中 ， 記F1PF2,PF1F2, F1F2P， 則 有sinc(sin sin ) a2235經(jīng)過雙曲線x2y21 ( a> 0,b> 0)的實軸的兩端點A1 和 A 2的切線，與雙曲線上任a2b2一點的切線相交于P1 和P2，則| P1A1 | | P2A2 | b2 .22 xy36 已知雙曲線22a2 b211( 1)1 21 2|OP |2 |OQ |21( b> a> 0) ， O 為坐標原點，P、 Q 為雙曲線上兩動

12、點，且 OP OQ .114a2b222 ;( 2) |OP|2+|OQ|2 的最小值為22 ;( 3) S OPQ的最小abba值是22 abb22. a37 MN 是經(jīng)過雙曲線2 x2 a2 y b21（a> 0,b>0） 過焦點的任一弦（交于兩支）， 若 AB 是經(jīng)過雙曲線中心O 且平行于MN 的弦，則| AB |2 2a | MN |.22xy38 MN 是經(jīng)過雙曲線22 1 （ a> b> 0）焦點的任一弦（交于同支），若過雙曲線中心abO 的半弦 OP MN ，則2111222.a|MN | |OP|2 b2 a222 xy39 設(shè)雙曲線221（ a>

13、 0,b> 0） ,M（m,o） 為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，ab過 M 引一條直線與雙曲線相交于P、 Q 兩點，則直線A 1P、 A 2Q（A 1 ,A2為兩頂點）的交點N2在直線 l ： x a 上 . m40設(shè)過雙曲線焦點F 作直線與雙曲線相交P、 Q 兩點， A 為雙曲線長軸上一個頂點，連41 過雙曲線一個焦點A1P 和 A2Q 交于點 M，F(xiàn) 的直線與雙曲線交于兩點P、 Q, A 1、 A 2為雙曲線實軸上的頂點，結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點F 的雙曲線準線于M 、 N 兩點，則MF NF.A2P 和 A1Q 交于點N，則 MF NF.22xy42設(shè)雙曲線方

14、程221 ,則斜率為k（k 0的平行弦的中點必在直線 ）l ： y kx的共軛abb2直線 y k x上 ,而且kk 2 .a43設(shè)A、 B、 C、 D 為雙曲線22 xy22 ab角 分 別 為 ,， 直 線 AB 與1CDa> 0,b> o）上四點,AB、 CD 所在直線的傾斜相 交 于 P, 且 P 不 在 雙 曲 線 上 , 則|PA| | PB| b2 cos2 a2 sin2 | PC | | PD | b2 cos2 a2 sin2F1PF2R、 S 形22xy44 已知雙曲線221（ a> 0,b> 0） ,點 P 為其上一點F1, F 2為雙曲線的焦點

15、，ab的內(nèi)（外）角平分線為l ，作F1、 F2分別垂直l 于R、 S，當P 跑遍整個雙曲線時，成的軌跡方程是x2y2 a2 （c2y2a2y2 b2x x c 2a2y2 b2 x c 2 .45設(shè)ABC 三頂點分別在雙曲線上，且 AB 為 的直徑，l 為 AB 的共軛直徑所在的直線， l 分別交直線AC 、 BC 于 E 和 F，又D 為 l 上一點，則CD 與雙曲線相切的充要條件是 D 為 EF 的中點 .22xy46過雙曲線22 1 （ a> 0,b> 0）的右焦點F 作直線交該雙曲線的右支于M,N 兩點，ab弦 MN 的垂直平分線交x 軸于 P，則|PF | e|MN |

16、247 設(shè)A（ x1 ,y1） 是雙曲線22xy221(a> 0,b> 0) 上任一點，a2b2b2x過 A 作一條斜率為2 的a y1直線L ，又設(shè)d 是原點到直線L 的距離 , r1,r2 分別是A 到雙曲線兩焦點的距離，則r1r2d ab.2222xyxy48已知雙曲線221 ( a> 0,b> 0)和 22( 01 ) ，一條直線順次與a2 b2a2 b2它們相交于A、 B、 C、 D 四點，則 AB =|CD.2249已知雙曲線x2y2 1 ( a> 0,b> 0) ,A、 B 是雙曲線上的兩點，線段AB 的垂直平分ab2222線與 x 軸相交于點

17、P(x0,0) , 則 x0或 x0aa22 xy50設(shè)P 點是雙曲線221 ( a> 0,b> 0)上異于實軸端點的任一點,F1、 F2為其焦點記ab2b22S PF1F2b cot 2 .F1PF2，則 (1)|PF1|PF2| 1 2cbos .(2)51設(shè)過雙曲線的實軸上一點B( m,o)作直線與雙曲線相交于P、 Q 兩點， A 為雙曲線實軸的左頂點，連結(jié)AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于過B 點的直線MN ： x n于 M， N 兩點 ,則22MBN 90am anm22a m b (n a)22 xy52 L 是經(jīng)過雙曲線221 ( a> 0,b> 0)焦點F 且

18、與實軸垂直的直線，A、 B 是雙曲ab1線 的 兩 個 頂 點 ， e 是 離 心 率 , 點P L ， 若 APB ， 則 是 銳 角 且 sin 或e1arc sin (當且僅當| PF | b 時取等號).e22 xy53 L 是經(jīng)過雙曲線22 1 ( a> 0,b> 0)的實軸頂點A 且與 x 軸垂直的直線，E、 Fab是雙曲線的準線與x 軸交點,點 P L ， e是離心率，EPF ， H 是 L 與 X 軸的交點c11ab是半焦距，則是銳角且sin 或 arc sin (當且僅當| PA| a 時取等號).eec2254 L 是雙曲線2y21 (a>0,b>0

19、)焦點F1 且與 x 軸垂直的直線，E、F 是雙曲線準a2 b2線與 x 軸交點， H 是 L 與 x 軸的交點，點P L ， EPF ,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且sin12或 arc sin12(當且僅當|PF1| ba2c2時取等號).eec22 xy55 已知雙曲線221( a> 0,b> 0) ， 直線 L 通過其右焦點F2,且與雙曲線右支交于A、ab222B 兩點，將A 、 B 與雙曲線左焦點F1 連結(jié)起來，則| F1 A| | F1B | (2a 2b ) (當且僅當aAB x 軸時取等號).2256設(shè)A、 B 是雙曲線x2 y2 1 ( a> 0,b&g

20、t; 0)的長軸兩端點，P 是雙曲線上的一點，abPAB , PBA , BPA ， c、 e 分 別 是 雙 曲 線 的 半 焦 距 離 心 率 ， 則 有(1)|PA|2ab2 |cos |222|a c cos |.(2)tan tan 1 e2 .(3) S PAB222a b22 bacot .b21 ( a> 0,b> 0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的2 x57設(shè)A、 B 是雙曲線2a區(qū)域) 、外部的兩點，且xA、 xB的橫坐標xA xB a2， ( 1)若過 A 點引直線與雙曲線這一P、 Q支相交于P、 Q 兩點，則PBA QBA ； ( 2)若過B 引直線與

21、雙曲線這一支相交于兩點，則PBAQBA180 .2258設(shè)A、 B 是雙曲線x2y21 (a> 0,b>0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的ab區(qū)域) ，外部的兩點，( 1)若過A 點引直線與雙曲線這一支相交于P、 Q 兩點， (若 B P 交雙曲線這一支于兩點，則P、 Q 不關(guān)于 x 軸對稱) ，且 PBAQBA，則點A、 B 的橫坐標Q 兩點，且則直線 AQAB 、 CD, 則2xA 、xB 滿足xA xBa2； ( 2)若過B 點引直線與雙曲線這一支相交于P、2PBA QBA 180 ,則點A、 B 的橫坐標滿足xA xB a .22 xy59 設(shè) A,A' 是雙

22、曲線x2 y2 1 的實軸的兩個端點，QQ'是與AA'垂直的弦，ab22xy與 AQ 的交點 P 的軌跡是雙曲線221 .ab22xy60過雙曲線22 1 ( a> 0,b> 0)的右焦點F 作互相垂直的兩條弦ab8ab2| AB | | CD |82ab 2 a b ；|a b|2c2| AB | | CD | 4a a b a 2261到雙曲線x2 y2 1( a> 0,b> 0)兩焦點的距離之比等于c a( c為半焦距)的動點a2 b2b222M 的軌跡是姊妹圓(x ec) y (eb) .2262到雙曲線2y21 ( a> 0,b>

23、0)的實軸兩端點的距離之比等于( c為半焦距)a2 b2b的動點 M 的軌跡是姊妹圓(x c)2 y2 b2 .22 xyca63到雙曲線22 1 ( a> 0,b> 0)的兩準線和x 軸的交點的距離之比為( c為半a2 b2bb焦距)的動點的軌跡是姊妹圓(x a)2 y2 ( b)2( e為離心率).e22xy'64已知P 是雙曲線221 ( a> 0,b> 0)上一個動點，A', A是它實軸的兩個端點,且ab222''x byAQ AP , A'QA'P ，則Q 點的軌跡方程是x2y41.aa65雙曲線的一條直徑(過中

24、心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項.22xy'66設(shè)雙曲線221 ( a> 0,b> 0)實軸的端點為A, A , P(x1, y1)是雙曲線上的點過Pabb2x作 斜 率 為2 x1 的 直 線 l ， 過 A, A' 分 別 作 垂 直 于 實 軸 的 直 線 交 l 于 M , M ' , 則 ( 1 )a y1| AM | A'M ' | b2 .( 2)四邊形AMA'M '面積趨近于2ab .22xy67 已知雙曲線22 1( a> 0,b> 0) 的右準線l 與 x 軸

25、相交于點E ， 過雙曲線右焦點Fab的直線與雙曲線相交于A、 B 兩點 ,點 C在右準線l 上，且 BC x軸，則直線AC 經(jīng)過線段EF 的中點 .68 OA、 OB 是雙曲線22(x a) y22 ab1( a> 0,b> 0,且 a b)的兩條互相垂直的弦，O為2ab必經(jīng)過一個定點( 22ab 2 ,0) .(2)ba22(x 2ab2)2 y2 ( 2ab 2)2(除原點)2222ba baO A、 O B 為直徑的兩圓的2 x71 AB 是雙曲線2ab21 ( a> 0,b> 0)的實軸，N 是雙曲線上的動點，過N 的切線與過 A 、 B 的切線交于C、D 兩點

26、，則梯形ABDC 的對角線的交點M 的軌跡方程是2 x2 a4y2b21(y 0).72設(shè)點P(x0,y0)為雙曲線22xy221 ( a>0,b>0)的內(nèi)部(含焦點的區(qū)域)a2b2)一定點，AB 是雙曲線過定點P(x0, y0 )的任一弦.(1) 如 a b(|PA| |PB|)min則 當 弦 AB 垂 直 于 雙 曲 線 實 軸 所 在 直 線 時 222222(b x0 a y0 ) a b2. a(2) 如(| PA|a b , 則 當 弦 AB 平 行 ( 或 重 合 ) 于 雙 曲 線 實 軸 所 在| PB |)min222222(b x0a y0 ) a bb2直

27、線時坐標原點，則(1)直線AB另一個交點Q 的軌跡方程是22(x a) y69 P(m,n) 是雙曲線22 1( a> 0,b> 0)上一個定點，P A、 P B 是互相垂直的ab弦，則(1)直線AB 必經(jīng)過一個定點) .( 2)以 P A、 P B2ab2 m(b2 a2) n(a2 b2)22,22baba為直徑的兩圓的另一個交點Q 的軌跡方程是ab2 a2m 2b2n 2 a2b4 n2(a2 b2)(x 22 )2 (y 22)222 2(除 P點 ).b ab a(b a )70如果一個雙曲線虛半軸長為b，焦點F1、 F2到直線L 的距離分別為d1、 d2，那么(1)d1

28、d2b2，且 F1、 F 2 在 L 異側(cè) 直線 L 和雙曲線相切,或 L 是雙曲線的漸近線.( 2)d1d2b2，且F1、 F2在 L 異側(cè) 直線 L 和雙曲線相離，( 3)d1d2b2，或 F1、 F2在L直線 L 和雙曲線相交.73雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外切.74雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的實軸端點.75雙曲線兩焦點到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長為定值a+c 與c-a.76雙曲線焦三角形的非焦頂點到其旁切圓的切線長為定值c-a.77雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率 ). 注 :在雙

29、曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.78雙曲線焦三角形中79雙曲線焦三角形中e.,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.80雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離成比例.81雙曲線焦三角形中,半焦距、外點與雙曲線中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比例.82雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂

30、足的距離為雙曲線實半軸的長.84雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內(nèi)角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和雙曲線實軸為直徑的圓的切點.85雙曲線焦三角形中為定值 e.86雙曲線焦三角形中87雙曲線焦三角形中88雙曲線焦三角形中直徑的圓必過兩焦點.,非焦頂點的內(nèi)角平分線與焦半徑、實軸所在直線的夾角的余弦的比,非焦頂點的法線即為該頂角的外角平分線.,非焦頂點的切線即為該頂角的內(nèi)角平分線., 則以兩交點為,過非焦頂點的切線與雙曲線實軸兩端點處的切線相交2289. 已知雙曲線x2y2 1(a 0,b 0) 上有一點P ，過 P 分別引其漸近線的平行線，分別ab交 x 軸于 M , N

31、 ，交 y 軸于 R,Q ， O 為原點，則：( 1 ) | OM | |ON | a2 ；( 2)|OQ| |OR| b2.bb90. 過平面上的P 點作直線l1 : y x及 l2 : y x的平行線，分別交x軸于 M , N ，交aa22y軸于 R,Q .( 1)若 |OM | |ON | a2，則P 的軌跡方程是x2 y2 1(a 0,b 0) .(2)ab22若 |OQ| |OR| b2，則P的軌跡方程是x2y2 1(a 0,b 0) .ab22xy91. 點 P 為雙曲線22 1(a 0,b 0) 在第一象限的弧上任意一點，過 P 引 x軸、y 軸ab于 Q,R ，記 OMQ 與

32、ONR的面y 軸、 x 軸于 M , N ，交直線y b xaab積為S1,S2，則：|S1 S2 | a92. 點 P 為第一象限內(nèi)一點，過P 引x軸、y軸的平行線，交y軸、 x軸于 M , N ，交直線baby b x于 Q, R，記 OMQ 與ONR的面積為S1, S2，已知|S1 S2 | ab ，則 P 的軌a22222xyyx跡方程是221(a 0,b 0) 或 221(a 0, b 0)abba雙曲線性質(zhì)92 條證明1.雙曲線第一定義。2.由定義即可得雙曲線標準方程。3.雙曲線第二定義。4 .設(shè)P(x0,y0)在第一象限，切線PT(即l )的斜率為k，PF1所在直線l1 斜率為k

33、1，PF2所在直線l2斜率為k2， PF1與 PT 的夾角為 ， PF2與 PT 的夾角為 。由兩直線夾角公式tan1k1 k1kk22 得：y0b x0tan2x0 c a y0b2x0y02a y0 x0 cb2x0y0tank k22a y0x0c1 kk2b x0y022222b x0a y0b x0c222a x0 y0 a cy0 b x0 y022222b x0a y0b x0c222a x0y0 a cy0 b x0y0222a b b cx022b acx0b2c x0 y0 a cy0222a b b cx0c x0y0 a cy02a y0x0 c2cy0 acx022b

34、 acx02cy0 acx0b2,0,同理可證其它情況。故切線PT 平分點 P 處的內(nèi)角。5 .不妨設(shè) P 在第一象限。作F2關(guān)于切線PT 的對稱點M，由 4 可知 M 在PF1 上，則F1MF1M PF1 PF2 2a，垂足H 為 F2M 的中點，則OH= 1 a，同理可證其它情況。1122射影 H 的軌跡是以實軸為直徑的圓除去兩端點。6. 設(shè) P， Q 兩點到與焦點對應(yīng)的準線的距離分別為d1 ,d2，以PQ 中點到準線的距離為d ，d d PF FQ r以 PQ 為直徑的圓的半徑為r，則d 12r ，故以 PQ 為直徑的圓與2 2e e對應(yīng)準線相交。aPF12a r ，故兩圓外切。8. 如

35、圖， 由切線長定理：F1SF1TPF1PF2F1F22a 2c，F(xiàn)1SF1Ta c而F1Ta cF1A2 ， T 與 A2 重合，故內(nèi)切圓與x 軸切于右頂點，同理可證P 在其他位置情況。9. 設(shè)P1 asec ,btan, P2 asec , btan，則bt a n bt aA1P :y1x a AP y ,2 x: a 2as e c a 1122則 xP acos ,y bsin P 點的軌跡方程為2 y21abxy對 221求 導(dǎo) 得 ：ab2222x yx0 y010.P0 (x0 , y0 ) 在 雙 曲 線 221 上 22 1 ，abab2x 2yy'' b2x

36、0a2 b20 y' a2y00222bxxx yy x y切線方程為y y02 0 x x0 即020202021a y0a b a b11 .設(shè)P1x1,y1,P2x2,y2 ，由 10得：x02x1y02y11,x0x22y02y21，因為點P1 ,P2 在ab ab直線P1P2 上，且同時滿足方程x02x y02y 1 ，所以P1P2 : x02x y02y 1abab222212 . 設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2, Mx0, y0則有12y121,22y221 作 差 得 ：ab ab22 x1x22a22y1y2b2x1 x2 x1 x2y1 y2 y1 y2b2kABy

37、1y2x1x2b2 x1 x2b2x0b22y1y2a y0a kOMkkb2kAB kOM 2 a13.由 12 可得： y y0b2x0a2y0x x022 a y0 y a2222y0b x0x b x00222222b x0x a y0yb x0a y0x0x2 ay0y b22 x02 a2 y0 b214. .由 12可得：y y0x x0y b22 xa2ay2a y0yb2x2 b2x0x 022 bx22 ayb22 x0x a y0y2 x2 a2 y b2x0xy0y22ab15.P asec ,btan , Q asec ,btanbtPasbaae1 nssQcta2

38、sb212r122 cosa cos2222a sec b tana2sec2b2 tan2a2 b2 sin2cos2a2b2 sin2b2 sin2cos2a2 cos2b2 sin22 cosa4 b4 sin2sin2a2b2 sin2sin2a2a2sin2b2sin21 sin2a2a2sin2b2 sin21 sin22a4 a2b2 sin2sin22a2b2a2sin2 sin2 2b2sin2 sin22a2b2a2b2b2a2sin2sin2422222a a b sin sin4224222a b a b sin sinb2 a2 2a2 b2 sin2 sin2a2b

39、2 2a2b2 sin2sin21b216. 將直線 AB 代入雙曲線方程中得：22222Bb Aa x2Aa2x a2 1 B2b2 04a2 B2b2 B2b2A a 1 ， AB2ab A2 B2B2b2 A2a22222Bb Aa 12Aa2設(shè) A x1, y1 , B x2 , y2 則 x1 x22 22 2 ， x1x2B2b2 A2a2a2 1 B2b22222Bb AaOA OB2222222211x1 x2y1 y2 0 b a a b A B A B 22abAB2ab A2 B2B2b2A2a22B2b2 A2a2 1222222b a Bb Aa 12222B2b2A

40、2a224242222222 A a B b a b A B b a 2 A2a4B2b42222Aa Bb2222Aa Bb17. 設(shè)雙曲線內(nèi)直角弦AB 的方程為：y q k x p 即 y kx q kp 。斜 率 k存 在 時， 代入 雙 曲線C1方 程 中 得b2 a2k2 x2 2a2k q kp x a2 q kp 2 b2設(shè) A x1, y1 , B x2 , y2 得 x1 x222a k q kpa2 q kp 2 b2222b akx1 x2222b ak2 a2k2 x02b2 a2k2 q kp ya2 b2p 22 x0a2 b2a2 b2q 22 y0ba2 b2即

41、直線 AB 過定點 a b x0 a2 b2 0,a2 bb2 a22 y0C2 上。當直線斜率不存在時，直線AB則 PA PB x0 x1 x0 x2y0 y1 y0 y22222k 1x1 x2kq k pky0x0x1x2x0q kpy002a2k q kp kq k2 p ky0 x0a2 k2 1 q kp 2 b2b2a2k2 q kp 2 2a2k2y0 q kp 2a2kx0 q kp a2k2 q kp 2 a2 q kp 2 a2b2 k2a2b2 b2 x02 a2k2x02 b2q kpy0 2 a2k2y02a2k2 qkp 22a2k2y0 q kp 02a2kx0

42、 q kp a2 qkp 2b2k2x02 a2 y02a2k2x02b2y02b2 q kp 2 2b2y0 qkp 02a2k2px0b2k2 p2a2k2 p2b2k2x02a2k2 x022a2kpq2a2kqx02b2kpy02b2 kpqa2q2a2y02b2 y02 b2q2 2b2qy0 022222a p x0b px02222a pq b pq a qx0 b py0222222b q y0a qy0也過 C2上的定點。由上可知C1 和 C2上點由此建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系，即證。18.必要性：設(shè)P1P2： y my0 k x mx0 。 k 存在時，代入雙曲線方程中得：b

43、222222222k x 2a km y0 kx0 x a m y0 kx0a b 0P1 x1, y1 ,P2 x2 , y2x1 x222a km y0 kx0222b akx1x2a2m2 y0 kx0 2 a2b2222b ak2y0y1y0 y2k x1 x2k1 k2x0 x1 x0 x22k my0 mkx0 y0 x1 x2my0 mkx0 y0x1x2 x0 x1 x2 x02b21m 2kmx0 y0k2x02m1y02m 1b2 1 m22222a1m 2kmx0 y0k x0m1y0m 1a 1 mk 不存在時，P1P2： x=mx 0則 y b m2x02 a2 ，y

44、0bam2x02a2y0+abm2x02a2y02ba2m2x02a2b2x021 m2b21 mk1 k222222 222x0 1 mx0 1 ma x0 1 m a 1 m必要性得證。充分性：設(shè)P1P2過定點p,q ，則P1P2： y kx q kp 。代入雙曲線方程得：222222222b a k x 2a k q kp x a q kp a b 02a2k q kpa2 q kp 2 a2b2設(shè)P1x1, y1,P2x2, y2得x1x222 2，x1x222 2b akb ak則k1 k222y1y0y2y0kx1x2k q kpy0x1x2q kpy0x1x0x2x02x1x2x

45、0 x1x2x0a2k2q kp 2a2b2k22a2k2q kp q kpy0q kpy02b2a2k2a2 q kp 2 a2b2 2a2kx0 q kpx02 b2 a2 k2222222bqkpy0 kx0b q kpy0kx0q kpy0kx0bkpy0kx0 q1mb2a2y02 qkpkx02a2 y0 qkpkx0y0 qkpkx0a2qy0kx0kp1ma2k p mx0q my0 0kp y0 kx0 q 1 mq y0 kx0 kp 1 mp mx0 0 p mx000q my0 0 qmy0驗證k 不存在的情況，也得到此結(jié)論。故l 過定點mx0 , my0 m 1 ，充

46、分性得證。19. 設(shè) AB ： y y0 k x x0 即 y kx y0 kx0y kx y0 kx022222222x2 y2b a k x 2a k y0 kx0 x ay0 kx0 b221ab20.x0 xBPF122a k y0 kx0222b akxB22222a ky0 a k x0 b x0222b ak22222222a ky0 a k x0 b x0 a k y0 b y0222b ak222b ak2a2ky0 a2k2x0 b2x0 a2k2y0 b2y0 2b2 kx0b2 a2k2222b ak4b2kx04a2ky0b 2x02a y0PF222 PF1 PF2

47、 cos2cPF12 PF24c2 2 PF1 PF2 cos 14a 4c 2 PF1 PF2 cos1PF1 PF22b21 cosb22 sin2S F1PF2PF1 PF2 sinb2 sin1 cosb222b sin cosb2 cot2sin 2c yPyP21. 由cot2,xa2ac2b222 cot2a c2 b2cot2P a c2 b2cot2 ,b2理得PF1F1F2cot2sinsinsinP在 右 支 時2c2c2asin sinsin sinsinesin sin2sin cos222sin cos2sin2sin2sin cos sin cos2222sin cos2sin cos2221 tan cot221 tan cot22e etan cot221 tan cot2tan cot2P 在左支時，sinsin sin22.定義e1 ca2 e1 ca1 tan cot221 tan cot22MF1M 在左支時，23.e x0MF1ex0 a, MF2ex0a2e x0PF1 PF2dPF1e1PF2 e PF1x0a1e2 eee1 catan cotex0 aa ex0, MF22 e1右支caex0ca ex0 。1ea ex0e a ex0x02ee21e2 2e 1 012e1 2